クロネッカーのデルタ

クロネッカーのデルタ（テンプレート:Lang-en-short）とは、集合 テンプレート:Mvar（多くは自然数の部分集合）の元 テンプレート:Mvar に対して

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& (i=j)\\ 0& (i\ne j)\end{array}$

によって定義される二変数関数 ${\delta }_{ij}:T\times T\to \{0,1\}$ のことをいう。つまり、テンプレート:Math の対角成分の特性関数のことである。名称は、19世紀のドイツの数学者レオポルト・クロネッカーに因む。

アイバーソンの記法を用いると

${\delta }_{ij}=[i=j]$

と書ける。

単純な記号だが、色々な場面で有用である。例えば、単位行列は テンプレート:Math と書けたり、テンプレート:Mvar 次元直交座標の基底ベクトルの内積は、テンプレート:Math と書ける。

性質

$\begin{array}{cc}\sum _j{\delta }_{ij}{a}_j& =a_i\\ \sum _i{a}_i{\delta }_{ij}& =a_j\end{array}$

が成り立つ。これはベクトルに単位行列を作用させても不変であることに対応する。

$\sum _k{\delta }_{ik}{\delta }_{kj}={\delta }_{ij}$

が成り立つ。これは単位行列に単位行列を掛けたものは単位行列であることに対応する。

一般化されたクロネッカーのデルタ

この節では、添字は テンプレート:Math から テンプレート:Mvar の間の値をとるものとする。

2階テンプレート:Math型テンソルとしてのクロネッカーのデルタは

${\delta }_{\nu }^{\mu }=\{\begin{array}{cc}1& (\mu =\nu )\\ 0& (\mu \ne \nu )\end{array}$

である。

これを高階に拡張したものとして、テンプレート:Mvar 次元、テンプレート:Math 階の一般化されたクロネッカーのデルタがある。これは テンプレート:Math 型テンソルで、上下それぞれの添字に対して反対称である。

定義

一般化されたクロネッカーのデルタの定義は

${\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{(even)}\\ -1& \text{(odd) }\\ 0& \text{(otherwise)}\end{array}$

である。

なお、"$\text{even}$" は ${\nu }_1,{\nu }_2,\dots ,{\nu }_p$ が全て異なり、かつ、 ${\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_p$ の偶置換の場合を指し、"$\text{odd}$" は ${\nu }_1,{\nu }_2,\dots ,{\nu }_p$ が全て異なり、かつ、${\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_p$ の奇置換の場合を指し、"$\text{otherwise}$" は上記以外のすべての場合を指す。

${𝔖}_p$ を テンプレート:Mvar 次の対称群とすれば

${\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}=\sum _{\sigma \in {𝔖}_p}\mathrm{sgn}(\sigma ){\delta }_{{\nu }_1}^{{\mu }_{\sigma (1)}}\cdots {\delta }_{{\nu }_p}^{{\mu }_{\sigma (p)}}=\sum _{\sigma \in {𝔖}_p}\mathrm{sgn}(\sigma ){\delta }_{{\nu }_{\sigma (1)}}^{{\mu }_1}\cdots {\delta }_{{\nu }_{\sigma (p)}}^{{\mu }_p}$

と表現でき、反対称化の記号を用いると：

${\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}=p!{\delta }_{{\nu }_1}^{[{\mu }_1}\cdots {\delta }_{{\nu }_p}^{{\mu }_p]}=p!{\delta }_{[{\nu }_1}^{{\mu }_1}\cdots {\delta }_{{\nu }_p]}^{{\mu }_p}$

となる。また、テンプレート:Nowrap 行列式で表現すると：

${\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{{\nu }_1}^{{\mu }_1}& \cdots & {\delta }_{{\nu }_p}^{{\mu }_1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\delta }_{{\nu }_1}^{{\mu }_p}& \cdots & {\delta }_{{\nu }_p}^{{\mu }_p}\end{array}\right|$

となる。

行列式の余因子展開を用いると再帰的な定義：

$\begin{array}{cc}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}& =\sum _{k=1}^p(-1{)}^{p+k}{\delta }_{{\nu }_k}^{{\mu }_p}{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\check{\nu }}_k\cdots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k\cdots {\check{\mu }}_p}\end{array}$

が得られる。ただし、チェック($\stackrel{}{ˇ}$)が付いた項は式から外されるとする。

テンプレート:Math の場合、(高階に拡張された)エディントンのイプシロンを使えば：

${\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_n}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}={\epsilon }^{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}{\epsilon }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_n}$

となる。

逆にエディントンのイプシロンの定義と考えることもできる。

${\epsilon }^{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}={\delta }_{1\cdots n}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}$

${\epsilon }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_n}={\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_n}^{1\cdots n}$

演算規則

反対称化を一般化されたクロネッカーのデルタを使って定義すると

$\begin{array}{cc}\frac{1}{p!}\sum _{{\nu }_1,\dots ,{\nu }_p=1}^n{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}{a}^{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}& =a^{[{\mu }_1\cdots {\mu }_p]}\\ \frac{1}{p!}\sum _{{\mu }_1,\dots ,{\mu }_p=1}^n{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}{a}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}& =a_{[{\nu }_1\cdots {\nu }_p]}\end{array}$

となる。

これより、以下の演算規則が導かれる。

$\begin{array}{cc}\sum _{1\le {\nu }_1<\dots <{\nu }_p\le n}{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}{a}^{[{\nu }_1\cdots {\nu }_p]}& =a^{[{\mu }_1\cdots {\mu }_p]}\\ \sum _{1\le {\mu }_1<\dots <{\mu }_p\le n}{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}{a}_{[{\mu }_1\cdots {\mu }_p]}& =a_{[{\nu }_1\cdots {\nu }_p]}\\ \sum _{1\le {\nu }_1<\dots <{\nu }_p\le n}{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}{\delta }_{{\rho }_1\cdots {\rho }_p}^{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}& ={\delta }_{{\rho }_1\cdots {\rho }_p}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}\end{array}$

これらは#性質の節の内容の一般化であり、3番目の式はコーシー・ビネの公式に対応する。

添字の縮約については テンプレート:Math として、

$\sum _{{\rho }_{m+1}=1}^n\cdots \sum _{{\rho }_k=1}^n{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_m{\rho }_{m+1}\cdots {\rho }_k}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_m{\rho }_{m+1}\cdots {\rho }_k}=\frac{(n-m)!}{(n-k)!}{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_m}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_m}$

あるいは

$\sum _{1\le {\rho }_{m+1}<\dots <{\rho }_k\le n}{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_m{\rho }_{m+1}\cdots {\rho }_k}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_m{\rho }_{m+1}\cdots {\rho }_k}=\left(\begin{array}{c}n-m\\ k-m\end{array}\right){\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_m}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_m}$

が成立する。

特に テンプレート:Math のとき、

$\sum _{1\le {\rho }_{m+1}<\cdots <{\rho }_n\le n}{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_m{\rho }_{m+1}\cdots {\rho }_n}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_m{\rho }_{m+1}\cdots {\rho }_n}={\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_m}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_m}$

あるいは

$\sum _{1\le {\rho }_{m+1}<\cdots <{\rho }_n\le n}{\epsilon }^{{\mu }_1\cdots {\mu }_m{\rho }_{m+1}\cdots {\rho }_n}{\epsilon }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_m{\rho }_{m+1}\cdots {\rho }_n}={\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_m}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_m}$

$\sum _{{\rho }_{m+1},\dots ,{\rho }_n=1}^n{\epsilon }^{{\mu }_1\cdots {\mu }_m{\rho }_{m+1}\cdots {\rho }_n}{\epsilon }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_m{\rho }_{m+1}\cdots {\rho }_n}=(n-m)!{\delta }_{{\nu }_1\cdots {\nu }_m}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_m}$

が成立する。

関連項目

• ディラックのデルタ関数
• 対角線論法
• 黒猫の三角 - タイトル、登場する黒猫は、ともにクロネッカーのデルタからの引用