反対称テンソル

数学および理論物理学において、テンソルが添字の対に関して反対称 (anti­symmetric) もしくは歪対称 (skew-symmertic) であるとは、それら添字の入れ替えに関して符号が反転することを言う。また、交代的 (alternating) であるとは、それらを等しいと置いたとき零になることを言う。テンプレート:仮リンクの標数が テンプレート:Math でないときこれら二つの概念は一致する（多重線型写像の項も参照）。

• 反対称: テンプレート:Math
• 交代: テンプレート:Math

もう少し一般に、添字集合の部分集合 テンプレート:Mvar に関して反対称（resp. 交代的）とは、テンプレート:Mvar の任意の二元に関して反対称（resp. 交代的）となるときに言う。添字については、一般に共変添字 (covariant) も反変添字 (contra­variant) も考えるものとする。例えば最初の三文字に関して反対称なテンソルとは

$T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }$

を満足するものである。

任意の添字の対の入れ替えに関して符号を反転するテンソルは完全反対称 (completely anti­symmetric)（もしくは全反対称 (totally anti­symmetric)）あるいは単に反対称テンソル（はんたいしょうテンソル、テンプレート:Lang-en-short）と言う。同様に任意の添え字の対に関して交代的なテンソルを交代テンソル（こうたいテンソル、テンプレート:Lang-en-short）という。テンプレート:Mvar-次の完全反対称（あるいは交代）共変テンソルは [[微分形式|テンプレート:Mvar-形式]]、完全反対称（あるいは交代）反変テンソルは テンプレート:仮リンクと呼ばれる。

例

反対称テンソルの例には以下のようなものが挙げられる:

• 電磁気学における電磁テンソル テンプレート:Math.
• 擬リーマン多様体上のテンプレート:仮リンク.

定義

ベクトル空間 テンプレート:Mvar に対し、その テンプレート:Mvar-次テンソル冪 テンプレート:Math を考える。テンプレート:Mvar-次（または テンプレート:Mvar-階）テンソル テンプレート:Math が（完全）反対称であるとは

${\tau }_{\sigma }T=\mathrm{sgn}(\sigma )T(\mathrm{\forall }\sigma \in {𝔖}_k)$

を満たすことをいう。ここで テンプレート:Mvar は記号 テンプレート:Math の置換 テンプレート:Math に付随するテンソルの組み紐写像、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の符号である。

テンプレート:Mvar の基底 テンプレート:Math を取り、テンプレート:Mvar-次反対称テンソル テンプレート:Mvar を適当な係数を用いて

$T=\sum _{i_1,\dots ,i_k=1}^N{T}_{i_1{i}_2\dots i_k}{e}^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes \cdots \otimes e^{i_k}$

の形に書けば、この基底に関する テンプレート:Mvar の成分 テンプレート:Math はその添字の任意の互換 に関して符号を変える、すなわち

$T_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}=\mathrm{sgn}(\sigma )T_{i_1{i}_2\dots i_k}$

が任意の置換 テンプレート:Mvar について満足される。

テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-次反対称テンソル全体の成す空間は、しばしば テンプレート:Math や テンプレート:Math で表される。テンプレート:Math はそれ自身ベクトル空間を成し、また テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-次元ならば テンプレート:Math の次元は二項係数を用いて

$\dim {\mathrm{Alt}}^k(V)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})$

で与えられる。反対称テンソル空間 テンプレート:Math は テンプレート:Math に対する テンプレート:Math の直和

$\mathrm{Alt}(V)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{\mathrm{Alt}}^k(V)$

として構成される。

テンソルの反対称成分テンプレート:Anchors

テンプレート:Mvar は標数 テンプレート:Math の体上のベクトル空間とする。テンプレート:Math を テンプレート:Mvar-次テンソルとすれば、テンプレート:Mvar の反対称成分（交代成分） は、符号付き平均化（反対称化、交代化）

$\mathrm{Alt}T=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_k}\mathrm{sgn}(\sigma ){\tau }_{\sigma }T$

によって与えられる反対称テンソルである。和は テンプレート:Mvar-次対称群の全体を亙ってとる。明らかに、テンプレート:Math が反対称テンソルであるための必要十分条件は テンプレート:Math を満たすことである。

基底をとって考えれば、和の規約を用いて

$T=T_{i_1{i}_2\dots i_k}{e}^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes \cdots \otimes e^{i_k}$

と書くとき、テンプレート:Mvar の反対称成分は

$\mathrm{Alt}T=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_k}\mathrm{sgn}(\sigma )T_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}{e}^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes \cdots \otimes e^{i_k}$

と書ける。右辺に現れるテンソル成分は、しばしば対称化する添字を角括弧で括って

$T_{[i_1{i}_2\dots i_k]}=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_k}\mathrm{sgn}(\sigma )T_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}$

とも書かれる。例えば、テンプレート:Mvar の次元は任意として、二階共変テンソル テンプレート:Mvar に対し

$M_{[ab]}=\frac{1}{2!}(M_{ab}-M_{ba})$

であり、また三階共変テンソル テンプレート:Mvar に対して

$T_{[abc]}=\frac{1}{3!}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba})$

と書ける。これはまた適当な階数のテンプレート:仮リンク を用いて、

$M_{[ab]}=\frac{1}{2!}{\delta }_{ab}^{cd}{M}_{cd},$

$T_{[abc]}=\frac{1}{3!}{\delta }_{abc}^{def}{T}_{def}$

と書くことができる。これは一般に、テンプレート:Mvar-次テンソル テンプレート:Mvar に対して

$S_{[a_1\dots a_p]}=\frac{1}{p!}{\delta }_{a_1\dots a_p}^{b_1\dots b_p}{S}_{b_1\dots b_p}$

の形にまとめることができる。

交代テンソル積

テンプレート:Seealso 単純テンソル テンプレート:Mvar をテンソル積

$T=v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_r$

として書くとき、テンプレート:Mvar の交代成分はその因子ベクトルの交代積（楔積）あるいは外積

$v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r:=\frac{1}{r!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_r}\mathrm{sgn}(\sigma )v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}$

と呼ばれる。一般に、交代テンソル空間 テンプレート:Math に反対称かつ結合的な積 "テンプレート:Math" を入れて多元環にすることができる。二つのテンソル テンプレート:Math が与えられたとき、交代化作用素を用いて

$T_1\wedge T_2=\mathrm{Alt}(T_1\otimes T_2)(\in {\mathrm{Alt}}^{k_1+k_2}(V))$

と定義すれば、これが実際に反対称かつ結合的であることが確かめられる。

対称テンソルとの関係

添字 テンプレート:Mvar に関して反対称なテンソル テンプレート:Mvar と、同じ添字に関して対称なテンソル テンプレート:Mvar との縮約は恒等的に テンプレート:Mvar に等しい。

一般のテンソル テンプレート:Mvar に対して、その成分を テンプレート:Mvar とするとき、添字 テンプレート:Mvar に関する対称成分および反対称成分

$\begin{array}{cc}{U}_{(ij)k\dots }& =\frac{1}{2}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots }),\\ U_{[ij]k\dots }& =\frac{1}{2}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })\end{array}$

に関して、（「成分」の名の示唆する通り）テンソル テンプレート:Mvar は

$U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }$

なる和に分解される。

関連項目

• レヴィ゠チヴィタ記号
• 対称テンソル
• 反対称行列
• 外積代数
• テンプレート:仮リンクテンプレート:Refn

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Citation