単位ベクトル

テンプレート:出典の明記 単位ベクトル（たんい-ベクトル、テンプレート:Lang-en-short）とは、長さ（ノルム）が 1 のベクトルのことである。

単位ベクトルは テンプレート:Mvar などで表されることが多い。

意義と表記

零ベクトルでないベクトル テンプレート:Mvar は、その大きさと単位ベクトルで表すことができる：

$𝒑=\Vert 𝒑\Vert \frac{𝒑}{\Vert 𝒑\Vert }$

ここで $\frac{𝒑}{\Vert 𝒑\Vert }$ が単位ベクトルであることは、ノルムの線形性の一部から従う：

$\Vert \frac{𝒑}{\Vert 𝒑\Vert }\Vert =\frac{1}{\Vert 𝒑\Vert }\Vert 𝒑\Vert =1$

これにより、ある方向のベクトル同士は、大きさと向き（固定した単位ベクトルと同じか逆か）で表すことができる。

ベクトルの正射影にも、単位ベクトルによる表記が簡潔である。ベクトル テンプレート:Mvar を（方向が同じとは限らない）単位ベクトル テンプレート:Mvar に正射影したとき、

• テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 方向への成分は、内積 $𝒂\cdot 𝒆$
• テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 方向への正射影ベクトルは $(𝒂\cdot 𝒆)𝒆$

力学や電磁気などの理工学的な分野などでは、ベクトル テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar と同じ向きの単位ベクトルを

$\widehat{𝒓}=\frac{𝒓}{|𝒓|}=\frac{𝒓}{r}$

などと表す。ここで、$r=|𝒓|$ は テンプレート:Mvar の長さ。

また、曲線や曲面に沿って動く質点などの動きをベクトルで捉えるのに、向きだけを捉えるための種々のベクトルは単位ベクトルを考えることが多い。そこでは、接頭辞として「単位-」が用いられる。例えば、単位接ベクトル、単位法ベクトル、単位従法ベクトルなどが挙げられる。

特に テンプレート:Mvar 次元ユークリッド空間においては、ベクトルが成分で表され、基本ベクトル

${𝒆}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),{𝒆}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\dots ,{𝒆}_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$

は テンプレート:Mvar 個の線形独立な単位ベクトルである。

テンプレート:Mvar空間においては、テンプレート:Math2 の各軸方向の単位ベクトルをそれぞれ テンプレート:Math2 と記すことが慣習である。これらを用いて空間ベクトル テンプレート:Mvar は

$𝒓=x𝒊+y𝒋+z𝒌$

と表せる。

このとき単位ベクトル $\widehat{𝒓}$ の大きさは

$|𝒓|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

となるから、 $\widehat{𝒓}$ の テンプレート:Math2 への分解は

$\begin{array}{cc}\widehat{𝒓}& =\frac{1}{|𝒓|}(x𝒊+y𝒋+z𝒌)\\ & =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}𝒊+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}𝒋+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}𝒌\end{array}$

関連項目

• 次元解析
• ベクトル空間
• 線形代数学
• ベクトル解析
• 曲率
• 捩率
• フレネ・セレの公式

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語