商群
テンプレート:Group theory sidebar 数学において、商群（しょうぐん、テンプレート:Lang-en-short）あるいは剰余群、因子群とは、群構造を保つ同値関係を用いて、大きい群の要素を同一視できる関係により一塊としてみなすことで得られる群であり、それぞれの塊がその群の元となる。例えば、[[合同算術|テンプレート:Mvar を法とした加法]]の巡回群は次の様にして得られる。大きい群として加法を演算とする整数の群を取り、差が テンプレート:Mvar の倍数の元を同一視し、そのような各類（合同類と呼ばれる）を１つの要素とし、これによって得られるn個の要素の間に働く群構造を定義する。群論と呼ばれる数学の分野の一部である。
群の合同関係において、単位元となる同値類はつねにもとの群の正規部分群であり、他の同値類たちはちょうどその正規部分群の剰余類たちである。得られる商群は テンプレート:Math と書かれる、ただし テンプレート:Mvar はもとの群で テンプレート:Mvar は正規部分群である。（これは「テンプレート:Math（ジーモッドエヌ）」と読まれる。"mod" は modulo の略である。）
商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する。第一同型定理は任意の群 テンプレート:Mvar の準同型による像はつねに テンプレート:Mvar のある商と同型であると述べている。具体的には、準同型 テンプレート:Math による テンプレート:Mvar の像は テンプレート:Math と同型である、ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の核 を表す。
商群の双対概念は部分群であり、これらが大きい群から小さい群を作る2つの主要な方法である。任意の正規部分群 テンプレート:Mvar は、大きい群から部分群 テンプレート:Mvar の元の間の差異を除去して得られる、対応する商群を持つ。圏論では、商群は商対象の例であり、これは部分対象の双対である。商対象の他の例は、商環、商線型空間、商位相空間、商集合を参照。
定義と説明
群 テンプレート:Mvar と部分群 テンプレート:Mvar と、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar が与えられると、対応する左剰余類 テンプレート:Math を考えることができる。剰余類は群の部分集合の自然な類である；例えば、整数全体のなすアーベル群 テンプレート:Mvar と偶数全体からなる部分群 テンプレート:Mvar を考えよう。するとちょうど2つの剰余類があり、1つは テンプレート:Math で、偶数全体からなり、もう1つは テンプレート:Math で、奇数全体からなる（ここで二項演算には乗法的ではなく加法的な表記を用いている）。
一般の部分群 テンプレート:Mvar に対して、すべての剰余類 テンプレート:Mathからなる集合に協調的な群演算を定義することが望ましい。これは以下に見るように テンプレート:Mvar が正規部分群であるときにちょうど可能である。群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar が正規であるとは、テンプレート:Mvar のすべての元 テンプレート:Mvar に対して剰余類の等式 テンプレート:Math が成り立つことをいう。テンプレート:Mvar の正規部分群は テンプレート:Math と書かれる。
定義
テンプレート:Mvar を群 テンプレート:Mvar の正規部分群とする。集合 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar におけるすべての左剰余類からなる集合と定義する、すなわち、テンプレート:Math とする。テンプレート:Math 上の演算を次のように定義する。テンプレート:Math の各元 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の積は テンプレート:Math である。これは テンプレート:Math 上の演算を定めている、なぜならば テンプレート:Mvar の部分集合の次の等式が成り立つからである：
ここで テンプレート:Mvar が正規部分群であることを本質的に用いている。テンプレート:Math 上のこの演算が結合的で、単位元 テンプレート:Mvar を持ち、テンプレート:Math の元 テンプレート:Mvar の逆元は テンプレート:Math であることが確かめられる。したがって、集合 テンプレート:Math に上で定義された演算を考えると群をなす；これは テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による商群 (quotient group) と呼ばれる。
テンプレート:Mvar の正規性により、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における左剰余類たちと右剰余類たちは等しく、したがって代わりに テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における右剰余類たちの集合として定義することもできた。
例：6を法とした加法
例えば、6を法とした加法の群 テンプレート:Math を考えよう。部分群 テンプレート:Math を考える。これは テンプレート:Mvar が可換だから正規である。すると（左）剰余類全体の集合は3元からなる：
上で定義された二項演算はこの集合を商群と呼ばれる群にし、この場合位数 3 の巡回群に同型である。
名前「商」の動機づけ
テンプレート:Math が商群と呼ばれる理由は整数の除法から来る。12 を 3 で割ると答えは 4 である、なぜならば 12 個のモノを 3 コのモノからなる 4 つのグループに分けることができるからである。商群は同じ思想であるが、最終的な答えは数ではなく群である、なぜならば群はモノの任意の集まりよりも多くの構造を持っているからである。
詳しく述べるため、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の正規部分群として、テンプレート:Math を見ると、群構造は自然な「グループ分け」をするために用いられる。これらは テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における剰余類である。群と正規部分群から始めたから、最終的な商は（通常の割り算が与える）単なる剰余類の個数よりも多くの情報を含んでおり、それ自身群構造を持つ。
例
整数 テンプレート:Mathbf が加法についてなす群と、すべての偶数からなる部分群 テンプレート:Math を考える。これは テンプレート:Mathbf が可換群なので正規部分群である。剰余類は2つしかない：偶数全体の集合と奇数全体の集合である；したがって、商群 テンプレート:Math は2つの元を持つ巡回群である。この商群は2を法とする加法をもつ集合 テンプレート:Math に同型である；インフォーマルには、テンプレート:Math は2を法とする加法をもつ集合 テンプレート:Math に「等しい」と言うこともある。
この例を少し一般化する。再び整数が加法についてなす群 テンプレート:Mathbf を考える。テンプレート:Mvar を任意の正整数とする。テンプレート:Mvar のすべての倍数からなる テンプレート:Mathbf の部分群 テンプレート:Math を考える。テンプレート:Mathbf は可換なのでその部分群 テンプレート:Math は正規である。剰余類たちの集合は テンプレート:Math である。整数 テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar で割った余りを テンプレート:Mvar とすると、剰余類 テンプレート:Math に属する。商 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar で割った「余り」の群と考えることができる。これは位数 テンプレート:Mvar の巡回群である。
[[1の冪根|テンプレート:Math の テンプレート:Math 乗根]]全体を考えると、これは単位円周に乗っているが、乗法についてアーベル群 テンプレート:Mvar をなす。数が色つきの点で偏角とともに絵に描かれている。赤い点で示されている、1の4乗根全体のなす部分群 テンプレート:Mvar を考える。この正規部分群は群を赤、緑、青で示されている、3つの剰余類に分ける。剰余類たちが3元からなる群をなすことを確認できる（赤の元と青の元の積は青、青の元の逆元は緑、など）。したがって、商群 テンプレート:Math は3色の群で、3つの元をもつ巡回群であることが分かる。
実数が加法についてなす群 テンプレート:Mathbf とその整数からなる部分群 テンプレート:Mathbf を考える。テンプレート:Mathbf における テンプレート:Mathbf の剰余類はすべて、テンプレート:Math を実数として テンプレート:Math の形の集合である。そのような剰余類を足すことは対応する実数を足し、結果が 1 以上ならば 1 を引くことによってなされる。商群 テンプレート:Math は円周群 テンプレート:Math に同型であり、これは絶対値 1 の複素数が乗法についてなす群、あるいはそれに対応して、2次元で原点についての回転のなす群、すなわち特殊直交群 テンプレート:Math である。同型は テンプレート:Math によって与えられる（オイラーの公式を参照）。
テンプレート:Mvar が可逆 3 × 3 実行列全体の乗法群で、テンプレート:Mvar がその行列式 1 の部分群であるとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar において正規である（なぜなら行列式を取る準同型の核なので）。テンプレート:Mvar の剰余類は与えられた行列式を持つ行列全体の集合であり、したがって テンプレート:Math は非零実数のなす乗法群に同型である。群 テンプレート:Mvar は特殊線型群 テンプレート:Math と呼ばれる。
アーベル群 テンプレート:Math（すなわち 4 を法とする加法をもつ集合 テンプレート:Math）とその部分群 テンプレート:Math を考える。商群 テンプレート:Math は テンプレート:Math である。これの群の単位元は テンプレート:Math であり、群の演算は テンプレート:Math などとなる。部分群 テンプレート:Math と商群 テンプレート:Math はともに テンプレート:Math に同型である。
乗法群 を考える。テンプレート:Mvar 乗剰余の集合 テンプレート:Mvar は に同型な乗法的部分群である。このとき テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar で正規であり、商群 テンプレート:Math は剰余類 テンプレート:Math2 である。Paillier暗号は テンプレート:Mvar のランダムな元の剰余類を テンプレート:Mvar の因数分解を知らずに決定することは難しいという予想に基づいている。
性質
商群 テンプレート:Math は自明群（ただ1つの元を持つ群）に、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に、同型である。
テンプレート:Math の位数、すなわち元の個数は、テンプレート:Math すなわち テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における指数に等しい。テンプレート:Mvar が有限ならば、指数は テンプレート:Mvar の位数を テンプレート:Mvar の位数で割ったものにも等しい。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar がともに無限でも テンプレート:Math は有限かもしれないことに注意（例えば テンプレート:Math）。
テンプレート:Mvar の各元 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar が属する テンプレート:Mvar の剰余類に送る「自然な」全射群準同型 テンプレート:Math すなわち テンプレート:Math が存在する。写像 テンプレート:Mvar はときに テンプレート:Mvar の テンプレート:Math の上への自然な射影と呼ばれるその核は テンプレート:Mvar である。
テンプレート:Mvar を含む テンプレート:Mvar の部分群たちと テンプレート:Math の部分群たちの間には全単射な対応がある；テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar を含む部分群ならば、テンプレート:Math の対応する部分群は テンプレート:Math である。この対応は テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の正規部分群たちに対しても成り立ち、対応定理として定式化される。
商群のいくつかの重要な性質は準同型定理と同型定理に含まれている。
テンプレート:Mvar がアーベル、冪零、可解、巡回、あるいは有限生成ならば、テンプレート:Math もそうである。
テンプレート:Mvar が有限群 テンプレート:Mvar の部分群で、テンプレート:Mvar の位数が テンプレート:Mvar の位数の 1/2 ならば、テンプレート:Mvar は正規部分群であることが保証され、商群 テンプレート:Math が存在し、テンプレート:Math に同型である。この結果は「指数 2 の任意の部分群は正規である」と述べることもでき、この形では無限群にも適用できる。さらに、テンプレート:Mvar が有限群 テンプレート:Mvar の位数を割り切る最小の素数であるとき、テンプレート:Math の位数が テンプレート:Mvar ならば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の正規部分群でなければならないテンプレート:Sfn。
テンプレート:Mvar と正規部分群 テンプレート:Mvar が与えられると、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の テンプレート:Mvar による群拡大である。この拡大が自明あるいは分裂するかどうか問うことができる。言い換えると、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の直積あるいは半直積であるかどうかを問うことができる。これは拡大問題の特別な場合である。拡大が分裂しない例は以下である：テンプレート:Math とし、テンプレート:Mathとする。テンプレート:Mvar は テンプレート:Math に同型である。このとき テンプレート:Math も テンプレート:Math に同型である。しかし テンプレート:Math は自明な自己同型しか持たないから、テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の半直積は直積しかない。テンプレート:Math は テンプレート:Math とは異なるから、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の半直積ではない。
リー群の商
テンプレート:Mvar がリー群で テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の正規リー部分群であるとき、商 テンプレート:Math もまたリー群である。この場合、もとの群 テンプレート:Mvar は底空間が テンプレート:Math ファイバーが テンプレート:Mvar のファイバー束（具体的には[[主束|主 テンプレート:Mvar 束]]）の構造を持つ。
正規でないリー部分群 テンプレート:Mvar に対し、左剰余類の空間 テンプレート:Math は群ではないが、単に テンプレート:Mvar が作用する可微分多様体である。これは等質空間と呼ばれる。