アイバーソンの記法

アイバーソン括弧（テンプレート:Lang-en）は、数式における論理値に関する記法である。ケネス・アイバーソンにちなんで名づけられた。括弧を用いて表され、括弧内が真ならば1、偽ならば0と定義する。通常は角括弧が用いられる。アイバーソンの記法とも呼ばれるが、アイバーソン記法は、アイバーソンが開発した言語であるAPLを指す場合があるため、注意が必要である。

$[P]=\{\begin{array}{cc}1& P\text{が 真 }\\ 0& P\text{が 偽 }\end{array}$

性質

アイバーソンの記法の計算規則と論理、集合演算の間には直接的な対応関係がある。いまA, Bを集合とし、 $P(k_1,\dots )$を整数についての任意の性質とすると、以下が成り立つ。

$\begin{array}{cc}[][P\wedge Q]& =[P][Q],[\mathrm{\neg }P]=1-[P].\\ [P\vee Q]& =[P]+[Q]-[P][Q].\\ [k\in A]+[k\in B]& =[k\in A\cup B]+[k\in A\cap B].\\ [x\in A\cap B]& =[x\in A][x\in B].\\ [\mathrm{\forall }m.P(k,m)]& =\prod _m[P(k,m)].\\ [\mathrm{\exists }m.P(k,m)]& =\min (1,\sum _m[P(k,m)])=1-\prod _m(1-[P(k,m)]).\\ \mathrm{\#}\{m\mid P(k,m)\}& =\sum _m[P(k,m)].\end{array}$

参照

• Donald Knuth, "Two Notes on Notation", American Mathematical Monthly, Volume 99, Number 5, May 1992, pp. 403–422. (テンプレート:TeX, テンプレート:Arxiv)
• Kenneth E. Iverson, "A Programming Language", New York: Wiley, p. 11, 1962.

関連項目

• クロネッカーのデルタ
• 指示関数