忠実加群

環 A 上の（左または右）加群 M は、その零化イデアル Ann_A (M) が {0} であるときに、忠実（テンプレート:Lang-en-short）であるという。言い換えると、各 $\alpha \in A\setminus \{0\}$ の作用が自明でない（ある x ∈ M に対して α・x ≠ 0）ということである。別の言い方をすれば、対応する表現 $\psi :A\to \mathrm{End}(M)$ が単射である。

任意の加群に対して、次のようにして忠実加群を対応させることができる。環準同型 $\psi :A\to \mathrm{End}(M)$ は、単射準同型 $\tilde{\psi }:A/\ker \psi \to \mathrm{End}(M)$ によって分解する。ker ψ は Ann_A (M) に他ならないので、$\tilde{\psi }$ によって M に A / Ann_A (M)-加群としての構造が入り、このとき $\tilde{\psi }$ は単射なので M は忠実である。

性質

A-加群 M の任意の元 x に対して M_x = M とおくと、写像

$\varphi :A\to \prod _{x\in M}{M}_x,a\mapsto (ax{)}_{x\in M}$

は A-準同型である。このとき ker φ = Ann_A (M) なので、準同型定理より

$A/{\mathrm{Ann}}_A(M)\cong \varphi (A)\subseteq \prod _{x\in M}{M}_x$

を得る。したがって M が忠実加群であれば、A は（自然にA-加群と見て）$\prod _{x\in M}{M}_x$ の部分加群に同型である。

参考文献

• テンプレート:Cite book