曲率

テンプレート:出典の明記 テンプレート:Expand English 曲率（きょくりつ、テンプレート:Lang-en-short）とは、曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。

例えば、半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した。

曲線の曲率

定義

ある任意の曲線において、線上の点 P₀ を基点とし、そこから曲線上の任意点 P（位置ベクトル r_P で表されるとする）までの距離を s とする。（この場合の s は一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。）

このとき点 P の位置は、

${𝐫}_P=𝐫(s)$

のように、変数 s の関数として表すことができる。（以下、特に断らない限り r_P = r とする。）

このとき、点 P で接する方向の単位ベクトル（これを t_P とする）は、

${𝐭}_P=𝐭(s)=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{\lim }\frac{𝐫(s+\mathrm{\Delta }s)-𝐫(s)}{\mathrm{\Delta }s}=\frac{d𝐫}{ds}$

となる。（位置ベクトルの変位分 Δr が十分小さいとき、|Δr| = Δs であるから、これは単位ベクトルである。）

同様に、${𝐫}_Q=𝐫(s+\mathrm{\Delta }s)$ と表される点 Q を考えるとき、点 Q 上の単位接線ベクトル t_Q は、

${𝐭}_Q=𝐭(s+\mathrm{\Delta }s)$

であり、二つの単位接線ベクトル t_P 、t_Q のなす角度を Δθ とすると、

$\frac{|{𝐭}_Q-{𝐭}_P|}{2}=\sin \frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2}$

である。

Δθが十分小さい、すなわち Δs が十分小さいとき、

$\mathrm{\Delta }\theta =\sin \mathrm{\Delta }\theta =|{𝐭}_Q-{𝐭}_P|$

と見做せる。

従って、接線傾斜 Δθ の変動率である χ を以下のように定義できる。

$\chi (s)=\frac{d\mathit{\theta }}{ds}=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }s}=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{\lim }\left|\frac{𝐭(s+\mathrm{\Delta }s)-𝐭(s)}{\mathrm{\Delta }s}\right|=\left|\frac{d𝐭}{ds}\right|=\left|\frac{d^2𝐫}{{ds}^2}\right|=\frac{1}{R(s)}$

一般に χ を曲率、χ の逆数 R を曲率半径と言う。

また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 P における接触平面と言う。

性質

更に、t を s で微分すると、

$\frac{d𝐭}{ds}=\frac{d^2𝐫}{d{s}^2}=𝐧\frac{d\theta }{ds}=\frac{𝐧}{R}$

が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、

${\left(\frac{d𝐫}{ds}\right)}^2={\left|\frac{d𝐫}{ds}\right|}^2=1$

となり、これを s について微分すると、

$\frac{d}{ds}{\left(\frac{d𝐫}{ds}\right)}^2=\frac{d^2𝐫}{d{s}^2}\cdot \frac{d𝐫}{ds}+\frac{d𝐫}{ds}\cdot \frac{d^2𝐫}{d{s}^2}=\frac{𝐧}{R}\cdot 𝐭+𝐭\cdot \frac{𝐧}{R}=0$

となるためである（ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。

ベクトル t と n の外積、

$𝐭\times 𝐧=𝐛$

で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。

関連項目

• ガウス・ボネの定理
• オイラーの定理 (微分幾何学)
• ムーニエの定理
• フレネ・セレの公式
• 捩率
• 物理学 - 力学
• 主曲率 - ガウス曲率
• 断面曲率
• リーマン曲率テンソル - リッチ曲率 - スカラー曲率
• 曲率形式

参考文献

• テンプレート:Cite book