対応定理

数学の群論における対応定理（たいおうていり、テンプレート:Lang-en-short, テンプレート:Lang-de-short）は正規部分群 $N ⊴ G$ による商群テンプレート:Math の部分群がちょうど群テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar を含む部分群と対応していることを述べている。対応定理という名前は他の代数的構造に対する類似の関係にも用いられることもある。束定理 (lattice theorem) または第四同型定理ともいう。

群論における対応定理

U \mapsto φ (U)

V \mapsto φ^{- 1} (V)

はその逆写像であるテンプレート:Sfn。このとき正規部分群は正規部分群に（いずれの方向にも）対応する。

この主張をテンプレート:Math の場合に特殊化することでテンプレート:Math の（正規）部分群はテンプレート:Math を満たす（正規）部分群テンプレート:Mvar を用いてテンプレート:Mvar と表されるものにちょうど一致することがわかるテンプレート:Sfn。この対応は単調である——つまり部分群テンプレート:Math に対してテンプレート:Math となるのはテンプレート:Math となるとき、かつ、そのときに限る。

もしテンプレート:Mvar が単純群ならば正規部分群テンプレート:Mvar は正規部分群のなかで極大であるテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar を単位元を含む環とし、テンプレート:Math を（両側）イデアルとする。このとき対応

J \mapsto J / I

はテンプレート:Mvar を含むテンプレート:Mvar の左イデアルとテンプレート:Math の左イデアルとの間の全単射である。この対応は単調である——つまり左イデアルテンプレート:Math に対してテンプレート:Math となるのはテンプレート:Math となるとき、かつ、そのときに限るテンプレート:Sfn。

V \mapsto V / N

はテンプレート:Mvar を含むテンプレート:Mvar の部分加群とテンプレート:Math の部分加群との間の全単射である。この対応は単調である——つまり部分加群テンプレート:Math に対してテンプレート:Math となるのはテンプレート:Math となるとき、かつ、そのときに限るテンプレート:Sfn。