置換の符号

数学において、少なくとも二元を含む有限集合テンプレート:Mvar の置換（テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への全単射）は大きく二つのクラス（偶置換と奇置換）に分けられる。テンプレート:Mvar の任意の全順序を固定して、テンプレート:Mvar の置換テンプレート:Mvar の偶奇性（パリティ; 対性）はテンプレート:Mvar の転倒数、すなわちテンプレート:Mvar の元の対テンプレート:Math2 でテンプレート:Math2 かつテンプレート:Math2 なるものの数、の偶奇性によって定義することができる。

置換テンプレート:Mvar の符号 (sign) あるいは符号数 (signature) テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar が偶置換ならばテンプレート:Math, 奇置換ならばテンプレート:Math を割り当てる。置換の符号函数テンプレート:Math は対称群テンプレート:Mvar の交代指標と呼ばれる群指標を定義する。置換の符号に対する別の記法として、より一般のレヴィ–チヴィタ記号によって与えられるテンプレート:Mvar がある。これはテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への全単射とは限らない任意の写像に対して定義され、全単射でない写像に対してはテンプレート:Math を割り当てる。

と明示的に書くことができる。（転倒数は置換テンプレート:Mvar を積として表すのに必要となる隣接互換の最小数とも一致する。）

あるいは、置換の符号を置換の互換の積への分解によって定義することもできる。すなわち、置換テンプレート:Mvar の互換の積への分解に現れる互換の数をテンプレート:Mvar とするとき、

とおくのである。置換のこのような互換の積への分解は一意ではないけれども、分解に現れる互換の総数の偶奇は置換ごとに一定しているので、この方法で置換の符号は矛盾なく定まる^[1]。

さらに置換テンプレート:Math の符号を定義する他の方法としては差積テンプレート:Math への自然な作用を介して

sgn (σ) = \frac{\prod_{i < j} x_{σ (i)} - x_{σ (j)}}{\prod_{i < j} x_{i} - x_{j}}

によって定義することもできる。類似した符号の表示としては

sgn (σ) = \frac{\prod_{i < j} σ (i) - σ (j)}{\prod_{i < j} i - j}

もある^[2]。

（実際に置換テンプレート:Math の符号テンプレート:Math を得るには、テンプレート:Mvar が互いに素なテンプレート:Mvar 個の巡回置換の積へ分解されているとき、テンプレート:Math を計算するのが効率的である^[3]。ここでテンプレート:Math は置換テンプレート:Mvar を積として表すのに必要となる互換の最小数と一致する^[4]。）

一般化

置換の偶奇性の概念はコクセター群に対するものへ一般化することができる。対称群の場合に、各置換をテンプレート:仮リンクの積に書いたように、コクセター群の各元テンプレート:Mvar を（選択した）生成元の積に表したときに、その積に現れる元の個数の最小値によってテンプレート:仮リンクテンプレート:Math を定義すれば、一般化された符号函数はテンプレート:Math2 として与えられる。