クルル次元

ヴォルフガング・クルル

数学、とくに可換環論において可換環のクルル次元（クルルじげん、テンプレート:Lang-en-short）とは、素イデアルのなす減少列の長さの上限である。ヴォルフガング・クルルに因んで名づけられた。文脈から明らかなときには単に次元と呼ぶことも多い。

定義

以下、環はすべて可換とする。環 テンプレート:Mvar における素イデアル $𝔭$ の高さ $\mathrm{ht}(𝔭)$ とは、素イデアルのなす減少列

$𝔭={𝔭}_0⊋{𝔭}_1⊋\cdots ⊋{𝔭}_n$

の長さ テンプレート:Mvar の上限として定義されるテンプレート:Sfnテンプレート:Efn。このとき環 テンプレート:Mvar における素イデアルの高さの上限をクルル次元（あるいは単に次元）といい、テンプレート:Math で表す。たとえば体 テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar 変数多項式環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 次元であるテンプレート:Sfn。

クルル次元は、ネーター環に対してさえ、有限とは限らないテンプレート:Efnテンプレート:Sfn。 実際、永田は「ネーター環でありながらもクルル次元が無限になるような環」の例を与えているテンプレート:Citation needed。 さらに永田は、必ずしも全ての鎖が極大鎖に拡張できるわけではないような環の例も与えている。任意の素イデアル鎖を極大鎖に拡張することができるような環は鎖状環として知られる。

例

0次元

• 整域が体である必要十分条件は、0次元となることである。
• ネーター環がアルティン環である必要十分条件は、0次元となることである。

1次元

• 有理整数環 テンプレート:Math は1次元である。
• 体でないデデキント整域（たとえば単項イデアル整域や離散付値環など）は1次元である。

高次元

• 体 テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar 変数多項式環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 次元である。スキーム論の言葉で言えば、体上の多項式環はアフィン空間に対応するから、この結果は基本的と考えることができる。一般に、環 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 次元のネーター環ならば多項式環 テンプレート:Math は テンプレート:Math 次元であるテンプレート:Sfn。ネーター性を仮定しないならば テンプレート:Math の次元は テンプレート:Math 以上 テンプレート:Math 以下の任意の値を取りうる。
• ネーター局所環は有限次元である。

クルル次元とスキーム

テンプレート:Mvar の素イデアル全体の成す空間にザリスキー位相を備えた環のスペクトル テンプレート:Math の定義から直ちに、テンプレート:Mvar のクルル次元がちょうどそのスペクトルの既約次元に一致することが分かる。このことは、テンプレート:Mvar のイデアルと テンプレート:Math の閉部分集合との間のガロア接続を考え、テンプレート:Mvar の素イデアルをスペクトルの定義により（ガロア対応で対応付けられる）閉部分集合の生成点に対応させることを見ればよい。

加群のクルル次元

環 テンプレート:Mvar 上の加群 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar のクルル次元を、テンプレート:Mvar を忠実加群とするような テンプレート:Mvar の剰余環のクルル次元によって定める。すなわち、等式

${\dim }_{R}M:=\dim R/{\mathrm{Ann}}_R(M)$

を満足するようなものとして定義する。ただし、零化イデアル テンプレート:Math は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-線型自己準同型の環への自然写像 テンプレート:Math の核である。

スキーム論の言葉で言えば、有限型の加群は連接層あるいは一般化された有限階数ベクトル束として解釈することができる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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• Irving Kaplansky, Commutative rings (revised ed.), University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5. Page 32.
• A.I. Kostrikin and I.R. Shafarevich (edd), Algebra II, Encyclopaedia of Mathematical Scieinces 18, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-18177-6. Sect.4.7.
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 次元論 (代数学)
• 体上有限生成環の理論