ユニタリ行列

ユニタリ行列（ユニタリぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）は、次を満たす複素正方行列 テンプレート:Mvar として定義される。

$U^{*}U=U{U}^{*}=I$

ここで、テンプレート:Mvar は単位行列、テンプレート:Mvar は行列 テンプレート:Mvar の随伴行列 (テンプレート:Math2)。

なお、実数で構成される行列の随伴は単に転置であるテンプレート:Sfnため実ユニタリ行列は直交行列に等しく、直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。

性質

• 正方行列である。
• 正規行列である。
• 任意のベクトル テンプレート:Mvar に対しユニタリ行列による変換は等長変換 (テンプレート:En) である。テンプレート:Math2
• 正則であり、逆行列は テンプレート:Math2
• 対角化可能（正規行列であるから）
• 固有値の絶対値は テンプレート:Math。テンプレート:Math（つまり、すべての固有値は複素平面の単位円上に存在する）

（証明）テンプレート:Math2 なる テンプレート:Mvar が固有値。テンプレート:Math2 また テンプレート:Math2

• 特異値は テンプレート:Math。テンプレート:Math
• 行列式の絶対値は テンプレート:Math。テンプレート:Math2

（証明）テンプレート:Math2

• テンプレート:Mvar はエルミート行列 テンプレート:Mvar を用いて テンプレート:Math2 と記述できる。テンプレート:Mvar は行列指数関数、テンプレート:Mvar は虚数単位。

同値条件

以下の条件は、複素正方行列 テンプレート:Mvar がユニタリ行列であることと同値である：

1. 行列 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math2 を満たすテンプレート:Sfn
2. 行列 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math2 を満たすテンプレート:Sfn
3. 行列 テンプレート:Mvar は正則行列で テンプレート:Math2 を満たす
4. 行列 テンプレート:Mvar の列は正規直交基底であるテンプレート:Sfn
5. 行列 テンプレート:Mvar の行は正規直交基底であるテンプレート:Sfn
6. 行列 テンプレート:Mvar は等長写像である
7. 行列 テンプレート:Mvar は単位円上に固有値をもつ正規行列である

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 直交行列（実数の場合）
• ユニタリ変換
• ユニタリ群
• ユニタリ作用素
• 特異値分解 - 任意の行列をユニタリ行列と特異値を対角成分とする対角行列に分解。テンプレート:Math2.
• 正規行列
• シュレーディンガー方程式

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語