特殊線型群

数学において、 体 テンプレート:Mvar 上の次数 テンプレート:Mvar の特殊線型群（とくしゅせんけいぐん、テンプレート:Lang-en-short）とは、 行列式が テンプレート:Math である テンプレート:Mvar 次正方行列のなす集合に、通常の行列の積と逆行列の演算が入った群である。この群は、行列式

$\det :\mathrm{GL}(n,F)\to F^{\times }$

の核として得られる、一般線型群 テンプレート:Mathの正規部分群である。 ここでテンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の乗法群（つまり、テンプレート:Mvar から テンプレート:Math を除いた集合）を表す。

特殊線型群の元は「特殊な」もの、つまりある多項式が定める一般線型群の部分代数多様体、である（行列式は多項式であることに注意）。

幾何学的解釈

特殊線型群 テンプレート:Math は、体積と向きを保つ テンプレート:Math における線型変換のなす群として特徴付けられる。これは線型変換の行列式が、体積と向きの変化を測っていると解釈できることに対応している。

リー部分群

テンプレート:Mvar が テンプレート:Math (実数体)、または テンプレート:Math (複素数体) であるときには、テンプレート:Math は テンプレート:Mathの テンプレート:Math 次元のリー部分群である。テンプレート:Math のリー代数 $𝔰𝔩(n,F)$ は、トレースが テンプレート:Math であるテンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar 次正方行列からなる。リー括弧積は、交換子積によって与えられる。

位相

すべての正則行列はユニタリ行列と正定値エルミート行列の積に一意的に極分解できる。 ユニタリ行列の行列式は単位円上に値をとり、正定値エルミート行列の行列式は正の実数なので、 特殊線型群に属している行列をこれらの積に分解したとき、それらの行列式は共に1である。 よって特殊線型群に属する行列は特殊ユニタリ行列と行列式が テンプレート:Math の正定値エルミート行列の積で書ける。

よって群 テンプレート:Math の位相は特殊ユニタリ群 テンプレート:Math と行列式が テンプレート:Math の正定値エルミート行列全体からなる群の積位相で与えられる。 行列式が テンプレート:Math の正定値エルミート行列はトレース テンプレート:Math のエルミート行列の指数関数行列として一意的に表せるので、その位相は テンプレート:Math 次元のユークリッド空間と同じである。

また群 テンプレート:Math の位相は特殊直交群 テンプレート:Math と行列式が テンプレート:Math の正定値対称行列全体からなる群の積位相で与えられる。 行列式が テンプレート:Math の正定値対称行列はトレースが テンプレート:Math の対称行列の指数行列として一意的に表せるので、その位相はテンプレート:Math 次元のユークリッド空間と同じである。

群 テンプレート:Math は、特殊ユニタリ群 テンプレート:Math のように、単連結である一方 テンプレート:Math は、特殊直交群 テンプレート:Math のように、単連結ではない。 テンプレート:Math はテンプレート:Math あるいは テンプレート:Math と同じ基本群を持つ。 つまり テンプレート:Math のときはテンプレート:Math で テンプレート:Math のときは テンプレート:Math である。

関連項目

• 群論
• 一般線型群
• 正規部分群
• リー群
• リー代数
• 行列の定値性
• 行列指数関数