パウリ行列

パウリ行列（パウリぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）、パウリのスピン行列（パウリのスピンぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである。テンプレート:Mvar（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。

${\sigma }_1={\sigma }_x=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\text{, }{\sigma }_2={\sigma }_y=\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]\text{, }{\sigma }_3={\sigma }_z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

上記3つに単位行列 テンプレート:Mvar を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。

${\sigma }_0=I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

基本的な性質

パウリ行列は次の性質を満たす。

エルミート性・ユニタリ性

パウリ行列は

${{\sigma }_k}^{†}={\sigma }_k(k=1,2,3)$

を満たすエルミート行列であり、

${{\sigma }_k}^{†}{\sigma }_k={\sigma }_k{{\sigma }_k}^{†}=I(k=1,2,3)$

を満たすユニタリ行列でもある。

パウリ行列の積

パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。

${{\sigma }_1}^2={{\sigma }_2}^2={{\sigma }_3}^2=I$

また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。

${\sigma }_1{\sigma }_2=-{\sigma }_2{\sigma }_1=i{\sigma }_3,{\sigma }_2{\sigma }_3=-{\sigma }_3{\sigma }_2=i{\sigma }_1,{\sigma }_3{\sigma }_1=-{\sigma }_1{\sigma }_3=i{\sigma }_2$

すなわち テンプレート:Math2 について

$\{\begin{array}{cc}{{\sigma }_i}^2& =I=-i{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3\\ {\sigma }_i{\sigma }_j& =-{\sigma }_j{\sigma }_i(i\ne j)\end{array}$

が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ テンプレート:Mvar とエディントンのイプシロン テンプレート:Mvar を用いれば、これらをまとめて

${\sigma }_i{\sigma }_j={\delta }_{ij}I+i\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k(i,j,k=1,2,3)$

と書くことができる。

交換関係・反交換関係

パウリ行列の交換関係と反交換関係は一般的に

$\begin{array}{cc}[][{\sigma }_i,{\sigma }_j]& ={\sigma }_i{\sigma }_j-{\sigma }_j{\sigma }_i=2i\sum _{k=1}^3{ϵ}_{ijk}{\sigma }_k,\\ \{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}& ={\sigma }_i{\sigma }_j+{\sigma }_j{\sigma }_i=2{\delta }_{ij}I\end{array}$

となる。

交換関係	反交換関係
$\begin{array}{cc}[{\sigma }_1,{\sigma }_1]& =0\\ [{\sigma }_1,{\sigma }_2]& =2i{\sigma }_3\\ [{\sigma }_2,{\sigma }_3]& =2i{\sigma }_1\\ [{\sigma }_3,{\sigma }_1]& =2i{\sigma }_2\end{array}$テンプレート:Quad	$\begin{array}{cc}\{{\sigma }_1,{\sigma }_1\}& =2I\\ \{{\sigma }_1,{\sigma }_2\}& =0\\ \{{\sigma }_2,{\sigma }_3\}& =0\\ \{{\sigma }_3,{\sigma }_1\}& =0\end{array}$

固有値・固有ベクトル

それぞれのパウリ行列は、固有値 テンプレート:Math と テンプレート:Math を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、

$\begin{array}{cccccccc}& |{\sigma }_{1,+}⟩=& \frac{1}{\sqrt{2}}& \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],& & |{\sigma }_{1,-}⟩=& \frac{1}{\sqrt{2}}& \left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\\ & |{\sigma }_{2,+}⟩=& \frac{1}{\sqrt{2}}& \left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right],& & |{\sigma }_{2,-}⟩=& \frac{1}{\sqrt{2}}& \left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]\\ & |{\sigma }_{3,+}⟩=& & \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],& & |{\sigma }_{3,-}⟩=& & \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\end{array}$

である。

トレース・行列式

パウリ行列 テンプレート:Math2 のトレース (Tr) は テンプレート:Math となり、行列式 (det) は テンプレート:Math となる。

$\begin{array}{cc}\mathrm{Tr}({\sigma }_k)& =0\\ \det ({\sigma }_k)& =-1\end{array}$

2次単位行列 テンプレート:Math を含めた場合、

$\begin{array}{cc}\mathrm{Tr}({\sigma }_0)& =2\\ \det ({\sigma }_0)& =1\end{array}$

である。

単位行列を含めたパウリ行列 テンプレート:Math2 について、

$\mathrm{Tr}({\sigma }_{\mu }{\sigma }_{\nu })=2{\delta }_{\mu \nu }(\mu ,\nu =0,1,2,3)$

が成り立つ。よって、複素2次正方行列空間 テンプレート:Math において、単位行列を含めたパウリ行列はテンプレート:Ill テンプレート:Math について、直交する。

複素行列の展開

複素2次正方行列空間 テンプレート:Math において、単位行列を含むパウリ行列は直交基底をなす。よって、任意の複素2次行列 テンプレート:Mvar は単位行列を含むパウリ行列 テンプレート:Math2 の線形結合として、次の形で書ける。

$A=s_{0}I+s_1{\sigma }_1+s_2{\sigma }_2+s_3{\sigma }_3=\sum _{\mu =0}^3{s}_{\mu }{\sigma }_{\mu }$

ここで複素係数 テンプレート:Mvar は

$s_{\mu }=\frac{1}{2}\mathrm{Tr}(A{\sigma }_{\mu })(\mu =0,1,2,3)$

で与えられる。

また、任意の2次エルミート行列 テンプレート:Mvar は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数 テンプレート:Mvar は実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル（実ベクトル）はテンプレート:Illと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

指数関数

パウリ行列の性質

${{\sigma }_i}^2=I$

から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式

$\exp (ia{\sigma }_i)=I\cos a+i{\sigma }_i\sin a(a\in ℂ)$

を満たす。 さらに実ベクトル テンプレート:Math とパウリ行列の組 テンプレート:Math2 に対し、

$\exp (i\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma })=I\cos |\overrightarrow{a}|+i(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })\sin |\overrightarrow{a}|$

が成り立つ。ただし、テンプレート:Math は

$\overrightarrow{n}=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}(a_1,a_2,a_3)$

で与えられる単位ベクトルである。

テンプレート:Math が実ベクトルの場合、テンプレート:Math は2次特殊ユニタリ群 テンプレート:Math の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた テンプレート:Math2 が テンプレート:Math に対応するリー代数 テンプレート:Math の基底であることによる。

SU(2)の生成子

パウリ行列は、行列式を テンプレート:Math とする 2次ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群 テンプレート:Math に対応するリー代数 テンプレート:Math の生成子である。パウリ行列に テンプレート:Math を乗じた

$\begin{array}{cc}{X}_1& =-\frac{i}{2}{\sigma }_1=\left[\begin{array}{cc}0& -i/2\\ -i/2& 0\end{array}\right]\\ X_2& =-\frac{i}{2}{\sigma }_2=\left[\begin{array}{cc}0& -1/2\\ 1/2& 0\end{array}\right]\\ X_3& =-\frac{i}{2}{\sigma }_3=\left[\begin{array}{cc}-i/2& 0\\ 0& i/2\end{array}\right]\end{array}$

は テンプレート:Math の基底であり、交換関係

$[X_1,X_2]=X_3,[X_2,X_3]=X_1,[X_3,X_1]=X_2$

を満たす。テンプレート:Math はトレースが テンプレート:Math かつ反エルミート

$\begin{array}{cc}\mathrm{Tr}(X)& =0\\ X^{†}& =-X\end{array}$

である元 テンプレート:Mvar から構成されるが、テンプレート:Math2 はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である テンプレート:Math の任意の元は、リー環の指数写像によって、

$\exp (\sum _{k=1}^3{t}_k{X}_k)(t_1,t_2,t_3\in ℝ)$

の形で与えることができる。

スピン角運動量

テンプレート:Main 量子力学において、パウリ行列はスピン テンプレート:Math の角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子 テンプレート:Math2 は交換関係

$[J_1,J_2]=i\hslash J_3,[J_2,J_3]=i\hslash J_1,[J_3,J_1]=i\hslash J_2$

を満たす。ただし、テンプレート:Math はディラック定数である。エディントンのイプシロン テンプレート:Math を用いれば、この関係式は

$[J_i,J_j]=i\hslash \sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{J}_k$

と表すことができる。ここで、

$\begin{array}{cc}{J}_1^{1/2}& =\frac{\hslash }{2}{\sigma }_x=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\\ J_2^{1/2}& =\frac{\hslash }{2}{\sigma }_y=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]\\ J_3^{1/2}& =\frac{\hslash }{2}{\sigma }_z=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\end{array}$

を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。テンプレート:Math2 の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は テンプレート:Math を選び対角化している。テンプレート:Math の固有値は テンプレート:Math であり、スピン テンプレート:Math の状態を記述する。

ガンマ行列の表現

テンプレート:Main パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 テンプレート:Math (テンプレート:Math) は反交換関係

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}={\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2g^{\mu \nu }I$

を満たすものとして定義される。ただし、テンプレート:Mvar は単位元であり、テンプレート:Math2 は4次元時空のミンコフスキー計量 テンプレート:Math2 である。このとき、2次単位行列 テンプレート:Math とパウリ行列により、4次正方行列

${\gamma }^0=\left[\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right],{\gamma }^j=\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }_j\\ -{\sigma }_j& 0\end{array}\right](j=1,2,3)$

を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4次正方行列表現である。

${\gamma }^0={\sigma }_3\otimes I_2,{\gamma }^j=i{\sigma }_2\otimes {\sigma }_j(j=1,2,3)$

順時固有ローレンツ群とSL(2,C)

パウリ行列は順時固有ローレンツ群 テンプレート:Math とその普遍被覆群である2次特殊線形群 テンプレート:Math を対応づけるのに用いられる。ローレンツ群 テンプレート:Math は一般線形群 テンプレート:Math の元 テンプレート:Mvar で4次元時空のミンコフスキー計量 テンプレート:Math2 に対し、テンプレート:Math2 を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。

$L=\{\mathrm{\Lambda }\in GL(4,ℝ)|{\mathrm{\Lambda }}^{T}g\mathrm{\Lambda }=g\}$

一方、順時固有ローレンツ群 テンプレート:Math はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から

$L_{+}^{\uparrow }=\{\mathrm{\Lambda }\in L|{\mathrm{\Lambda }}_{00}\ge 1,\det \mathrm{\Lambda }=1\}$

として、定義される。ここで4元ベクトル テンプレート:Math2 に対し、パウリ行列 テンプレート:Math により、2次正方行列

$X=\sum _{\mu =0}^3{\sigma }_{\mu }{x}^{\mu }=x^{0}I+\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{\sigma }=\left[\begin{array}{cc}{x}^0+x^3& x^1+i{x}^2\\ x^1-i{x}^2& x^0-x^3\end{array}\right]$

を導入する。その行列式は

$\det X=(x^0{)}^2-(x^1{)}^2-(x^2{)}^2-(x^3{)}^2$

であり、ミンコフスキー内積 テンプレート:Math を与える。ここで テンプレート:Math の元 テンプレート:Mvar により、変換

$X^{\prime }=AX{A}^{†}$

を定義すると、

$\det X^{\prime }=\det X$

であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 テンプレート:Math を与える。さらに、テンプレート:Math は同じローレンツ変換 テンプレート:Math を与えることから、これは テンプレート:Math から テンプレート:Math への2対1の準同型写像を与える。その核は テンプレート:Math であり、群の同型対応

$SL(2,ℂ)/{\mathbb{Z}}_2\cong L_{+}^{\uparrow }$

が成り立つ。

四元数の表現

パウリ行列により、四元数の2次正方行列表現を与えることができる。

$e_k=-i{\sigma }_k(k=1,2,3)$

を導入すると、関係式

${e_1}^2={e_2}^2={e_3}^2=-I$

$e_1{e}_2=-e_2{e}_1=e_3,e_2{e}_3=-e_3{e}_2=e_1,e_3{e}_1=-e_1{e}_3=e_2$

を満たす。これは四元数の基底元 テンプレート:Math2 が満たす関係式

$i^2=j^2=k^2=-1$

$ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j$

と対応する。四元数環 テンプレート:Mathbf から複素行列環 テンプレート:Math へのテンプレート:Math線形写像

$a1+bi+cj+dk\mapsto aI+b{e}_1+c{e}_2+d{e}_3(a,b,c,d\in ℝ)$

は和と積と保ち、四元数の2次正方行列表現を与える。この像は

$M=\left\{\left[\begin{array}{cc}a-di& -(c+bi)\\ c-bi& a+di\end{array}\right]\right|a,b,c,d\in ℝ\}=\left\{\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\overline{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right)\right|\alpha ,\beta \in ℂ\}$

であり、テンプレート:Mathbf と テンプレート:Mvar は テンプレート:Math多元環として同型である。

参考文献

• 猪木慶治、川合光『量子力学I』 講談社 (1994) ISBN 978-4061532090
• 佐藤光『物理数学特論 群と物理（パリティ物理学コース）』丸善 (1992) ISBN 978-4621037874
• 平井武、山下博『表現論入門セミナー ―具体例から最先端にむかって』遊星社 (2003) ISBN 978-4795268982
• J.J Sakurai and Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics (2nd edition), Addison Wesley (2010) ISBN 978-0805382914

関連項目

• ヴォルフガング・パウリ
• ガンマ行列
• 四元数