対称テンソル

数学における対称テンソル（たいしょうテンソル、テンプレート:Lang-en-short）は、そのテンプレート:仮リンク テンプレート:Mvar に関して、任意の テンプレート:Mvar-次置換の作用に関して不変なテンソルを言う。

より具体的には、テンソルを多重線型写像 テンプレート:Mvar と見るならば、その引数となるベクトルの任意の置換 テンプレート:Mvar について

$T(v_1,v_2,\dots ,v_r)=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})$

を満たすもの、あるいは座標を用いて成分で表すならば

$T_{i_1{i}_2\dots i_r}=T_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}$

を満たすものである。

有限次元ベクトル空間 テンプレート:Mvar 上のテンプレート:Mvar-次対称テンソル全体の成す空間は、テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-次斉次多項式全体の成す空間の双対に自然同型になる。標数 テンプレート:Math の体上では、対称テンソル全体の成す次数付きベクトル空間は テンプレート:Mvar 上の対称代数に自然に同一視される。関連する概念として、反対称テンソルや交代形式がある。対称テンソルは工学、物理学、数学において広く生じる。

定義

ベクトル空間 テンプレート:Mvar に対し、その テンプレート:Mvar-次テンソル冪 テンプレート:Math を考える。

テンプレート:Mvar-次テンソル テンプレート:Math が対称であるとは

${\tau }_{\sigma }T=T(\mathrm{\forall }\sigma \in {𝔖}_k)$

を満たすことをいう。ここで テンプレート:Mvar は記号 テンプレート:Math の置換 テンプレート:Math に付随する組み紐写像である。

テンプレート:Mvar の基底 テンプレート:Math を取り、テンプレート:Mvar-次対称テンソル テンプレート:Mvar を適当な係数を用いて

$T=\sum _{i_1,\dots ,i_k=1}^N{T}_{i_1{i}_2\dots i_k}{e}^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes \cdots \otimes e^{i_k}$

の形に書けば、この基底に関する テンプレート:Mvar の成分 テンプレート:Math はその添字に関して対称、すなわち

$T_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}=T_{i_1{i}_2\dots i_k}$

が任意の置換 テンプレート:Mvar について満足される。

テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-次対称テンソル全体の成す空間は、しばしば テンプレート:Math や テンプレート:Math で表される。テンプレート:Math はそれ自身ベクトル空間を成し、また テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-次元ならば テンプレート:Math の次元は二項係数を用いて

$\dim {\mathrm{Sym}}^k(V)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+k-1}{k})$

で与えられる。対称テンソル空間 テンプレート:Math は テンプレート:Math に対する テンプレート:Math の直和

$\mathrm{Sym}(V)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{\mathrm{Sym}}^k(V)$

として構成される。

例

対称テンソルの例はたくさんあるが、例えば計量テンソル テンプレート:Mvar, アインシュタインテンソル テンプレート:Mvar, リッチテンソル テンプレート:Mvar など。

物理学や工学で用いられるさまざまな物性および場が対称テンソル場として表される。例えば、応力、歪み、異方的伝導性など。拡散MRIも、脳やその他の体の部分の拡散の記述に対称テンソルをしばしば用いる。

楕円体は代数多様体の例であり、任意の次数の対称テンソルは斉次多項式の形で射影代数多様体を定義するのに用いられ、またそのような形で調べられる。

テンソルの対称成分テンプレート:Anchors

テンプレート:Mvar は標数 テンプレート:Math の体上のベクトル空間とする。テンプレート:Math を テンプレート:Mvar-次テンソルとすれば、テンプレート:Mvar の対称成分は、平均化（対称化）

$\mathrm{Sym}T=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_k}{\tau }_{\sigma }T$

によって与えられる対称テンソルである。和は テンプレート:Mvar-次対称群の全体を亙ってとる。基底をとって考えれば、和の規約を用いて

$T=T_{i_1{i}_2\dots i_k}{e}^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes \cdots \otimes e^{i_k}$

と書くとき、テンプレート:Mvar の対称成分は

$\mathrm{Sym}T=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_k}{T}_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}{e}^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes \cdots \otimes e^{i_k}$

と書ける。右辺に現れるテンソル成分は、しばしば対称化する添字を括弧で括って

$T_{(i_1{i}_2\dots i_k)}=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_k}{T}_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}$

とも書かれる。

対称テンソル積

単純テンソル テンプレート:Mvar をテンソル積

$T=v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_r$

として書くとき、テンプレート:Mvar の対称成分はその因子ベクトルの対称積

$v_1\odot v_2\odot \cdots \odot v_r:=\frac{1}{r!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_r}{v}_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}$

と呼ばれる。一般に、対称テンソル空間 テンプレート:Math に可換かつ結合的な積 "テンプレート:Math" を入れて多元環にすることができる。二つのテンソル テンプレート:Math が与えられたとき、対称化作用素を用いて

$T_1\odot T_2=\mathrm{Sym}(T_1\otimes T_2)(\in {\mathrm{Sym}}^{k_1+k_2}(V))$

と定義すれば、これが実際に可換かつ結合的であることが確かめられる テンプレート:Harv。

文脈によっては演算子を省略して単なる併置とすることもある (テンプレート:Math)。冪記法を用いて

$v^{\odot k}=\underset{k\text{ times}}{\underbrace{v\odot v\odot \cdots \odot v}}=\underset{k\text{ times}}{\underbrace{v\otimes v\otimes \cdots \otimes v}}=v^{\otimes k}$

と書くこともある。ここで テンプレート:Mvar はベクトルである。これもやはり "⊙" を省略して

$v^k=\underset{k\text{ times}}{\underbrace{vv\cdots v}}=\underset{k\text{ times}}{\underbrace{v\odot v\odot \cdots \odot v}}$

のようにも書く。

対称テンソルの分解

対称行列論と対応するものとして、二次の実対称テンソルを「対角化」することができる。より明確に書けば、任意のテンソル テンプレート:Math に対し、適当な整数 テンプレート:Mvar と非零単位ベクトル テンプレート:Math および重み テンプレート:Math が存在して

$T=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{v}_i\otimes v_i$

とできる。このような分解ができる最小の正整数 テンプレート:Mvar を、対称テンソル テンプレート:Mvar の対称階数あるいは単に階数と呼ぶ。この最小分解に現れるベクトルを総称して、このテンソルの テンプレート:仮リンクと呼び、一般には物理学的に重要な意味を持つ。例えば慣性テンソルの主軸は、慣性モーメントを表すポワンソーの楕円体を定義する。シルヴェスターの慣性法則も参照。

任意 テンプレート:Mvar-次の対称テンソルに対して、分解

$T=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{v}_i^{\otimes k}$

を考えることもできる。このような分解が可能な最小の数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の対称階数に等しい。この最小分解はワーリング分解 (Waring decomposition) と呼ばれる（これはテンプレート:仮リンクの対称形である）。二次テンソルに関しては、これはテンソルを任意の基底に関して表現する行列の階数に対応し、その最大階数が台となるベクトル空間の次元に等しいことはよく知られている。しかしより高次の場合にはこれは満足されない（階数は台となるベクトル空間の次元よりも大きくなりうる）。

関連項目

• 反対称テンソル
• テンプレート:仮リンクテンプレート:Refn
• シューア多項式
• 対称多項式
• 転置行列
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Citation.
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外部リンク

• Cesar O. Aguilar, The Dimension of Symmetric k-tensors