多項式環

数学、殊に抽象代数学における多項式環（たこうしきかん、テンプレート:Lang-en）は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。多項式環はヒルベルトの基底定理や分解体の構成、線型作用素の理解など数学のかなり広い分野に影響をもつ概念である。セール予想のような多くの重要な予想が、他の環の研究に影響をもち群環や形式冪級数環のようなほかの環の定義にさえ影響を及ぼしている。

体上の一変数多項式環 テンプレート:Math

定義

体 テンプレート:Mvar に係数を持つ不定元 テンプレート:Mvar に関する多項式とは $$p=p_m{X}^m+p_{m-1}{X}^{m-1}+\cdots +p_{1}X+p_0$$ の形の式のことである。ここで テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の元で、テンプレート:Mvar の係数といい、テンプレート:Math は形式的な記号だが テンプレート:Mvar の冪という。このような式には加法と乗法を定義できて、結合法則、交換法則、分配法則といった代数的な式の操作における通常のルールを適用し、同類項を纏めることによって同様の形に持っていくことができる。係数が零であるような項 テンプレート:Math は省略することができる。テンプレート:Mvar の冪の乗法は馴染みのある $$X^k\cdot X^l=X^{k+l}$$ に従って定義される。テンプレート:Mvar や テンプレート:Mvar は任意の自然数である。二つの多項式が相等しいとは テンプレート:Mvar の各冪において対応する係数がすべて等しいことと定義される。規約として テンプレート:Math および テンプレート:Math と同一視し、多項式 テンプレート:Mvar の定義における和は、記号 テンプレート:Math の係数 テンプレート:Math に関する線型結合として見ることができる。総和の記号 テンプレート:Sum を使えば、同じ多項式は $$p=p_m{X}^m+p_{m-1}{X}^{m-1}+\cdots +p_{1}X+p_0=\sum _{k=0}^m{p}_k{X}^k$$ と簡潔な形に書くことができる。この総和の範囲はよく省略されて、$p=\sum _k{p}_k{X}^k$ のように書くこともある。注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと —つまり十分大きな テンプレート:Mvar（ここでは テンプレート:Math）に関する係数 テンプレート:Mvar がすべて零であるということ— は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X ^k の係数が零でないような最大の テンプレート:Mvar のことである。特別な場合として、零多項式（係数が全て零）の次数は定義しないか、あるいは負の無限大 テンプレート:Math と定義する。

体 テンプレート:Mvar に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、テンプレート:Math で表して、テンプレート:Mvar 上の多項式環 テンプレート:Lang と呼ぶ。記号 テンプレート:Mvar は普通「変数」と呼び、もうすこし一般の多変数の多項式環と区別するためにここでの多項式環を テンプレート:Mvar 上一変数の多項式環と呼ぶ。この語法は、重要な場合である実係数あるいは複素係数の多項式を実または複素「多項式函数」と見なすことからの示唆である。しかしながら、一般には不定元 テンプレート:Mvar およびその冪 テンプレート:Mvar は形式的な記号として扱われ、体 テンプレート:Mvar の元としては扱われない. 多項式環 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar に テンプレート:Mvar の外側にあって テンプレート:Mvar の任意の元と可換な新しい元 テンプレート:Mvar を付け加えて得られるものと考えることができる。テンプレート:Math が環を成すためには、テンプレート:Mvar の任意の冪を含まなければならず、このことが多項式を テンプレート:Mvar の冪の テンプレート:Mvar に係数を持つ線型結合としての定義に繋がる。

環は加法と乗法のふたつの二項演算を持つ。多項式環 テンプレート:Math の場合、それらの演算は $$\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i\right)+\left(\sum _{i=0}^n{b}_i{X}^i\right)=\sum _{i=0}^n(a_i+b_i)X^i$$ および $$\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^m{b}_j{X}^j\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j\right)X^k$$ によって明示的に与えられる。上の式は一方の多項式に零を係数とするダミーの項を加えて延長し、両方の多項式に形式的に現れる冪の集合を同じものにする。下の式では右辺の内側の和は テンプレート:Math および テンプレート:Math の範囲でのみ添字を動かす。和の範囲を明示しない形で加法と乗法の式を書けば、$$\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)+\left(\sum _i{b}_i{X}^i\right)=\sum _i(a_i+b_i)X^i,$$$$\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)\cdot \left(\sum _j{b}_j{X}^j\right)=\sum _k\left(\sum _{i,j:i+j=k}{a}_i{b}_j\right)X^k$$ のようになる。係数 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar で非零なものは有限個しかないことから、全ての和は実質的に有限個の項しかもたず、それゆえ テンプレート:Math の多項式を表現している。

もっと一般に、体 テンプレート:Mvar を任意の可換環 テンプレート:Mvar に取り替えて、可換環 テンプレート:Mvar 上の多項式環 テンプレート:Math を考えることができるが後述。

環 テンプレート:Math の性質

体上の多項式環 テンプレート:Math は多くの面で整数全体のなす環 テンプレート:Mathbf と非常によく似ている。この類似性と多項式環の算術はガウスによって徹底的に調べられ、ガウスの理論は19世紀後半のクンマー、クロネッカー、デデキントらの手による抽象代数学の発展のモデルとしての役割を果たした。

テンプレート:Math は整域である

多項式環の第一の性質は基本的で、二つの零でない多項式の積は零ではないというものである。実際、 テンプレート:Math で始まる次数 テンプレート:Mvar の多項式 テンプレート:Mvar と テンプレート:Math で始まる次数 テンプレート:Mvar の多項式との積 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math で始まる。ここで係数は テンプレート:Math であるから、積 テンプレート:Mvar は次数 テンプレート:Math の零でない多項式である。テンプレート:仮リンクような可換環は整域であると言われる。すなわち、多項式環 テンプレート:Math は整域である。テンプレート:Efn

テンプレート:Math の因数分解

多項式環の次の性質はもっと深いものである。今日では算術の基本定理と呼ばれる「任意の自然数が素数の積に一意的に分解することができる」という事実は、ユークリッドによって既に知られており、その証明は自然数の最大公約数を導き出すユークリッドの互除法に基づくものであった。互除法のアルゴリズムはいずれの段階においても、自然数の組 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar で割ったあまりとして新しい組 テンプレート:Math に取り替え、出てくる数をより小さくする。ガウスはこの剰余つき除算の手続きを多項式に対しても定義できることに気付いていた。与えられたふたつの多項式 テンプレート:Math に対し $p=uq+r$ と書くことができる（除法の原理）。ここで商 テンプレート:Mvar と剰余 テンプレート:Mvar は多項式であり、テンプレート:Mvar の次数は テンプレート:Mvar のそれよりも小さい。またこのような性質を持つ分解は一意である。ここでは多項式の次数が整数の除算における整数の大きさの類似の役割を担う。次数は無限に減少することはできないので、最終的には互除法の除算は終了し、最後の零でない剰余が最初のふたつの多項式の最大公約元である。この方法により、ガウスは整数に対する算術の基本定理を厳密に証明すると同時に、それを多項式に対して一般化することに成功した。ユークリッドの互除法の類似が許される可換環はユークリッド環と呼ばれ、それらは素因子への一意的な分解が可能な分解環 テンプレート:Lang あるいは一意分解整域 テンプレート:Lang と呼ばれる環になる。つまり、多項式環 テンプレート:Math は分解環であり、ユークリッド整域である。テンプレート:Efn

多項式の剰余付き除算の別の系として、テンプレート:Math の任意の零ではない真のイデアル テンプレート:Mvar は単項生成であるという事実がある。つまり テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar に帰属する任意の多項式の最大公約元である唯一つの非零多項式 テンプレート:Mvar の倍元全体からなる。したがって、多項式環 テンプレート:Math は主イデアル整域である。テンプレート:Efn

テンプレート:Math の剰余環と根体

テンプレート:Seealso テンプレート:Mvar 上の多項式環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に唯一つの元 テンプレート:Mvar を添加して得られる。これに対し、テンプレート:Mvar を含む可換環 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に唯一つの元を付け加えたものから環として生成されるようなものならば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を用いて書き表すことができる。特に、テンプレート:Mvar の有限次拡大に対して適用できる。

可換環 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar を含み、テンプレート:Mvar の一つの元 テンプレート:Mvar が存在して、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar によって テンプレート:Mvar 上生成されるとすると、テンプレート:Mvar の任意の元は テンプレート:Mvar の冪の係数を テンプレート:Mvar に持つ線型結合になっている。したがって、テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への環準同型 テンプレート:Mvar で、テンプレート:Mvar の元は動かさず（テンプレート:Mvar 上では恒等写像として作用子）テンプレート:Mvar の冪を テンプレート:Mvar の同じ冪へ写すようなものが唯一つ存在する。この テンプレート:Mvar は一般の多項式に対して テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への置き換え $$\varphi (a_m{X}^m+a_{m-1}{X}^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_0)=a_m{\theta }^m+a_{m-1}{\theta }^{m-1}+\cdots +a_1\theta +a_0$$ として作用する。仮定により、テンプレート:Mvar の任意の元は適当な テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Math を選んで上式の右辺の形に表されるから、テンプレート:Mvar は全射であり テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の準同型像となる。もっと形式的に、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の核とすると、これは テンプレート:Math のイデアルであって、第一準同型定理により、テンプレート:Mvar は多項式環 テンプレート:Math のイデアル テンプレート:Math による商に同型である。多項式環は主イデアル環であるから、このイデアルも単項生成であって、多項式 テンプレート:Math で $L\simeq K[X]/(p)$ となるものが存在する。特に重要な応用は、大きいほうの環 テンプレート:Mvar が体の場合である。このとき多項式 テンプレート:Mvar は既約多項式でなければならない。反対に、原始元定理によれば体の任意の有限次分離拡大 テンプレート:Mvar は単一の元 テンプレート:Math によって生成することができ、上述の理論により体 テンプレート:Mvar は多項式環 テンプレート:Math の既約多項式 テンプレート:Mvar の生成する単項イデアルによる商として具体的な記述が与えられる。実例として、複素数体 テンプレート:Mathbf は実数体 テンプレート:Mathbf に テンプレート:Math を満たす テンプレート:Mvar を唯一つ付け加えて得られる。それに応じ、多項式 テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf 上既約であって $ℂ\simeq ℝ[X]/(X^2+1)$ という同型が成立する。

多変数多項式環

環上の多変数多項式

体 テンプレート:Mvar に係数を持つ テンプレート:Mvar-変数 テンプレート:Math に関する多項式は一変数の多項式と同様にして定義される（特に テンプレート:Math のときは一変数多項式に他ならない）が、この概念は少々ややこしい。任意の多重添字 テンプレート:Math で各 テンプレート:Mvar が非負整数とするとき $$X^{\alpha }=\prod _{i=1}^n{X}_i^{{\alpha }_i}=X_1^{{\alpha }_1}\cdots X_n^{{\alpha }_n}(p_{\alpha }=p_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_n}\in 𝕂)$$ と置く。積 テンプレート:Mvar を多重次数 テンプレート:Mvar の単項式と呼ぶ。（多変数の）多項式は テンプレート:Mvar に係数を持つ単項式の線型結合 $p=\sum _{\alpha }{p}_{\alpha }{X}^{\alpha }$ で、有限個の係数 テンプレート:Mvar だけが零でないようなものをいう。 単項式 テンプレート:Mvar の（全）次数 テンプレート:Lang はしばしば テンプレート:Mathで表され、$|\alpha |={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i$ と定義される。多項式 テンプレート:Mvar の次数は テンプレート:Mvar の式に現れる係数が零でない単項式の最大次数で与えられる。

これらのことは、係数体 テンプレート:Mvar を任意の可換環 テンプレート:Mvar に取り換えても構わない。可換環 テンプレート:Mvar に係数を持つ テンプレート:Mvar-変数多項式の全体 テンプレート:Math は可換環を成し、テンプレート:Mvar-変数多項式環と呼ぶ（テンプレート:Math として、テンプレート:Math と書くこともある）。変数の個数 テンプレート:Mvar を特に固定しない場合は多変数多項式環と総称され、対照的に テンプレート:Mvar-変数多項式環のことを階数（自由階数） テンプレート:Mvar の（多変数）多項式環とも呼ぶ。多変数多項式環は一変数多項式環を作る構成を テンプレート:Math と帰納的に繰り返すことによって得ることもできる。例えば テンプレート:Math は自然同型である。

多項式環の普遍性

環上の多変数多項式環は、「もっとも一般」の有限生成可換多元環である。すなわち以下の普遍性が成り立つ:

普遍性

可換環 テンプレート:Mvar 上の可換 テンプレート:Mvar 多元環 テンプレート:Math とその元 テンプレート:Math に対して、多項式環 テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への環準同型 テンプレート:Math で テンプレート:Math と テンプレート:Math を満たすものがただ一つ存在する。

したがって特に、環 テンプレート:Mvar 上の多元環 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上有限生成ならば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上適当な階数の多項式環の準同型像である。この意味において、多項式環は（与えられた集合を不定元の集合とする）自由可換多元環（可換多元環の圏におけるテンプレート:仮リンク）を与える。特に（テンプレート:Math を有理整数環とするとき、任意の環は テンプレート:Math-多元環と見なせるから）、整係数多項式環 テンプレート:Math は自由可換環である。

代数幾何学において

テンプレート:Main 体上の多変数多項式環は代数幾何学において基本的な役割を演じる。可換環論やホモロジー代数の多くの結果が、多項式環のイデアルや多項式環上の加群の研究に端を発している。

ダフィット・ヒルベルトに端を発する多項式環 テンプレート:Math のイデアルと テンプレート:Mvar の代数的集合 との間の関係に関する基本的な結果のいくつかは零点定理（テンプレート:Lang-de）と呼ばれる。

• （弱形：係数が代数閉体の場合）テンプレート:Mvar を代数的閉体とすると テンプレート:Math の任意の極大イデアル テンプレート:Mvar は $$m=(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n),(a=(a_1,\dots ,a_n)\in {𝕂}^n)$$ の形に書ける。
• （強形）テンプレート:Mvar は体でその代数閉包を テンプレート:Mvar とし、テンプレート:Mvar を多項式環 テンプレート:Math のイデアル、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar によって定義される テンプレート:Mvar の代数的集合とする。テンプレート:Mvar を テンプレート:Math 上の任意の点で消えている多項式とすると、テンプレート:Mvar のある冪がイデアル テンプレート:Mvar に属す: $f^m\in I,(\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}).$

イデアルの根基の概念を用いれば、この結論は テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の根基に属するということである。この形の零点定理の系として、代数閉体 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math のイデアルの根基と テンプレート:Mvar-次元アフィン空間 テンプレート:Mvar の代数的集合との間に一対一対応が存在する。この対応は写像 $$I\mapsto V(I)(I\subset K[X_1,\dots ,X_n],V(I)\subset K^n)$$ によって得られる。

多項式環の素イデアルが テンプレート:Mvar の既約部分多様体に対応する。

環の拡大 テンプレート:Math の性質

可換環論における基本的な手法の一つは、環の性質をその部分環の性質に関連付けることである。テンプレート:Math なる記法で環 テンプレート:Mvar が環 テンプレート:Mvar の部分環であることを示唆することにする。この場合 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の拡大環や上にある環 テンプレート:Lang などとよび、またテンプレート:Ill2という。これは多項式環に対しては特によく働き、多変数の多項式環 テンプレート:Math に対する多くの重要な性質の証明に、テンプレート:Mvar に関する帰納法を用いることが可能になる。

結果の要約

以下の性質に関して、テンプレート:Mvar は可換環で テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-変数多項式環とする。環の拡大 テンプレート:Math は順番に テンプレート:Math を添加していくことにより テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar-段階で得られる。ゆえに以下の性質のどれも、証明は テンプレート:Math の場合のみを考えれば十分である。

• テンプレート:Mvar が整域ならば テンプレート:Mvar もそうである。
• テンプレート:Mvar が一意分解環ならば テンプレート:Mvar もそうである。このことの証明は（多項式に関する）ガウスの補題による。
• ヒルベルトの基底定理: テンプレート:Mvar がネーター環ならば テンプレート:Mvar もそうである。
• テンプレート:Mvar が大域次元有限なネーター環ならば $$\mathrm{gl}.\dim R[X_1,\dots ,X_n]=\mathrm{gl}.\dim R+n$$ である。クルル次元に対して類似の結果がある。

一般化

多項式環の一般化には実にさまざまな方法がある。たとえば、冪指数を一般化した多項式環、冪級数環、非可換多項式環、歪多項式環などである。

冪指数の一般化

テンプレート:Main 簡単な一般化は、変数の肩に乗せる冪指数を取り出す集合を変えるだけで得られる。加法と乗法の公式は冪指数の加法 テンプレート:Math が可能である限り意味を成す。この加法が意味を持つ（演算が閉じていて、結合的である）ような集合は加法的モノイドと呼ばれる。モノイド テンプレート:Mvar から環 テンプレート:Mvar への写像で、有限台をもつ（非零値であるような点が有限個である）もの全体の成す集合は環の構造を持つ。これを テンプレート:Math と表して、モノイド テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar に係数を持つモノイド環と呼ばれる。この環の加法は成分ごとの和で定義される。つまり テンプレート:Math ならば各 テンプレート:Math に対し テンプレート:Math を満たす。乗法はコーシー積として定義される。つまり テンプレート:Math ならば各 テンプレート:Math に対し テンプレート:Mvar は、和が テンプレート:Mvar であるような テンプレート:Mvar の元の組 テンプレート:Mvar 全てにわたる テンプレート:Mvar の和である。

テンプレート:Mvar が可換モノイドならば、テンプレート:Math における写像 テンプレート:Mvar は形式和 $\sum _{n\in N}{a}_n{X}^n$ によって簡便に表すことができ、加法と乗法の定義式は見知った形の $$\left(\sum _{n\in N}{a}_n{X}^n\right)+\left(\sum _{n\in N}{b}_n{X}^n\right)=\sum _{n\in N}(a_n+b_n)X^n,$$$$\left(\sum _{n\in N}{a}_n{X}^n\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}{b}_n{X}^n\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j\right)X^n$$ に書くことができる。最後の和は、和が テンプレート:Mvar であるような テンプレート:Mvar の元の組 テンプレート:Math の全てをわたるってとる。

テンプレート:Harvtxt などではこのモノイドによる定義を出発点にとるテンプレート:Sfn。通常の一変数多項式環は テンプレート:Mvar が非負整数全体が作るモノイド テンプレート:Mathbf であるような特別の場合である。多変数の多項式環は テンプレート:Mvar として単に非負整数全体の成すモノイドのいくつかのコピーたちの直積モノイド テンプレート:Math をとる。

環や群のいくつかの興味深い例が、テンプレート:Mvar として非負有理数の成す可換モノイドをとることにより構成されるテンプレート:Sfn。

冪級数

非零の項を無限個含むことも許すという別の方向で冪指数を一般化することにより、冪級数が定義される。ここではコーシー積における和が有限和であることを保証するために、冪指数に用いるモノイド テンプレート:Mvar に対していくつかの仮定を課す必要がある。あるいは環のほうに位相を導入して、無限和を収束するものだけに限ることもできる。テンプレート:Mvar として標準的な非負整数全体を選ぶならば問題は何もなく、形式冪級数環を テンプレート:Mvar から環 テンプレート:Mvar への写像全体として定義することができ、和は成分ごと、積はコーシー積で入れることができる。形式冪級数環は多項式環の完備化と見ることができる。

非可換多項式環

多変数の多項式環に対して、積 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は単純に等しいものと定義される。多項式環のもう少し一般の概念は、これらの形式的な積を別なものとして区別して扱うことによって得られる。形式的には、環 テンプレート:Mvar に係数を持つ テンプレート:Mvar 個の非可換な変数に関する多項式環はモノイド環 テンプレート:Math で、モノイド テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 個の文字に関する自由モノイド（テンプレート:Mvar 個の記号をアルファベットとする文字列全体が文字列の結合を積として成すモノイド）の場合である。係数も変数もそれぞれそれらの間で可換性を持つ必要はないが、係数と変数との間では可換でなければならない。

可換環 テンプレート:Mvar に係数を持つ テンプレート:Mvar-変数多項式環は、階数 テンプレート:Mvar の自由可換 テンプレート:Mvar-多元環であった（上述）ことにちょうど応じるように、可換環 テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-変数非可換多項式環は テンプレート:Mvar 個の元からなる生成系を持つ自由単位的 テンプレート:Mvar-結合多元環であり、テンプレート:Math ならばこれは非可換である。

微分多項式環・歪多項式環

多項式環の別の一般化として、微分多項式環と歪多項式環がある。

微分多項式環 テンプレート:Lang は環 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar 上のテンプレート:Ill2 テンプレート:Mvar から形成され、その乗法は関係 テンプレート:Math を拡張して得られる。標準的な例はワイル代数と呼ばれる環で、テンプレート:Mvar として多項式環 テンプレート:Math, 変数 テンプレート:Mvar として標準的な多項式微分 テンプレート:Mvar をとる。このとき テンプレート:Math の元を多項式環 テンプレート:Math に作用する微分作用素と見ることができる。ここで テンプレート:Math の元 テンプレート:Math は掛け算作用素として作用し、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に関する微分として作用する。テンプレート:Math とラベル付けすれば、正準交換関係 テンプレート:Math を得て、この環を明示的にワイル代数とすることができる。これは基本的で重要な環であるテンプレート:Sfn。

歪多項式環 テンプレート:Lang は環 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar 上の自己準同型 テンプレート:Mvar に対して定義される。その乗法は関係 テンプレート:Math を拡張して与えられ、通常の加法に対して分配的な結合的乗法である。もっと一般に、モノイド テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar の自己準同型環への準同型 テンプレート:Mvar で テンプレート:Math となるようなものを考えることができる テンプレート:Sfn。歪多項式環はテンプレート:Ill2と近い関係にある。

関連項目

• 加法的多項式
• ローラン多項式

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Lang Algebra
• テンプレート:Citation

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Nlab, Example 1.4.
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:ProofWiki
• テンプレート:SpringerEOM