ゲルマン行列

ゲルマン行列（ゲルマンぎょうれつ, テンプレート:Lang-en-short）とは、3次特殊ユニタリ群テンプレート:Math の無限小変換の生成子をなす8つの複素行列の組。テンプレート:Math に付随するリー代数の標準的な基底として、用いられる。ゲルマン行列はハドロンの分類において、テンプレート:Math対称性に基づくテンプレート:仮リンクを提唱した米国の物理学者マレー・ゲルマンによって、導入された。

定義と基本的な性質

次式で定義される8個のテンプレート:Math複素行列の組をゲルマン行列という。

${\lambda }_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\lambda }_2=\left[\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

${\lambda }_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{\lambda }_4=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$

${\lambda }_5=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right]{\lambda }_6=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

${\lambda }_7=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right]{\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$

ここで、テンプレート:Math は部分空間に作用するパウリ行列 テンプレート:Math を

${\lambda }_a=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_a& 0\\ 0& 0\end{array}\right](a=1,2,3)$

の形で含んでおり、ゲルマン行列はパウリ行列の一般化となっている。

ゲルマン行列 テンプレート:Math はエルミート行列かつトレースはゼロとなる。

${\lambda }_a^{†}={\lambda }_a$

$\mathrm{Tr}({\lambda }_a)=0$

また、二つのゲルマン行列の積のトレースは正規化されており、次の関係式を満たす。

$\mathrm{Tr}({\lambda }_a{\lambda }_b)=2{\delta }_{ab}$

但し、テンプレート:Mathはクロネッカーのデルタである。

交換関係・反交換関係

ゲルマン行列の交換関係 テンプレート:Math は次のようなゲルマン行列の線形結合で表される。

$[{\lambda }_a,{\lambda }_b]=2i\sum _{c=1}^8{f}_{abc}{\lambda }_c$

ここで、テンプレート:Math は添え字 テンプレート:Math について、完全反対称な実係数である。テンプレート:Math のうち、ゼロでないものは、テンプレート:Math を満たすもので代表させて表すと、次のようになる。

$f_{123}=1$

$f_{147}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=\frac{1}{2}$

$f_{156}=f_{367}=-\frac{1}{2}$

$f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

一方、反交換関係 テンプレート:Math は次の形をとる。

$\{{\lambda }_a,{\lambda }_b\}=\frac{4}{3}{\delta }_{ab}+2\sum _{i=1}^8{d}_{abc}{\lambda }_c$

ここで、テンプレート:Math は添え字テンプレート:Math について、完全対称な実係数である。テンプレート:Math のうち、ゼロでないものをテンプレート:Math を満たすもので代表させて表すと、

$d_{118}=d_{228}=d_{338}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$d_{888}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$d_{146}=d_{157}=d_{256}=d_{344}=d_{355}=\frac{1}{2}$

$d_{247}=d_{366}=d_{377}=-\frac{1}{2}$

$d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$

SU(3)の生成子

3次特殊ユニタリ群テンプレート:Math は行列式が１となるテンプレート:Mathユニタリ行列から構成される。テンプレート:Math は線形リー群であり、8個のゲルマン行列はその一次独立な生成子である。但し、物理学の慣習により、生成子はエルミート行列になるようにとるため、ゲルマン行列はそれ自身リー代数 テンプレート:Math の元ではなく、ゲルマン行列に テンプレート:Math を乗じたものが テンプレート:Math の元となる。通常、テンプレート:Mathの生成子としては、テンプレート:Math の代わりにテンプレート:Math を乗じた テンプレート:Math が用いられる。

$T_a=\frac{{\lambda }_a}{2}$

コンパクトで連結なリー群テンプレート:Mathの任意の元はリー環の指数写像によって

$e^{i\sum _{a=1}^8{\theta }_a{T}_a}({\theta }_a\in ℝ,a=1,\cdots ,8)$

の形で与えられる。

ゲルマン行列 テンプレート:Math、 または テンプレート:Math の線形結合で張られる線形空間は交換子積

$[T_a,T_b]=T_a{T}_b-T_b{T}_a$

により、リー代数となり、その構造は

$[T_a,T_b]=i\sum _{i=1}^8{f}_{abc}{T}_c$

で定まる構造定数 テンプレート:Math で規定される。このリー代数はコンパクト・リー代数であるため、テンプレート:Math は添え字テンプレート:Math について、完全反対称である。

テンプレート:Mathの組は、

$[T_1,T_2]=i{T}_3,[T_2,T_3]=i{T}_1,[T_3,T_1]=i{T}_2$

と交換子積について閉じており、テンプレート:Mathに対応する部分リー代数をなす。これ以外にもいくつかの組はテンプレート:Mathに対応する部分リー代数をなす。

このリー代数の全ての元と可換になるカシミヤ演算子は

$C_1=\sum _a{T}_a^2$

$C_2=\sum _a{d}_{abc}{T}_a{T}_b{T}_c$

で与えられる。

参考文献

• George B. Arfken, Hans J. Weber and Frank E. Harris, Mathematical Methods for Physicists (7th ed.) : Academic Press (2012). ISBN 978-0123846549
• H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics: from Isospin To Unified Theories (2nd ed.), Westview Press (1999). ISBN 978-0738202334.

関連項目

• 対称性 (物理学)
• ハドロン物理学
  • バリオン数, フレーバー, カラー
• SU(3)