ベクトル束

メビウスの帯は1-球面 S¹ 上の直線束である。局所的に S¹ 上の各点の周りでは U × R に見えるが、大域的に束全体を見れば S¹ × R（これは円筒に同相）とは明らかに異なる。

数学において、ベクトル束（べくとるそく、テンプレート:Lang-en-short; ベクトルバンドル）は、ある空間テンプレート:Mvar（例えば、テンプレート:Mvar は位相空間、多様体、代数多様体等）により径数付けられたベクトル空間の族を作るという方法で与えられる幾何学的構成である。

導入

空間テンプレート:Mvar 上のベクトル束（ベクトルバンドル）とは、テンプレート:Mvar の各点テンプレート:Mvar にベクトル空間テンプレート:Math を対応させた（というよりは「貼り付けた」("attach")）とき、それらが「うまく貼り合わされて」もとのテンプレート:Mvar と同種の空間（例えば、位相空間、多様体、代数多様体等）を成すようなものである（「バンドル」は一まとめに束ねたものの意）。

最も単純な例は、貼り合せるベクトル空間の族が一定の（つまり固定したベクトル空間 V により、すべてのテンプレート:Math に対しテンプレート:Math となる）場合である。このとき、各点テンプレート:Math に対応する V の複写の全体が貼り合わされてテンプレート:Mvar 上のベクトル束テンプレート:Mvar × V ができる。この様なベクトル束は自明であると言われる。

より複雑（かつ原型的）な例の一つのクラスは、滑らかな多様体（可微分多様体）の接束である。これは多様体テンプレート:Mvar の各点テンプレート:Math に、その点での接空間テンプレート:Math を付随させたものである。接束は一般には自明束ではない。たとえば、二次元球面の接束は毛玉の定理により自明ではない。一般に、多様体の接束が自明となることを「多様体は平行化可能テンプレート:Lang である」と言い表す。

ベクトル束は殆ど常に局所的に自明である必要があるが、これはベクトル束が、ベクトル空間をファイバーとするファイバー束（ファイバーバンドル）であることを意味する。また、ベクトル空間として実数体または複素数体上のベクトル空間を考えるのが普通であり、そのようなベクトル束は、それぞれ実ベクトル束または複素ベクトル束と呼ばれる。複素ベクトル束を、付加構造を備えた実ベクトル束として見ることもできる。以下では、位相空間の圏における実ベクトル束に焦点を絞って議論する。

定義および定義からただちに証明されること

実ベクトル束は、

底空間（ていくうかん、テンプレート:Lang）と呼ばれる位相空間テンプレート:Mvar および全空間（ぜんくうかん、テンプレート:Lang）と呼ばれる位相空間テンプレート:Mvar
束射影（そくしゃえい、テンプレート:Lang）あるいは単に射影と呼ばれる連続写像テンプレート:Math
任意のテンプレート:Math に対し、ファイバーテンプレート:Math に与えられた実ベクトル空間としての構造

の組であって（ただし、紛れのおそれの無い場合には束射影の記号で代表して、ベクトル束テンプレート:Math あるいは全空間で代表してベクトル束テンプレート:Mvar のように呼ぶ）、以下の整合性条件：

任意のテンプレート:Math に対し、開近傍テンプレート:Mvar, 正整数テンプレート:Mvar, 同相写像

ϕ : U \times ℝ^{k} \to π^{- 1} (U)

が存在し、任意のテンプレート:Math に対して、

任意のテンプレート:Math に対してテンプレート:Math かつ
写像 $𝐑^{k} \to π^{- 1} (y); v \mapsto ϕ (y, v)$ はベクトル空間の同型写像である。

を満たすものである。開近傍テンプレート:Mvar に同相写像テンプレート:Mvar を考え合わせたものを、ベクトル束の局所自明化 テンプレート:Lang という。局所自明化によって、写像テンプレート:Mvar が「局所的に見れば」テンプレート:Math からテンプレート:Mvar の射影である「かのようにみえる」ということが表されている。

任意のテンプレート:Math に対し、ファイバーテンプレート:Math は有限次元の実ベクトル空間であり、従って実ベクトル空間としての次元テンプレート:Mvar を有する。局所自明性により、関数 $X \to 𝐍; x \mapsto k_{x}$ は局所定数であり、従ってテンプレート:Mvar の各連結成分の上では一定である。任意のテンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar が定数テンプレート:Mvar に等しいとき、テンプレート:Mvar をベクトル束テンプレート:Mvar の階数（かいすう、テンプレート:Lang）といい、テンプレート:Mvar は階数テンプレート:Mvar のベクトル束であるという。階数 1 のベクトル束は、直線束 (テンプレート:Lang) と呼ばれる。階数 2 のベクトル束は稀に平面束 (plane bundle) とも呼ばれる。

直積テンプレート:Math に自然な射影テンプレート:Math を考えたものはベクトル束であり、テンプレート:Mvar 上の階数テンプレート:Mvar の自明束（じめいそく、trivial bundle）という。

座標変換式

階数テンプレート:Mvar のベクトル束テンプレート:Math と、近傍の対テンプレート:Math にそれぞれの局所自明化

φ_{U} : U \times ℝ^{k} \overset{≅}{\to} π^{- 1} (U), φ_{V} : V \times ℝ^{k} \overset{≅}{\to} π^{- 1} (V)

が与えられているとき、テンプレート:Math 上で合成写像

φ_{V}^{- 1} \circ φ_{U} : (U \cap V) \times ℝ^{k} \to (U \cap V) \times ℝ^{k}

は矛盾無く定まり、

φ_{V}^{- 1} \circ φ_{U} (x, v) = (x, g_{U V} (x) v)

を満たすテンプレート:Math-値写像

g_{U V} : U \cap V \to GL (k)

がとれる。このような写像を（テンプレート:Math のとり方に依らず総称して）ベクトル束の遷移写像もしくは推移写像 テンプレート:Lang または座標変換 テンプレート:Lang という。

座標変換の全体は任意のテンプレート:Math についてその局所自明化上で

g_{U U} (x) = I, g_{U V} (x) g_{V W} (x) g_{W U} (x) = I

を満たすという意味でテンプレート:仮リンクを成す。したがって、組テンプレート:Math はファイバー束を定める。このとき、座標変換テンプレート:Mvar の与える付加情報は、ファイバーの構造群がテンプレート:Math であり、ファイバーへの作用がテンプレート:Math の通常の作用として与えられることを示すものである。

逆に、ファイバー束テンプレート:Math がファイバーテンプレート:Math 上にテンプレート:Math の通常の作用によるコサイクル作用テンプレート:Lang を持つならば、対応するベクトル束が存在する。このことを以ってベクトル束の定義とすることもある。

ベクトル束の射

ベクトル束テンプレート:Math からベクトル束テンプレート:Math への射テンプレート:Lang は、連続写像テンプレート:Math とテンプレート:Math の対であって、以下の条件を満たすものである。

テンプレート:Math
任意のテンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar が引起こす写像テンプレート:Math は、ベクトル空間の線型写像である。

テンプレート:Math の全射性により、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar によって完全に決定される。このことからテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の被覆と呼ばれる。

ベクトル束全体の成す類に束射を考え合わせたものは圏をなす。ベクトル束を空間が可微分多様体で束射影が滑らかなものに制限し、束の射も滑らかなもののみに制限すると、滑らかなベクトル束の圏を得る。ベクトル束の射は、ファイバー束間の束写像の概念の特別な事例であり、（ベクトル）束準同型（写像）テンプレート:Lang ともいう。

テンプレート:Math からテンプレート:Math への束準同型で、その逆写像が再び（テンプレート:Math からテンプレート:Math への）束準同型であるものを（ベクトル）束同型（写像）テンプレート:Lang といい、このときテンプレート:Math とテンプレート:Math とは束（として）同型であるという。テンプレート:Mvar 上の（階数テンプレート:Mvar の）ベクトル束と（テンプレート:Mvar 上の階数テンプレート:Mvar の）自明束の間の同型写像をテンプレート:Mvar の自明化 テンプレート:Lang といい、自明化をもつベクトル束テンプレート:Mvar は自明である、または自明化可能 テンプレート:Lang であるという。ベクトル束の定義より、任意のベクトル束は局所的に自明である。

固定した底空間テンプレート:Mvar の上のすべてのベクトル束の圏を考えることもできる。この圏の射として、底空間テンプレート:Mvar 上の写像が恒等写像になるベクトル束の射を取る。つまり、以下の図式を可換にする束の射である。

（この圏はアーベル圏ではない。ベクトル束の射の核をベクトル束とする自然な方法は一般に存在しない）

ベクトル束テンプレート:Math からベクトル束テンプレート:Math へのベクトル束の射が、写像テンプレート:Math を被覆するとき、この射は、テンプレート:Math 上でテンプレート:Math からテンプレート:仮リンクテンプレート:Math へのベクトル束の射と見ることもできる。

切断および局所自由層

ベクトル束テンプレート:Math とテンプレート:Mvar の開集合テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar 上の切断、断面テンプレート:Lang を考えることができる。切断とは、テンプレート:Math を満たす連続写像テンプレート:Math のことであり、これは本質的にはテンプレート:Mvar の各点で、それに付随するベクトル空間のベクトルを連続的に対応させることを意味する。例えば、可微分多様体の接束の切断とは、その多様体上のベクトル場に他ならない。

F(U) を、U 上の切断全体の集合とする。F(U) は常に、少なくとも零切断 テンプレート:Langと呼ばれる一つの要素を含む。これは、任意の要素テンプレート:Math をベクトル空間テンプレート:Math の零ベクトルに写像する切断 s である。各点における切断の加法とスカラー倍により、F(U) はそれ自体が実ベクトル空間になる。これらベクトル空間の（開集合 U に関する）系は、テンプレート:Mvar 上のベクトル空間の層をなす。

s が F(U) に属する切断で α: U → R が連続写像のとき、点ごとのスカラー乗法で定義される αs は再び F(U) に属する。したがって、F(U) を U 上で定義された実数値連続関数環の上の加群と見なすことができる。さらに、テンプレート:Mvar 上の実数値連続関数全体の成す構造層を O_{テンプレート:Mvar} と書くと、F は O_{テンプレート:Mvar} 加群全体の層になる。

どんな O_{テンプレート:Mvar} 加群の層でも、ベクトル束からこの方法で得られるというわけではなく、局所自由であるものに限られる。実際にこの構成法では、局所的には射影 U × R^k → U の切断を求めることになるが、それはちょうど連続写像 U → R^k であって、連続関数 U → R の k 組として表されるからである。

さらに言えば、テンプレート:Mvar 上の実ベクトル束の圏は、局所自由かつ有限生成な O_{テンプレート:Mvar} 加群の層の圏に圏同値である。したがって、テンプレート:Mvar 上の実ベクトル束の圏は O_{テンプレート:Mvar} 加群の層の圏に含まれていると考えることができる。後者はアーベル圏であり、それによってベクトル束の射の核や余核をその中でならば計算することができる。

n-階ベクトル束が自明であるための必要十分条件は、それが n 個の線型独立な大域切断を持つことであることに注意。

ベクトル束の演算

ベクトル空間に対する演算の多くは、それをファイバーごとに行うことによってベクトル束の演算に拡張することができる。

例えば、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar 上のベクトル束のとき、テンプレート:Math におけるファイバーテンプレート:Mvar をその双対ベクトル空間テンプレート:Math に取り替えて、テンプレート:Mvar の双対束 テンプレート:Lang と呼ばれるテンプレート:Mvar 上のベクトル束テンプレート:Math が定まる。厳密に言えば、テンプレート:Math は、テンプレート:Math, テンプレート:Math に関する対テンプレート:Math 全体の成す集合として定義できる。テンプレート:Mvar の局所的自明化の逆像の双対空間はテンプレート:Math の局所的自明化だから、双対束は局所的に自明である。これには双対ベクトル空間を取る操作が関手的であること（ここでは双対をとることと同型写像とが可換ということ）が鍵になっている。

（同じ体上の）二つのベクトル空間の上で行える関手的操作のほとんどはテンプレート:Mvar 上のベクトル束テンプレート:Math の対に直接的に拡張することができる。いくつか例を挙げる。

テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar のホイットニー和 テンプレート:Lang または直和束 テンプレート:Lang と呼ばれるテンプレート:Mvar 上のベクトル束テンプレート:Math は、各点テンプレート:Mvar の上のファイバーがベクトル空間テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の直和テンプレート:Math となるものとして定義される。
同様に、テンソル積束 テンプレート:Lang テンプレート:Math が、ファイバーごとにベクトル空間のテンソル積を用いることによって定義できる。
準同型束 テンプレート:Lang テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar におけるファイバーがテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への線型写像全体の空間（テンプレート:Math) またはテンプレート:Math としばしば書かれる）であるようなベクトル束である。この束をこのように書いて便利に準同型束（あるいは Hom-束）と呼ぶのは、「テンプレート:Math のテンプレート:Mvar 上の切断」と「テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar へのテンプレート:Mvar 上のベクトル束の準同型」とが同一視できるためである。
さらに、自己準同型束テンプレート:Math の断面テンプレート:Mvar と関数テンプレート:Math が与えられると、点テンプレート:Math 上のファイバーを線型写像テンプレート:Math のテンプレート:Math-固有空間とすることで、固有束 (テンプレート:Lang) を構成することができる。
双対束テンプレート:Math はテンプレート:Mvar と自明束テンプレート:Math との間の準同型束テンプレート:Math に一致する。また、自然なベクトル束の同型 $Hom (E, F) ≅ E^{*} \otimes F$ が存在する。

これらの操作は、ベクトル空間の圏における操作の多くが関手的な仕方でベクトル束の圏における操作として意味を成すという、ベクトル束が持つ一般的な特徴を示す特定の例となっている。このことは滑らかな関手の言葉を用いて精緻化することができる。

もっと別な種類の操作として、原像あるいは引き戻し テンプレート:Lang 構成と呼ばれるものがある。ベクトル束テンプレート:Math と連続写像テンプレート:Math が与えられたとき、テンプレート:Mvar 上のベクトル束テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar によってテンプレート:Mvar 上のベクトル束テンプレート:Math へ「引き戻す」ことができる。つまり、テンプレート:Math 上のファイバーは、実質的にテンプレート:Math 上のファイバーになっている。これを使えば、ホイットニー和テンプレート:Math をテンプレート:Math 上のベクトル束として対角線写像テンプレート:Math の引き戻しとして定義することもできる。

付加構造と一般化

ベクトル束には、さらにいろいろな構造が与えられていることも多い。例えば、ベクトル束にはテンプレート:仮リンクが与えられていることがある。通常は計量が正定値であることを仮定し、これによってテンプレート:Mvar の各ファイバーはユークリッド空間となる。また例えば、複素構造を備えた実ベクトル束は複素ベクトル束に対応する。複素ベクトル束は、実ベクトル束の定義において実ベクトル空間や実線型写像としていたところを代わりに複素ベクトル空間や複素線型写像にとりかえて得られるものである。もっと一般に、ベクトル束に移入された付加構造は、典型的にはテンプレート:仮リンクによって得られるものとして理解することができる。（実数体や複素数体だけではなく）さらに一般の位相体上のベクトル束というものも用いられる。

また、有限次元ベクトル空間の代わりにバナッハ空間をファイバーテンプレート:Mvar とすることでテンプレート:仮リンクの概念がえられる^[1]。特に、各ファイバー上の局所自明化に対する条件は（単に線型同型なだけでなく）バナッハ空間の同型とするのが自然であり、さらに座標変換

g_{U V} : U \cap V \to G L (F)

がテンプレート:仮リンクの間の連続写像となるようにすべきである。同様に、テンプレート:Mvar-級ベクトル束の理論では、これらの写像がテンプレート:Mvar-級であることを要請する。

ベクトル束は、ファイバーがベクトル空間でコサイクルがベクトル空間構造を保つような特別なファイバー束であった。もっと一般のファイバー束は、そのファイバーとして他のさまざまな構造をとることができる。たとえば、球面によってファイバー付けられるファイバー束はテンプレート:仮リンクと呼ばれる。

可微分ベクトル束

ベクトル束テンプレート:Math が滑らか テンプレート:Lang であるとは、テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar が滑らかな多様体で　テンプレート:Math が滑らかな写像であり、かつ局所自明化が微分同相となるようなときに言う。要求する滑らかさの度合いにより、各種のテンプレート:Mvar-級ベクトル束やテンプレート:Math-級ベクトル束、テンプレート:仮リンク-級ベクトル束（実解析的ベクトル束）などの異なる概念が得られる。本節では、テンプレート:Math-級ベクトル束について主に述べる。最も重要なテンプレート:Math-級ベクトル束の例は、テンプレート:Math-級多様体テンプレート:Mvar の接束テンプレート:Math である。

テンプレート:Math-級ベクトル束テンプレート:Math のもつ非常に重要な性質で、一般のテンプレート:Math-級ファイバー束が持たないものがある。具体的には、各テンプレート:Math における接空間テンプレート:Math は、ファイバーテンプレート:Mvar 自身と自然に同一視することができることである。この同一視は

{vl}_{v} w [f] : = \frac{d}{d t} |_{t = 0} f (v + t w), (f \in C^{\infty} (E_{x}))

で定義される垂直射あるいは垂直持ち上げ テンプレート:Lang テンプレート:Math によって与えられる。垂直持ち上げは自然にテンプレート:Math-級ベクトル束の同型テンプレート:Math と見ることができる。ここでテンプレート:Math はテンプレート:Mvar 上のベクトル束テンプレート:Math のテンプレート:Math に沿った引き戻し束であり、テンプレート:Math は垂直接束と呼ばれる、全空間テンプレート:Mvar の接束テンプレート:Math の自然な部分ベクトル束である。

スリットベクトル束 テンプレート:Lang テンプレート:Math はベクトル束テンプレート:Math から零切断テンプレート:Math を取り除くことで得られ、ここから得られる標準的なベクトル場テンプレート:Math は標準ベクトル場 テンプレート:Lang として知られる。もっときちんと言えば、テンプレート:Mvar はベクトル束テンプレート:Math の滑らかな切断であり、またリー群作用

Φ_{V} : ℝ \times (E ∖ 0) \to (E ∖ 0); (t, v) \mapsto Φ_{V}^{t} (v) : = e^{t} v .

の無限小生成作用素としても定義される。

任意の滑らかなベクトル束テンプレート:Math に対して、その接束テンプレート:Math の全空間テンプレート:Mvar は自然なテンプレート:仮リンクテンプレート:Math を持つ。ここでテンプレート:Math は標準射影テンプレート:Math の押し出しテンプレート:Lang である。この二次ベクトル束構造におけるベクトル束演算は、もとの加法テンプレート:Math およびスカラー倍テンプレート:Math から得られる押し出しテンプレート:Math およびテンプレート:Math である。

K-理論

テンプレート:仮リンクは位相空間の複素ベクトル束を用いたコホモロジー理論の類似物である。位相空間テンプレート:Mvar 上の K-理論の群^{[* 1]} テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar 上の複素ベクトル束テンプレート:Mvar の同型類テンプレート:Math の全体 VecBdl_C(X) を生成系とする自由可換群に対して、完全列

テンプレート:Math

を持つ全てのベクトル束テンプレート:Math について与えられる関係式

テンプレート:Math

を基本関係式として定めて得られる商群である。複素ベクトル束の代わりに実ベクトル束を用いた同様の構成はテンプレート:仮リンクという。コンパクト台付きテンプレート:Mvar-理論や、高次のテンプレート:Mvar-理論なども定義することができる。

よく知られるラウル・ボットのテンプレート:仮リンクは任意の位相空間テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar 理論がテンプレート:Mvar と 2 次元球面テンプレート:Math との直積

テンプレート:Mvar × S²

に同型であることを主張するものである。

代数幾何学において、テンプレート:Mvar 理論の群はスキームテンプレート:Mvar 上のベクトル束に上記の同値関係をあたえたもののみならず、スキーム上の連接層の全体からもテンプレート:Mvar-理論の群が作られる。台となるスキームが滑らかならばこの二つの構成は同じ群を与える。

脚注

↑ この群はグロタンディーク群と呼ばれる。

参考文献

↑ テンプレート:Citation

テンプレート:Citation
テンプレート:Citation . ISBN 978-0-8218-4815-9
テンプレート:Citation see Ch.5
テンプレート:Citation, see section 1.5.
テンプレート:Citation, see section 1.5

[2] この群はグロタンディーク群と呼ばれる。

[1] テンプレート:Citation

[1]

[* 1]

ベクトル束

目次

導入

定義および定義からただちに証明されること

座標変換式

ベクトル束の射

切断および局所自由層

ベクトル束の演算

付加構造と一般化

可微分ベクトル束

K-理論

関連項目

一般的事項

位相幾何学、微分幾何学

代数幾何学、解析幾何学

脚注

参考文献

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ベクトル束

導入

定義および定義からただちに証明されること

座標変換式

ベクトル束の射

切断および局所自由層

ベクトル束の演算

付加構造と一般化

可微分ベクトル束

K-理論

関連項目

一般的事項

位相幾何学、微分幾何学

代数幾何学、解析幾何学

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