規格化

テンプレート:Otheruses 規格化 (きかくか、テンプレート:Lang-en-short) とは、ある空間で粒子が一つ存在し、それを記述する波動関数をΨとすると、Ψのノルムに関して、

$\int |\mathrm{\Psi }{|}^{2}d𝐫=1$

とすることである。正規化とも言う。積分は当該粒子の存在する全空間に対して行われる。積分の範囲は、その粒子のなす系に課された境界条件によって変わる。一つの例として周期的境界条件に基づく結晶格子では、以下のようにその単位胞内で規格化のための積分が行われる。

$\underset{V_{cell}}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}d𝐫=1$

ここで、V_cell は単位胞の体積である。

直交座標系を考えて、r=(x,y,z) とし、更に時間tも考えると、一粒子の波動関数は $\mathrm{\Psi }=\mathrm{\Psi }(x,y,z,t)=\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$ で表され、これは、

$\int |\mathrm{\Psi }{|}^{2}d𝐫=\int |\mathrm{\Psi }(𝐫,t){|}^{2}d𝐫=1$

と規格化される。これは、ある時刻ｔで粒子が位置 r での微小な領域 dr(=dxdydz) に存在する確率が、$|\mathrm{\Psi }(𝐫,t){|}^{2}d𝐫$ であることを示している。それを全空間（粒子の存在しうる全領域）で積分すれば、確率の総和は1となる必要がある。この要請を満たすために規格化を行う。実際の数値計算等で求められる波動関数は、そのままでは上記の積分が1となる保証はないので、積分値が1となるように規格化される。

デルタ関数による規格化

実際の量子論では、自乗積分が∞に発散するような関数を扱うことも多い。

$\int |{\psi }_k(𝐫,t){|}^{2}d𝐫=\mathrm{\infty }$

その場合は、次のようなデルタ関数による規格化を許している。

$\int {\psi }_k^{*}(𝐫,t){\psi }_{k^{\prime }}(𝐫,t)d𝐫=\delta (k-k^{\prime })$

この場合における$|{\psi }_k(𝐫,t){|}^2$は、ある時刻ｔで位置$𝐫$の測定をした時の確率密度$p(𝐫,t)$ではなく、次のように相対確率を表す。

$p(𝐫,t)\ne |{\psi }_k(𝐫,t){|}^2$

$p(𝐫,t)\propto |{\psi }_k(𝐫,t){|}^2$