法線ベクトル

法線ベクトル（ほうせんベクトル、テンプレート:Lang-en-short）とは、2次元平面においては、曲線上の点における接線に垂直な平面ベクトル、3次元空間においては、曲面上の点における接平面に垂直な空間ベクトルのことである。法線（ほうせん、テンプレート:Lang-en-short）とは、接線や接平面に垂直な直線のことである。

曲線（曲面）上の点に対して法線ベクトルは1つに決まらないことに注意する必要がある。そこで中でも単位ベクトル（ノルムが 1）であるものを単位法（線）ベクトル（テンプレート:Lang-en-short）というが、それでも2つあることに注意する必要がある。

3次元での例

曲面の法線ベクトルは、2つの線形独立な接ベクトルの外積として求めることができる。

右図で示した右手系の正規直交座標系において、直方体の一つの面の頂点を A, B, C, D とすると、面 ABCD の法線ベクトルテンプレート:Mvar は、

𝑵 = \vec{AB} \times \vec{AD}

となる。ここで ×はベクトルの外積を表す。ノルムは線分 AD と線分 BC の長さの積となっている。

線分 AB と線分 DC が x軸に平行で、線分 AD と線分 BC が z軸に平行な場合、

𝑵 = - | \vec{AB} | 𝒊 \times | \vec{AD} | 𝒌 = | \vec{AB} | | \vec{AD} | 𝒋

となる。ここで j は y軸方向の単位ベクトルである。

平面において、

曲線 f(x,y)=0 上の点 (x0,y0) における法線ベクトル：(∂f∂x(x0,y0),∂f∂y(x0,y0))
- 特に、直線 $a x + b y + c = 0$ 上の点 $(x_{0}, y_{0})$ における法線ベクトル： $(a, b)$
曲線 $x = f (t), y = g (t)$ （テンプレート:Mvar は媒介変数）の $t = t_{0}$ における点の法線ベクトル： $\pm (y^{'} (t_{0}), - x^{'} (t_{0}))$

接点と法線ベクトルから、元の接空間を表すことができる。