鎖状環

数学の鎖状環（さじょうかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、可換環 テンプレート:Mvar であって、その素イデアルの任意の組 テンプレート:Math を結ぶ真に増大する素イデアルの極大鎖

テンプレート:Math

が全て同じ有限の長さを持つもののことをいう。鎖の長さ テンプレート:Mvar を幾何学的にいうと、素イデアルに対応するテンプレート:仮リンクは素イデアルが大きくなると減少するので、これは次元の差である。

環が強鎖状環（きょうさじょうかん、テンプレート:Lang-en-short）であるとは、その環上の有限生成な環が全て鎖状環であることをいう。

"catenary" という言葉は鎖（chain）を意味するラテン語の catena から来ている。

ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。

強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環

次元公式

テンプレート:Mvar をネーター整域、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上有限生成な整域とする。テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の素イデアル、テンプレート:Mvar をこれと テンプレート:Mvar の共通部分とするとき、

$\text{height}(P)\le \text{height}(p)+{\text{tr.deg.}}_A(B)-{\text{tr.deg.}}_{\kappa (p)}(\kappa (P))$

が成り立つ。テンプレート:Mvar が強鎖状環であれば等式が成り立ち、これを強鎖状環の次元公式という。

ここで、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の剰余体で、テンプレート:Math は（商体の）超越次数である。

なお、テンプレート:Mvar が強鎖状ではなくとも、$B=A[x_1,\dots ,x_n]$ であれば、等式はやはり成り立つ。

例

代数幾何学に現れるほとんどすべてのネーター環は強鎖状である。例えば次の環は全て強鎖状である。

• 完備ネーター局所環

• デデキント環、体

• コーエン・マコーレー環、正則局所環

• 強鎖状環を局所化した環

• 強鎖状環上有限生成の環

鎖状だが強鎖状ではない環

強鎖状ではないネーター環の例を作るのは簡単ではない。最初の例は永田雅宜が見つけた、鎖状だが強鎖状ではない2次元ネーター局所整域である。

永田の例は次のようなものである。テンプレート:Mvar を体、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の形式的ベキ級数環とし、その不定元を テンプレート:Mvar とする。形式的ベキ級数 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が代数的独立になるものとする。

テンプレート:Math, テンプレート:Math と置く。

テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar と全ての テンプレート:Math で生成される（非ネーター）環とする。

テンプレート:Mvar をイデアル テンプレート:Math、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math と全ての テンプレート:Math で生成されるイデアルとする。どちらも テンプレート:Mvar の極大イデアルで、剰余体は テンプレート:Mvar と同型である。局所環 テンプレート:Mvar_{テンプレート:Mvar} は1次元の正則局所環で、局所環 テンプレート:Mvar_{テンプレート:Mvar} は2次元のネーター正則局所環である（このことの証明には テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が代数的独立であることを使う）。

テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar か テンプレート:Mvar に入らない要素全体についての テンプレート:Mvar の局所化とする。テンプレート:Mvar は、2つの極大イデアル テンプレート:Math（高さ1）と テンプレート:Math（高さ2）を持つ2次元のネーター半局所環になる。

テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar のジャコブソン根基とし、テンプレート:Math と置く。環 テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar を極大イデアルとする2次元の局所整域になっていて、2次元の局所整域は全て鎖状なので、鎖状である。環 テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar がネーターかつ有限 テンプレート:Mvar 加群なので、ネーターである。しかし テンプレート:Mvar は強鎖状ではない。もし強鎖状であれば、強鎖状環についての次元公式から テンプレート:Mvar のイデアル テンプレート:Math は テンプレート:Math と同じ高さを持つはずであるが、後者のイデアルの高さは テンプレート:Math と等しいからである。

永田の例はテンプレート:仮リンクにもなっているので、優秀環ではない準優秀環の例にもなっている。

関連項目

• テンプレート:仮リンク（実は強鎖状環と同じ）

参考文献

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 テンプレート:ISBN2.
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:EGA

外部リンク

• テンプレート:Citation