ユニタリ群

ユニタリ群は一般線型群の部分群である。

定義

\begin{matrix} U (n) & = {U \in GL (n, ℂ) ∣ \forall x, y \in ℂ^{n} : ⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩} \\ = {U \in GL (n, ℂ) ∣ U^{†} U = I_{n}} \end{matrix}

ここで GL(n, C) は一般線型群、〈-, -〉はエルミート形式、†はエルミート共役である。

つまりユニタリ群の元は有限次複素線型空間のエルミート形式を―したがってノルムを―保つ。これは「絶対値が 1 の複素数」の線型変換における類似物である^[1]。

ユニタリ群は一般の体上では次のように定義される。基礎体 K の2次拡大体 L をとる。線型空間 V = Lⁿ 上のエルミート形式

⟨ x, y ⟩ = x_{1} \overline{y_{1}} + \dots + x_{n} \overline{y_{n}} (x = (x_{i}), y = (y_{i}) \in V)

（ここで $\overline{y_{i}}$ は代数共役を表す）を不変に保つ V 上の線型自己同型写像のなす群を U(n, K, L) と表し、これをユニタリ群という。

U (n, K, L) = {U \in GL (n, L) ∣ \forall x, y \in V : ⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩}

4元体を F₄ = {0, 1, ω, ω²} とする。ただし演算は関係式 ω² + ω + 1 = 0 から定める。このとき U(2, F₂, F₄) は位数18の群で次の2元から生成される。

U (2, 𝔽_{2}, 𝔽_{4}) = ⟨ [\begin{matrix} ω & ω \\ 0 & ω \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] ⟩

複素数体上のユニタリ群は以下の性質を満たす。