分解体

テンプレート:About テンプレート:Distinguish 抽象代数学において、与えられた多項式の分解体（ぶんかいたい、テンプレート:Lang-en-short）とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうちテンプレート:仮リンクが最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。

定義

体 テンプレート:Mvar 上の多項式 テンプレート:Math の（最小）分解体とは、テンプレート:Mvar の拡大 テンプレート:Mvar であって、テンプレート:Mvar において テンプレート:Mvar が一次因子 テンプレート:Math2 の積

$p(X)=c\prod _{i=1}^{\mathrm{deg}(p)}(X-a_i)(c\in K)$

に分解され、なおかつ テンプレート:Mvar が根 テンプレート:Mvar たちによって テンプレート:Mvar 上生成されるときに言う。したがって拡大体 テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar を分解する テンプレート:Mvar の拡大体の中で、テンプレート:仮リンクが最小のものになる。そのような分解体の存在と同型を除く一意性を証明することができる。そのような同型の取り方の自由度は、多項式 テンプレート:Mvar のガロワ群と呼ばれる（テンプレート:Mvar は分離的であるものとする）。

例

• 実数体 $𝐑$ 上の二次式 x² + 1 の分解体は複素数体 $𝐂$ である。
• 有理数体 Q 上の二次式 xテンプレート:Sup − 2 の分解体は二次体 $𝐐(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in 𝐐\}$ である。
• 素数 p とそのべき q = pテンプレート:Sup に対して、素体 GFテンプレート:Sub 上の多項式 xテンプレート:Sup − x の分解体は有限体 GFテンプレート:Sub である。

三次方程式の例

例えば、K が有理数体 $\mathbb{Q}$ であり、

のとき、P(X) の分解体 L は 1 の原始立方根と 2 の立方根を含む。 従って、

であり、L は $K=\mathbb{Q}$ の6次拡大である。ここで、 テンプレート:Indent は、1 の立方根である。

その他の例

• 標数 7 の素体 GF₇ 上の二次式 x² + 1 の分解体は、位数 49 のガロア体 GF₄₉ である。−1 は GF₇ 上平方根を持たないからである。
• GF₇ 上の二次式 x² − 1 の分解体は、GF₇ である。 x² − 1 = (x + 1)(x − 1) と GF₇ で一次式の積に因数分解できるからである。

事実

テンプレート:Mvar の拡大体 テンプレート:Mvar が、テンプレート:Mvar 上の多項式からなる適当な集合に対して、同時にそれら全ての多項式の（それを一次式の積に分解することができるという意味で）分解体となっているとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の正規拡大であると言う。

テンプレート:Mvar を含む代数閉体 テンプレート:Mvar を固定して考えるとき、拡大 テンプレート:Math の中間体で テンプレート:Mvar 上の多項式 テンプレート:Mvar の分解体となるものがただ一つ存在し、それは テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における根を テンプレート:Mvar に全て添加して得られる体に他ならない。テンプレート:Mvar が複素数体の部分体ならば分解体の存在については直ちにいえるが、一般には代数閉包の存在がこの分解体に対する結果の「ある種の極限」として証明されることもしばしばであるので、循環論法を避けるためにはこれらは独立に証明されなければならない。

テンプレート:Mvar の分離拡大 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar のガロワ閉包 (Galois closure) テンプレート:Mvar は分解体の一種で、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar を含む最小のガロワ拡大を言う。そのようなガロワ閉包は各元 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 上の最小多項式として得られる全ての テンプレート:Mvar-係数多項式に対する最小分解体を含まなければならない。

分解体の構成

多項式の求根は古代ギリシアの時代より重要な問題であった。しかしいくつかの多項式、例えば テンプレート:Math のようなものは実数体 テンプレート:Math の範囲で考える限りにおいて根を持たない。そのような多項式に対する分解体の構成は、新たな体の中に多項式の根を求めることを可能にするものである。

構成法

テンプレート:Mvar を体、テンプレート:Math は多項式環 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar-次多項式とする。多項式 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 上の分解体を構成する一般の過程は、体の拡大の列 テンプレート:Math で、各 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の新たな根を含む テンプレート:Math の拡大となっているようなものを構成することである。テンプレート:Math は高々 テンプレート:Mvar 個しか根を持たないのだから、この構成も高々 テンプレート:Mvar 段階の拡大を想定すればよい。各 テンプレート:Mvar に対する構成は以下のようにする:

上記の剰余環の構成に用いる既約因子 テンプレート:Mvar の取り方は任意でよいが、取り方が異なれば得られる拡大体の列は異なることに注意せよ。それにも拘らず最終的に得られる最小分解体は同型の意味で一意である。

テンプレート:Math を既約にとることで、イデアル テンプレート:Math は極大イデアルとなり、従って剰余環 テンプレート:Math が実は体となることが導かれる。さらに言えば、剰余環への自然な射影 テンプレート:Math は

$f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)modf(X)=0$

を満たすから、テンプレート:Math は テンプレート:Math の（したがって テンプレート:Math の）根になる（根体の項も参照）。

各拡大における拡大次数 テンプレート:Math は既約因子 テンプレート:Math の次数に等しいから、求める拡大の次数 テンプレート:Math は各拡大の次数すべての積 テンプレート:Math に等しく、高々 テンプレート:Mvar! である。

根体 テンプレート:Math について

テンプレート:Main 上記の通り、剰余環 テンプレート:Math は テンプレート:Math が既約であるとき体を成す。この体の元は、テンプレート:Math および テンプレート:Math として、

$c_{n-1}{\alpha }^{n-1}+c_{n-2}{\alpha }^{n-2}+\cdots +c_1\alpha +c_0$

なる形に表すことができる（テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 上のベクトル空間と見れば、テンプレート:Mvar の冪 テンプレート:Mvar (テンプレート:Math) がその基底を与えるということ）。

つまり テンプレート:Math の各元は テンプレート:Mvar の次数高々 テンプレート:Mvar の多項式と看做すことができる。テンプレート:Math の加法は多項式の加法によって、乗法は テンプレート:Mvar を法とする多項式の乗法で与えられる。すなわち、テンプレート:Math の積 テンプレート:Math は、テンプレート:Math において テンプレート:Math を テンプレート:Math で割った剰余 テンプレート:Math によって与えられる。

剰余 テンプレート:Math は多項式の長除法によって計算することができるが、もっと直接的な簡約規則によっても テンプレート:Math を直接計算することもできる。まず テンプレート:Math は体上の多項式であるから、それが[[モニック多項式|最高次係数 テンプレート:Math ]]

$f(X)=X^n+b_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_0$

と仮定して一般性を失わない。テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の根とすれば、

${\alpha }^n=-(b_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +b_1\alpha +b_0)$

であり、積 テンプレート:Math の テンプレート:Math なる項 テンプレート:Mvar は

${\alpha }^n{\alpha }^{m-n}=-(b_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +b_1\alpha +b_0){\alpha }^{m-n}=-(b_{n-1}{\alpha }^{m-1}+\cdots +b_1{\alpha }^{m-n+1}+b_0{\alpha }^{m-n})$

と簡約することができる。

• この簡約規則を用いる例として、テンプレート:Math を有理係数多項式環として、既約多項式 テンプレート:Math をとる。テンプレート:Math を テンプレート:Math の二元とすれば、テンプレート:Math による簡約規則は テンプレート:Math だから、テンプレート:Mathと計算できる。

参考文献

• Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.

関連項目

• ガロア理論

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:MathWorld