分数イデアル

テンプレート:Expand English 数学、特に可換環論において、分数イデアル（テンプレート:Lang-en-short）の概念は整域の文脈で導入され、特にデデキント整域の研究において成果が多い。ある意味で、整域の分数イデアルは分母が許されたイデアルのようなものである。分数イデアルと普通の環のイデアルがともに議論に出てくるような文脈では、明確にするために後者を整イデアル (integral ideal) と呼ぶこともある。

定義と基本的な結果

テンプレート:Mvar を整域とし テンプレート:Mvar をその分数体とする。テンプレート:Mvar の 分数イデアルは テンプレート:Mvar の テンプレート:Math でない テンプレート:Mvar-部分加群 テンプレート:Mvar であって、テンプレート:Math でない テンプレート:Math が存在して テンプレート:Math となるようなものである。元 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の分母をはらっていると考えることができる。単項分数イデアル (principal fractional ideal) は テンプレート:Mvar のただ一つの テンプレート:Math でない元によって生成される テンプレート:Mvar のそのような テンプレート:Mvar-部分加群である。分数イデアル テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に含まれるのはそれが テンプレート:Mvar の（'整'）イデアルであるとき、かつそのときに限る。

分数イデアル テンプレート:Mvar は次のようなとき可逆 (invertible) であると言う。別の分数イデアル テンプレート:Mvar が存在して テンプレート:Math （ただし テンプレート:Math で、これは二つの分数イデアルの積 (product) と呼ばれる）。このとき、分数イデアル テンプレート:Mvar は一意的に定まり、一般化であるイデアル商 に等しい：

$(R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.$

可逆分数イデアルの集合は単位イデアル テンプレート:Mvar 自身を単位元として上記の積に関してアーベル群をなす。この群は テンプレート:Mvar の分数イデアルの群と呼ばれる。単項分数イデアルは部分群をなす。分数イデアルが可逆であるのはそれが テンプレート:Mvar-加群として射影的であるとき、かつそのときに限る。

テンプレート:Mvar のすべての有限生成 テンプレート:Mvar-部分加群は分数イデアルであり、テンプレート:Mvar がネーター環ならばこれらが テンプレート:Mvar の分数イデアルのすべてである。

デデキント整域

デデキント整域において、この状況ははるかに単純である。特に、すべての分数イデアルは可逆である。実はこの性質はデデキント整域を特徴づける。整域がデデキント整域であるのはすべての分数イデアルが可逆であるとき、かつそのときに限る。

分数イデアルの群を単項分数イデアルからなる部分群で割った商群はデデキント整域の重要な不変量であり、イデアル類群と呼ばれる。

テンプレート:Anchors因子的イデアル

テンプレート:Mvar によって分数イデアル テンプレート:Mvar を含むすべての単項分数イデアルの共通部分を表記する。同じことだが、

$\tilde{I}=(R:(R:I))$

である、ただし上記のように

$(R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}$

である。テンプレート:Math であれば テンプレート:Mvar は 因子的 (divisorial) であると言うテンプレート:Sfn。言い換えると、因子的イデアルは分数単項イデアルのある空でない集合の 0 でない共通部分である。テンプレート:Mvar が因子的で テンプレート:Mvar が分数イデアルであれば、テンプレート:Math は因子的である。

テンプレート:Mvar を局所クルル整域（例えばネーター整閉局所整域）とする。すると テンプレート:Mvar が離散付値環であることと テンプレート:Mvar の極大イデアルが 因子的であることは同値であるテンプレート:Sfn。

因子的イデアルについて昇鎖条件を満たすような整域はテンプレート:仮リンクと呼ばれる。

参考文献

• Chapter 9 of テンプレート:Citation
• Chapter VII.1 of テンプレート:Citation
• Chapter 11 of テンプレート:Citation