加群の層

数学において，テンプレート:Mvar 加群の層 (sheaf of テンプレート:Mvar-modules) あるいは単に環付き空間 テンプレート:Math 上の テンプレート:Mvar 加群 (テンプレート:Mvar-module) とは，層 テンプレート:Mvar であって，テンプレート:Mvar の任意の開部分集合 テンプレート:Mvar に対し，テンプレート:Math が テンプレート:Math 加群であり，制限写像 テンプレート:Math が制限写像 テンプレート:Math と整合的なもの，すなわち テンプレート:Math の任意の テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の任意の テンプレート:Mvar に対し，テンプレート:Mvar の制限が テンプレート:Mvar の制限と テンプレート:Mvar の制限との積であるものである．

標準的な場合は テンプレート:Mvar がスキームで テンプレート:Mvar がその構造層であるときである．テンプレート:Mvar がテンプレート:仮リンク $\underset{\_}{𝐙}$ のとき，テンプレート:Mvar 加群の層はアーベル群の層（すなわちアーベル層）と同じである．

テンプレート:Mvar が環 テンプレート:Mvar の素スペクトルであるとき，任意の テンプレート:Mvar 加群は自然に テンプレート:Mvar 加群を定義する（associated sheaf と呼ばれる）．同様に，テンプレート:Mvar が次数環で テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の テンプレート:仮リンク であるとき，任意の次数加群は自然に テンプレート:Mvar 加群を定める．そのように生じる テンプレート:Mvar 加群は準連接層の例であり，実は，アファインあるいは射影スキーム上，すべての準連接層はこのようにして得られる．

環付き空間上の加群の層はアーベル圏をなす．さらに，この圏は充分単射的対象を持ち，したがって層係数コホモロジー ${\mathrm{H}}^i(X,-)$ をテンプレート:仮リンク $\mathrm{\Gamma }(X,-)$ の テンプレート:Mvar 次右導来関手として定義でき，実際そう定義する．

例

• 環付き空間 テンプレート:Math が与えられ，テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 部分加群であるとき，それは テンプレート:Mvar のイデアルの層あるいはテンプレート:仮リンクと呼ばれる，なぜならば テンプレート:Mvar のすべての開部分集合 テンプレート:Mvar に対し，テンプレート:Math は環 テンプレート:Math のイデアルであるからである．
• テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 次元のテンプレート:仮リンクとすると，テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクはテンプレート:仮リンク ${\mathrm{\Omega }}_X$ の双対であり，標準層 ${\omega }_X$ は ${\mathrm{\Omega }}_X$ の テンプレート:Mvar 次外冪（テンプレート:仮リンク）である．

演算

テンプレート:Math を環付き空間とする．テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 加群のとき，それらのテンソル積は，

$F{\otimes }_{O}G$ あるいは $F\otimes G$

と表記され，前層 $U\mapsto F(U){\otimes }_{O(U)}G(U)$ に伴う層である テンプレート:Mvar 加群である．（層化が避けられないことを見るには，$O(1)\otimes O(-1)=O$ の大域切断を計算せよ，ここで テンプレート:Math は射影空間上のテンプレート:仮リンクである．）

同様に，テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 加群のとき，

$\mathscr{H}o{m}_O(F,G)$

は層 $U\mapsto {\mathrm{Hom}}_{O{|}_U}(F{|}_U,G{|}_U)$ である テンプレート:Mvar 加群を表す．とくに，テンプレート:Mvar 加群

$\mathscr{H}o{m}_O(F,O)$

は テンプレート:Mvar の双対加群と呼ばれ，$\check{F}$ と表記される．注意：任意の テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Math テンプレート:Mvar に対し，自然な準同型

$\check{E}\otimes F\to \mathscr{H}o{m}_O(E,F)$

が存在し，テンプレート:Mvar が階数有限の局所自由層であるとき，これは同型である．とくに，テンプレート:Mvar が階数 1 の局所自由であるとき（そのような テンプレート:Mvar は可逆層あるいは直線束と呼ばれる），これは

$\check{L}\otimes L\simeq O$

となり，したがって可逆層の同型類たちは群をなす．この群は テンプレート:Mvar のピカール群と呼ばれ，一次コホモロジー群 ${\mathrm{H}}^1(X,{𝒪}^{*})$ と（テンプレート:仮リンクによる標準的な議論によって）カノニカルに同一視される．

テンプレート:Mvar が階数有限の局所自由層であれば，ペアリングによって与えられる テンプレート:Mvar 線型写像 $\check{E}\otimes E\simeq {\mathrm{End}}_O(E)\to O$ がある；それは テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクと呼ばれる．

任意の テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar に対し，テンプレート:Mvar のテンソル代数，外積代数，対称代数が同じように定義される．例えば，テンプレート:Mvar 次外冪

${\wedge }^{k}F$

は前層 $U\mapsto \underset{O(U)}{\overset{k}{\wedge }}F(U)$ に伴う層である．テンプレート:Mvar が階数 テンプレート:Mvar で局所自由ならば，${\wedge }^{n}F$ は テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクと呼ばれ（技術的には可逆層であるが），テンプレート:Math と書かれる．自然な完全対

${\wedge }^{r}F\otimes {\wedge }^{n-r}F\to \det (F)$

がある．

テンプレート:Math を環付き空間の射とする．テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 加群のとき，テンプレート:仮リンク $f_{*}F$ は自然な写像 テンプレート:Math により テンプレート:Math 加群である（そのような自然な写像は環付き空間の射のデータの一部である）．

テンプレート:Mvar が テンプレート:Math 加群であるとき，テンプレート:Mvar の逆像 $f^{*}G$ である加群は加群のテンソル積として与えられる テンプレート:Mvar 加群である：

$f^{-1}G{\otimes }_{f^{-1}{O}^{\prime }}O$

ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクであり，$f^{-1}{O}^{\prime }\to O$ は $O^{\prime }\to f_{*}O$ から随伴によって得られる．

$f_{*}$ と $f^{*}$ の間には随伴の関係がある：任意の テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar と テンプレート:Math 加群 テンプレート:Mvar に対して，アーベル群として

${\mathrm{Hom}}_O(f^{*}G,F)\simeq {\mathrm{Hom}}_{O^{\prime }}(G,f_{*}F)$

が成り立つ．テンプレート:仮リンクもある： テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar と階数有限の局所自由 テンプレート:Math 加群 テンプレート:Mvar に対して，

$f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E$

が成り立つ．

性質

テンプレート:Anchors テンプレート:Math を環付き空間とする．テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar が大域切断によって生成される (generated by global sections) とは，テンプレート:Mvar 加群の全射

${\oplus }_{i\in I}O\to F\to 0$

が存在することをいう．明示的にはこれは，テンプレート:Mvar の大域切断 テンプレート:Mvar であって，各茎 テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の像たちが テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 加群として生成するものが存在することを意味する．

そのような層の例は代数幾何学において任意の可換環のスペクトル テンプレート:Math 上に テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar を付随させるものである．別の例：カルタンの定理Aにより，シュタイン多様体上の任意の連接層は大域切断によって張られる（cf. 下記のセールの定理A）．スキームの理論において，関連する概念は豊富な直線束である．（例えば，テンプレート:Mvar が豊富な直線束であれば，それのある冪が大域切断によって生成される．）

移入 テンプレート:Mvar 加群はテンプレート:仮リンクである（すなわちすべての制限写像 テンプレート:Math が全射である）．脆弱層はアーベル層の圏において非輪状であるから，これは次のことを意味する：テンプレート:Mvar 加群の圏における大域切断関手 $\mathrm{\Gamma }(X,-)$ の テンプレート:Mvar 次右導来関手がアーベル層の圏における通常の テンプレート:Mvar 次層コホモロジーと一致する．

加群に付随する層

テンプレート:Mvar を環 テンプレート:Mvar 上の加群とする．テンプレート:Math とおく．任意の対 $D(f)\subset D(g)$ に対して，局所化の普遍性により，${\rho }_{g,f}={\rho }_{g,h}\circ {\rho }_{h,f}$ なる性質を持つ自然な写像

${\rho }_{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]$

が存在する．すると

$D(f)\mapsto M[f^{-1}]$

は対象が集合 テンプレート:Math で射が集合の包含である圏からアーベル群の圏への反変関手である．それは実は テンプレート:仮リンク（すなわち貼り合わせの公理を満たす）であり，したがって テンプレート:Mvar に付随する層と呼ばれる テンプレート:Mvar 上の層 $\tilde{M}$ を定義することを示すことができる．

最も基本的な例は テンプレート:Mvar 上の構造層，すなわち ${𝒪}_X=\tilde{A}$ である．さらに，$\tilde{M}$ は ${𝒪}_X=\tilde{A}$ の構造を持ち，したがって テンプレート:Mvar 上の加群の圏 テンプレート:Math から ${𝒪}_X$ 上の加群の圏への完全関手 $M\mapsto \tilde{M}$ を得る．それは テンプレート:Math から テンプレート:Mvar 上の準連接層の圏への同型を定義し，逆射は大域切断関手 $\mathrm{\Gamma }(X,-)$ である．テンプレート:Mvar がネーター的スキームのときには，関手は有限生成 テンプレート:Mvar 加群の圏から テンプレート:Mvar 上の連接層の圏への同型である．

構成は以下の性質を持つ：任意の テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Math2 に対し，

• $M[f^{-1}{]}^{\sim }=\tilde{M}{|}_{D(f)}$.
• テンプレート:Mvar の任意の素イデアル テンプレート:Mvar に対し，テンプレート:Math 加群として ${\tilde{M}}_p\simeq M_p$.
• $(M{\otimes }_{A}N{)}^{\sim }\simeq \tilde{M}{\otimes }_{\tilde{A}}\tilde{N}$.
• テンプレート:Mvar が有限表示のとき，${\mathrm{Hom}}_A(M,N{)}^{\sim }\simeq \mathscr{H}o{m}_{\tilde{A}}(\tilde{M},\tilde{N})$.
• ${\mathrm{Hom}}_A(M,N)\simeq \mathrm{\Gamma }(X,\mathscr{H}o{m}_{\tilde{A}}(\tilde{M},\tilde{N}))$, なぜなら テンプレート:Math と テンプレート:Mvar 上の準連接層の圏の間の同値があるから．
• $(\underrightarrow{\lim }{M}_i{)}^{\sim }\simeq \underrightarrow{\lim }\widetilde{M_i}$; とくに，直和を取ることと テンプレート:Math は可換である．

次数付き加群に付随する層

前の節の構成と同値の次数付きの類似がある．テンプレート:Mvar を テンプレート:Math 代数（テンプレート:Math は次数 0 部分）として次数 1 の元で生成される次数環とし，テンプレート:Mvar を次数 テンプレート:Mvar 加群とする．テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の テンプレート:仮リンク とする（したがって テンプレート:Mvar は射影スキームである）．するとある テンプレート:Mvar 加群 $\tilde{M}$ が存在して，テンプレート:Mvar の次数が正の任意の斉次元 テンプレート:Mvar に対して，アフィンスキーム $\{f\ne 0\}=\mathrm{Spec}(R[f^{-1}{]}_0)$ 上の加群の層として自然な同型

$\tilde{M}{|}_{\{f\ne 0\}}\simeq (M[f^{-1}{]}_0{)}^{\sim }$

がある；実際，これは $\tilde{M}$ を貼り合わせによって定義している．

例：テンプレート:Math を テンプレート:Math によって与えられる次数 テンプレート:Mvar 加群とする．このとき $O(1)=\widetilde{R(1)}$ はテンプレート:仮リンクと呼ばれる（テンプレート:仮リンクの双対である）．

テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar 加群のとき，$F(n)=F\otimes O(n)$ と書けば，標準的な準同型

$({\oplus }_{n\ge 0}\mathrm{\Gamma }(X,F(n)){)}^{\sim }\to F$

が存在し，これが同型であることと テンプレート:Mvar が準連接であることは同値である．

層係数コホモロジーの計算

層コホモロジーは計算が難しいことに定評がある．そのため，次の一般的な事実はどんな実際の計算に対しても基本的である： テンプレート:Math theorem

テンプレート:仮リンクにより，テンプレート:Mvar が射影多様体で テンプレート:Mvar がその上の連接層のとき，十分大きい テンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Math は有限個の大域切断によって生成される．さらに，

(a) 任意の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math は テンプレート:Math 上有限生成であり，

(b) （テンプレート:仮リンク）テンプレート:Mvar に依存する整数 テンプレート:Math が存在して，

${\mathrm{H}}^i(X,F(n))=0,i\ge 1,n\ge n_0$

となる．

層の拡大

テンプレート:Math を環付き空間とし，テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar 加群の層とする．テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による拡大 (extension) とは，テンプレート:Mvar 加群の短完全列

$0\to F\to G\to H\to 0$

である．

群の拡大と同様，テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を固定すれば，テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による拡大の同値類全体はアーベル群をなし（cf. テンプレート:仮リンク），この群は Ext 群 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_O^1(H,F)$ と同型で，単位元は自明な拡大と対応する．

テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar のとき次が成り立つ．すべての テンプレート:Math に対して

${\mathrm{H}}^i(X,F)={\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_O^i(O,F),$

なぜならば両辺とも同じ関手 $\mathrm{\Gamma }(X,-)={\mathrm{Hom}}_O(O,-)$ の右導来関手だからである．

注意：著者によっては（特にハーツホーン），添え字 テンプレート:Mvar を書かない．

テンプレート:Mvar をネーター環上の射影スキームとする．テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の連接層とし，テンプレート:Mvar を整数とする．するとある テンプレート:Math が存在して

${\mathrm{Ext}}_O^i(F,G(n))=\mathrm{\Gamma }(X,ℰx{t}_O^i(F,G(n))),n\ge n_0$

となる． テンプレート:See also

関連項目

• D加群（テンプレート:Mvar の代わりに，微分作用素の層 テンプレート:Mvar を考えることもできる．）
• 分数イデアル
• 正則ベクトル束
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:EGA
• テンプレート:Hartshorne AG