射影空間

射影空間（しゃえいくうかん、テンプレート:Lang-en-short） とは、その次元が テンプレート:Mvar であるとき、テンプレート:Math 個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。非ユークリッド幾何学のひとつである射影幾何学がその概念の端緒であるが、射影空間は位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学など幾何学のあらゆる分野にわたって非常に重要な概念である。

定義

テンプレート:Mvar を体とする。テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar 次元の射影空間 テンプレート:Mvar は、テンプレート:Math 個の テンプレート:Mvar の要素の比 テンプレート:Math の全体の集合として定義される。すなわち、ベクトル空間 テンプレート:Math の テンプレート:Math でないベクトルに対して、同値関係 テンプレート:Math を、テンプレート:Math でない テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar が存在して任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math であることとして定義するとき、

テンプレート:Indent である。テンプレート:Mvar が実数体 テンプレート:Mathbf や複素数体 テンプレート:Mathbf など位相体であるとき、その積位相から定まる テンプレート:Math の位相の商位相でもってテンプレート:Mvarは自然に位相空間になる。（射影空間は テンプレート:Mvar の他にも テンプレート:Mvar, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Mvar などの記号が用いられることもある。）ベクトル空間 テンプレート:Math の座標をひとつ定めると、射影空間の点を比として表す表し方 テンプレート:Math がひとつ定まる。これを射影空間の斉次座標（あるいは同次座標; テンプレート:Lang）と呼ぶ。

多様体の構造

ある斉次座標 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math となる射影空間 テンプレート:Mvar の点全体 テンプレート:Math は、斉次座標の最初の成分を テンプレート:Math で割って テンプレート:Math とただ一通りに書けるので、テンプレート:Math は、アフィン空間 テンプレート:Mvar と自然な全単射がある。同様に テンプレート:Math となる点全体 テンプレート:Mvar も同様にしてアフィン空間との間の全単射 テンプレート:Math がある。テンプレート:Mvar が位相体であるときは全単射 テンプレート:Mvar は位相同型となり、テンプレート:Math は テンプレート:Mvarの開被覆となる。テンプレート:Math が

テンプレート:Indent で与えられる（テンプレート:Math は第 テンプレート:Mvar 成分）ことから、この開被覆は テンプレート:Math に多様体の構造（実射影空間）を、テンプレート:Math に複素多様体の構造（複素射影空間）を与える。変換関数が有理関数で与えられる事から、任意の体 テンプレート:Mvar に対しても、ザリスキ位相を考える事によって テンプレート:Mvar は代数多様体となる。

射影空間の概念は純粋に代数的であり非常に標準的であるため、適切な枠組みを用いる事によって、その性質は体 テンプレート:Mvar の取り方によらず共通しているものが多い。以下の記述は特に断らない限り、スキーム論の枠組みを用いる事で任意の体上の代数多様体としての射影空間に対して成り立つが、代数幾何学以外で重要な場合は体 テンプレート:Mvar が実数体 テンプレート:Mathbf または複素数体 テンプレート:Mathbf の場合であるので、実射影空間および複素射影空間の場合に則した記述を行う。

コンパクト性

体 テンプレート:Mvar が実数体 テンプレート:Mathbf または複素数体 テンプレート:Mathbf であるとき、これらの位相から定まる位相（ユークリッド位相・古典位相）に関して、射影空間 テンプレート:Mvar はコンパクトなハウスドルフ空間である。テンプレート:Math のときは、射影空間の定義によって、性質のよい自然な写像 テンプレート:Math があるので、テンプレート:Math のコンパクト性およびハウスドルフ性は テンプレート:Mvar 次元球面 テンプレート:Mvar のそれから従う。 テンプレート:Math の時も同様に テンプレート:Math ファイバー束 テンプレート:Math （ホップ束; テンプレート:Lang と呼ばれる）があることから従う。

一般の体 テンプレート:Mvar に関しては射影空間にはザリスキ位相をいれて考えるが、この位相について テンプレート:Mvar は基礎体 テンプレート:Mvar 上固有 テンプレート:Lang になる。代数多様体の固有性はユークリッド位相に関するコンパクト・ハウスドルフ性の概念の対応物である。

モジュライ空間としての射影空間

射影空間 テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Math は、アフィン空間 テンプレート:Math 内で、原点と点 テンプレート:Math を結ぶ直線 テンプレート:Mvar と1対1に対応している。従って、射影空間は テンプレート:Math 内の原点を通る直線（あるいは1次元の部分ベクトル空間）をパラメータ付けする空間（モジュライ空間）と見なせる。このモジュライ論的観点からは、射影空間はテンプレート:仮リンクやテンプレート:仮リンクの特別な場合と見なせる。

積空間 テンプレート:Math の閉部分空間 $𝒪(-1)$ を結合関係 テンプレート:Lang

テンプレート:Indent で定めると、第2射影から誘導される射 $𝒪(-1)\to K{P}_n$ によって $𝒪(-1)$ は直線束になる。この直線束を普遍直線束 テンプレート:Lang と呼ぶ。

射影変換群

一般線形群 テンプレート:Math はベクトル空間 テンプレート:Math に原点を固定して作用し、原点を通る直線を原点を通る直線に写すので、射影空間 テンプレート:Mvar には テンプレート:Math が作用する。単位行列の定数倍は射影空間に自明に作用するので、この作用は剰余群 テンプレート:Math を経由する。群 テンプレート:Math をテンプレート:Mvar の射影変換群 テンプレート:Lang と言う。射影変換群は、代数多様体としての（あるいは テンプレート:Math のときは、複素多様体としての）テンプレート:Mvar の自己同型群にほかならない。

テンプレート:Math の テンプレート:Math への作用の1点の等方部分群 テンプレート:Lang は

テンプレート:Indent の形の行列からなる部分群 テンプレート:Mvar であり、空間 テンプレート:Mvar は、剰余類 テンプレート:Math と同型である。すなわち、テンプレート:Mvar は等質空間である。等質空間としての記述の点でも、射影空間はテンプレート:仮リンクやテンプレート:仮リンクのもっとも簡単な場合に当たる。

超平面と双対射影空間

射影空間 テンプレート:Mvar の斉次座標 テンプレート:Math に対して、方程式

テンプレート:Indent はその解となる点の定数倍も解となるため、テンプレート:Mvar の閉集合を定める。テンプレート:Math が テンプレート:Math-ベクトルでなければこれは真の閉集合である。これを射影空間の超平面という。テンプレート:Mvar の超平面は テンプレート:Math と同型（あるいは同相）である。

上述の一次方程式は、係数 テンプレート:Math を定数倍しても解集合は不変である。従って、テンプレート:Mvar の超平面は比 テンプレート:Math と1対1に対応している。テンプレート:Mvar の超平面全体をパラメータ付けする空間はこの対応で テンプレート:Mvar と同一視できる。これを双対射影空間 テンプレート:Lang という。

同様の理由で、射影空間 テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Math に方程式 テンプレート:Math で定まる テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 次元部分ベクトル空間 テンプレート:Mvarを対応させる対応は1対1の対応である。テンプレート:Mvar の自明なベクトル束 テンプレート:Math の部分ベクトル束 $𝒱$ を

テンプレート:Indent で定め、$𝒪(1)$ を商束 $K^{n+1}\times K{P}_n/𝒱$ とすると、$𝒪(1)$ は普遍直線束 $𝒪(-1)$ の双対直線束と同型になる。これを超平面直線束 テンプレート:Lang と呼ぶ。

斉次座標環とスキーム論的定義

本節ではまず、複素射影空間 テンプレート:Math について考える。自明束 テンプレート:Math の正則切断は テンプレート:Math 、ただし テンプレート:Mvar は定数、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 番目の標準基底に値を取る定数切断、と書ける。これが誘導する超平面直線束 $𝒪(1)$ の正則切断を テンプレート:Mvar で表すことにすると、テンプレート:Math の点 テンプレート:Math が テンプレート:Math を満たすことは、点 テンプレート:Math が平面 テンプレート:Mvar に含まれている、すなわち テンプレート:Math を満たすことを意味しているので、方程式 テンプレート:Math は、斉次一次式 テンプレート:Math にほかならない。したがって、超平面直線束 $𝒪(1)$ の正則切断全体の空間 $\mathrm{\Gamma }(𝐂P_n,𝒪(1))$ には斉次一次式の空間（すなわち、テンプレート:Math の双対空間）テンプレート:Math からの単射がある。一方、$𝒪(1)$ の任意の正則切断で定まる因子は超平面と線形同値になることからこの写像は全射でもある、すなわち、$\mathrm{\Gamma }(𝐂P_n,𝒪(1))\cong V^{\wedge }$ がわかる。

$𝒪(n)$ を $𝒪(1)$ の テンプレート:Mvar 階のテンソル積 $𝒪(1{)}^{\otimes n}$ として定めると、同様の議論で$\mathrm{\Gamma }(𝐂P_n,𝒪(n))\cong {\mathrm{Sym}}^n{V}^{\wedge }$が証明できる。射影空間 テンプレート:Math の斉次座標環 テンプレート:Lang を

テンプレート:Indent で定義すると、以上の議論から テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の対称代数、すなわち、テンプレート:Mvar-変数の多項式環になることがわかる。

スキーム論では、以上の議論の逆をたどって一般の環（より一般には、任意のスキーム）上の射影空間を定義する。テンプレート:Mvar を任意の可換環として、 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Math 変数の多項式環 テンプレート:Math とする。テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の次数環とみて、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の無縁イデアル（定数項を持たない多項式全体のなすイデアル）を含まない斉次素イデアル全体の集合とすると、これは自然に A 上のスキームになり、これを テンプレート:Mvar 上の射影空間と呼び、スキーム論では通常 ${\mathbb{P}}_A^n$ で表す。環 テンプレート:Mvar が体 テンプレート:Mvar であるときは ${\mathbb{P}}_K^n$ の テンプレート:Mvar 値点全体は、ザリスキ位相を入れた上記 テンプレート:Mvar と一致し、テンプレート:Mvar の次数づけをずらした環 テンプレート:Math に対応する可逆層が上に現れた $𝒪(n)$ と一致する。

フビニ・スタディ計量

この節では体 テンプレート:Mvar は複素数体 テンプレート:Mathbf であるとする。テンプレート:Math 上の テンプレート:Math-型式

テンプレート:Indent は テンプレート:Math の作用で不変であるので、テンプレート:Math 上の テンプレート:Math-型式 テンプレート:Mvar を誘導する。点 テンプレート:Math のまわりの局所座標 テンプレート:Math でこれを展開して テンプレート:Math を代入すると テンプレート:Indent となるので、テンプレート:Mvar に対応するエルミート型式 テンプレート:Mvar はこの点で正値である、すなわちエルミート計量である。しかし テンプレート:Mvar、従ってそれに付随するエルミート型式はユニタリ群 テンプレート:Math のテンプレート:Math への、従ってテンプレート:Math への推移的な作用で不変であることから、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 上のエルミート計量を定める。更に テンプレート:Mvar は定義から明らかに閉型式であるので、テンプレート:Mvar はケーラー計量 テンプレート:Lang である。この テンプレート:Math 上の計量を フビニ・スタディ計量 テンプレート:Lang と呼ぶ。また、上の記述から射影空間 テンプレート:Math はフビニ・スタディ計量に関して正則断面曲率が正の定曲率を持つ多様体である事がわかる。

射影空間の位相

射影空間 テンプレート:Mvar はアフィン空間 テンプレート:Math と超平面 テンプレート:Math の交わりのない和に書かれる。テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar と同一視され、テンプレート:Mvar はひとつ次元の低い射影空間 テンプレート:Math と同一視されるので、この分解を帰納的に繰り返す事で

テンプレート:Indent なる非交和分解を得る。テンプレート:Mvar が テンプレート:Mathbf（もしくは テンプレート:Mathbf）の場合は、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 次元開球体 テンプレート:Math（もしくは テンプレート:Math 次元開球体 テンプレート:Math）と同相であるのでこれはCW複体への分割

テンプレート:Indent を与える。この胞体分割に付随するホモロジー複体を用いてホモロジー群が計算できる。テンプレート:Math の場合には、奇数次の胞体が存在しない事から直ちに

テンプレート:Indent がわかる。実射影空間に関しては、テンプレート:Mvarから テンプレート:Math への二重被覆を用いて貼り合わせ写像の重複度を計算するとこの胞体分割に付随するホモロジー複体は、テンプレート:Math (テンプレート:Math とおくとき

テンプレート:Indent で与えられるので、整数係数のホモロジー群は

テンプレート:Indent となる。係数を テンプレート:Math に取り換えると、複素射影空間の場合と類似性の強い

テンプレート:Indent が得られる。

任意のアーベル群 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar 係数のコホモロジー群もこのホモロジー複体に テンプレート:Math を作用させて得られるコホモロジー複体のコホモロジーとして計算できる。特に、全てのコホモロジー群の直和 $H^{*}(K{P}_n,A)=\underset{i\ge 0}{⨁}{H}^i(K{P}_n,A)$ にカップ積で積構造を入れて得られるコホモロジー環の構造は、複素射影空間に対しては

テンプレート:Indent で得られる。実射影空間に対しても テンプレート:Math 係数で考えれば類似の

テンプレート:Indent が得られる。ここで、テンプレート:Mvar は超平面のコホモロジー類である。

複素射影空間の場合、テンプレート:Math 番目のコホモロジー群 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 個の超平面の正しい交わり（それは テンプレート:Math と同一視できる）で生成されているので、複素射影空間のコホモロジー環の構造は テンプレート:Math の部分多様体の交わりの次数が次数の積になることをも意味している。これは、ベズーの定理の高次元化である。また、テンプレート:Math はケーラー多様体であるので、ホッヂ分解が成り立つが、次元の理由によりそのホッヂ数は

テンプレート:Indent で与えられる。

部分多様体の交わりと次数に関する理論（交点理論）は射影空間 テンプレート:Mvar （より正確にはスキーム論的な ${\mathbb{P}}_K^n$）に対してチャウ環 (Chow ring) テンプレート:Math を考える事で任意の体 テンプレート:Mvar 上へ一般化される。チャウ環もコホモロジー環と類似の記述

テンプレート:Indent を持っている。

参考文献

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• 川又雄二郎：「射影空間の幾何学」、朝倉書店（講座数学の学び方11)、ISBN 4-254-11591-1 (2001年10月15日)。
• 小林昭七：「複素幾何」、岩波書店 (2005) ISBN 4000059521
• Griffiths, P., Harris, J., Principles of Algebraic Geometry, 2nd edition, Wiley-Interscience (1994) ISBN 0471050598
• Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of differential geometry, Vols. 1&2 , Wiley-Interscience (1969) ISBN 0471157333 ISBN 0471157325
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• Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Springer-Verlag (1977) ISBN 0387902449 [ 邦訳：高橋宣能、松下大介 訳、「代数幾何学」 1,2,3 シュプリンガーフェアラーク東京 (2004) ISBN 443171135X ISBN 4431711368 ISBN 4431711376 ]
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