ゴレンシュタイン環

可換環論において、Gorenstein 局所環 (Gorenstein local ring) はネーター可換局所環 R であって、R-加群として有限の移入次元をもつものである。同値な条件がたくさんあり、そのうちのいくつかは以下にリストされるが、多くはある種の双対の条件を扱う。

Gorenstein 環は Grothendieck によって導入され、彼が名前を付けたが、その理由は テンプレート:Harvtxt によって研究された特異平面曲線の双対の性質との関係である（Gorenstein は Gorenstein 環の定義を理解していないと主張することを好んだ）。0次元のケースは テンプレート:Harvtxt によって研究されていた。テンプレート:Harvtxt と テンプレート:Harvtxt は Gorenstein 環の概念を公表した。

0次元 Gorenstein 環の非可換環における類似はフロベニウス環と呼ばれる。

ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。

テンプレート:仮リンク ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環

定義

Gorenstein 環 は可換環であって素イデアルにおける各局所化が Gorenstein 局所環であるようなものである。Gorenstein 環の概念はより一般的なコーエン・マコーレー環の特別な場合である。

古典的な定義は：

局所コーエン・マコーレー環 R は既約イデアルを生成する極大イデアルにおいて極大R-正則列が存在するときに Gorenstein と呼ばれる。テンプレート:Citation needed

クルル次元 n のネーター可換局所環 $(R,m,k)$ に対して、以下は同値である。

• $R$ は $R$-加群として移入次元が有限である。
• $R$ は $R$-加群として移入次元が $n$ である。
• $i\ne n$ に対して ${\mathrm{Ext}}_R^i(k,R)=0$ であり ${\mathrm{Ext}}_R^n(k,R)$ は $k$ と同型。
• ある $i>n$ に対して ${\mathrm{Ext}}_R^i(k,R)=0$
• すべての $i<n$ に対して ${\mathrm{Ext}}_R^i(k,R)=0$ であり ${\mathrm{Ext}}_R^n(k,R)$ は $k$ と同型。
• $R$ は $n$-次元 Gorenstein 環。

（可換とは限らない）環 R は左 R-加群としても右 R-加群としても R の入射次元が有限なときに Gorenstein と呼ばれる。R が局所環であれば、R を局所 Gorenstein 環という。

例

• すべての局所テンプレート:仮リンク、とくにすべての正則局所環は Gorenstein である。

• 環 k[x,y,z]/(x², y², xz, yz, z²–xy) は完交環でない0次元 Gorenstein 環である。

• 環 k[x,y]/(x², y², xy) は Gorenstein 環でない0次元 Cohen–Macaulay 環である。

性質

ネーター可換局所環が Gorenstein であることとその完備化が Gorenstein であることは同値である。

次数付き Gorenstein 環 R の テンプレート:仮リンク は R を何次かずらしたものに同型である。

参考文献

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• テンプレート:SpringerEOM
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• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
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関連項目

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