特殊ユニタリ群

テンプレート:混同 テンプレート:Groups テンプレート:Mvar 次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、テンプレート:Lang-en）テンプレート:Math とは、行列式が1の テンプレート:Mvar 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。

特殊ユニタリ群 テンプレート:Math はユニタリ群 テンプレート:Math の部分群であり、さらに一般線型群 テンプレート:Mathの部分群である。

特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。

定義

$\mathrm{S}\mathrm{U}(n)=\{g\in U(n);\det g=1\}$

ここで テンプレート:Math はユニタリ群、 テンプレート:Math は行列式である。

性質

特殊ユニタリ群 テンプレート:Math は、以下のような性質を満たす。

• 次元 テンプレート:Math の単純リー群
• コンパクトで単連結
• ランク テンプレート:Math
• テンプレート:Math の中心は巡回群 テンプレート:Math と同型
• 外部自己同型群は テンプレート:Math に対しては テンプレート:Math、テンプレート:Math に対しては自明な群

生成子

テンプレート:Math の生成子 テンプレート:Mvar は、トレースが 0 のエルミート行列で表現される。

$\mathrm{t}\mathrm{r}{T}_a=0$

$T_a^{†}=T_a$

基本表現

基本表現、あるいは定義表現では、テンプレート:Mvar 次正方行列で表現される。

$T_a{T}_b=\frac{1}{2n}{\delta }_{ab}{I}_n+\frac{1}{2}\sum _{c=1}^{n^2-1}(i{f}_{abc}+d_{abc})T_c$

ここで、 テンプレート:Mvar は構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、テンプレート:Mvar は全ての添え字に関して対称である。

従って、

$\{T_a,T_b\}=T_a{T}_b+T_b{T}_a=\frac{1}{n}{\delta }_{ab}{I}_n+\sum _{c=1}^{n^2-1}{d}_{abc}{T}_c$

$[T_a,T_b]=T_a{T}_b-T_b{T}_a=i\sum _{c=1}^{n^2-1}{f}_{abc}{T}_c$

規格化条件として

$\sum _{c,e=1}^{n^2-1}{d}_{ace}{d}_{bce}=\frac{n^2-4}{n}{\delta }_{ab}$

をとる。

随伴表現

随伴表現では、テンプレート:Math 次正方行列で表現され、その成分は、

$(T_a{)}_{ij}=-i{f}_{aij}$

で与えられる。

例

テンプレート:Math

テンプレート:Math の元の一般形は

$U=\left[\begin{array}{cc}\alpha & -\overline{\beta }\\ \beta & \overline{\alpha }\end{array}\right]$

となる。ここで、テンプレート:Math は テンプレート:Math を満たす。

テンプレート:Math

$𝔰𝔲(3)$ の生成子 テンプレート:Mvar の基本表現は

$T_a=\frac{1}{2}{\lambda }_a$

ここで、$\lambda$ はゲルマン行列である。

${\lambda }_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\lambda }_2=\left[\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\lambda }_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

${\lambda }_4=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]{\lambda }_5=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right]{\lambda }_6=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

${\lambda }_7=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right]{\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$

交換関係は

$[T_a,T_b]=i\sum _{c=1}^8{f}_{abc}{T}_c$

となり、構造定数 テンプレート:Mvar は

$f_{123}=1$

$f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}=\frac{1}{2}$

$f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

となる。テンプレート:Mvar は

$d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$

$d_{146}=d_{157}=-d_{247}=d_{256}=d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=\frac{1}{2}.$

となる。

他の群との関係

素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。

$\mathrm{S}\mathrm{U}(p+q)\supset \mathrm{S}\mathrm{U}(p)\times \mathrm{S}\mathrm{U}(q)\times \mathrm{U}(1)$

$\mathrm{S}\mathrm{U}(n)\supset \mathrm{O}(n)$

$\mathrm{S}\mathrm{U}(2n)\supset \mathrm{U}\mathrm{S}\mathrm{p}(2n)$

$\mathrm{S}\mathrm{O}(2n)\supset \mathrm{S}\mathrm{U}(n)$

$\mathrm{U}\mathrm{S}\mathrm{p}(2n)\supset \mathrm{S}\mathrm{U}(n)$

${\mathrm{E}}_6\supset \mathrm{S}\mathrm{U}(6)$

${\mathrm{E}}_7\supset \mathrm{S}\mathrm{U}(8)$

${\mathrm{G}}_2\supset \mathrm{S}\mathrm{U}(3)$

テンプレート:Math: 直交群、テンプレート:Math: 特殊直交群、テンプレート:Math: シンプレクティック群、テンプレート:Math: 例外型リー群

また、スピン群と以下の同型がある

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(6)=\mathrm{S}\mathrm{U}(4)$

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(4)=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\times \mathrm{S}\mathrm{U}(2)$

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)=\mathrm{U}\mathrm{S}\mathrm{p}(2)$

関連項目

• リー群

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Nlab