スピン角運動量

テンプレート:内容過剰 テンプレート:Pathnavスピン角運動量（スピンかくうんどうりょう、テンプレート:Lang-en-short）は、電子をはじめとする量子力学上の素粒子や複合粒子の固有の「角運動量」とされる波動特性である。単にスピンとも呼ばれる。

　スピンという呼称こそは古典的な物体のスピンすなわち自転に由来する。量子力学上のスピンには何かが回転しているといった意味は無いが、物体の回転と関わりがあることは否定されていない。単位は古典的スピンと同じ[N m s]や[J s]であり、多くの場合、換算プランク定数 $\hslash$ との比である量子数で表す。

　なお、粒子の回転運動に由来する角運動量は軌道角運動量と呼ばれる。スピン角運動量と軌道角運動量の和を全角運動量と呼ぶ。

概要

「スピン」という名称は、この概念が広まりはじめた当時、粒子の「自転」のようなものと説明されたという歴史的理由による。このように回転するという解釈は現在は支持されていない。現在の標準模型においては電子はじめとする粒子の質量「点状」とされているため、仮に回転していたとしても物体の回転と比較できるものではないし、古典的な解釈を付け加える必要はなく無意味であるテンプレート:Sfn。ただし、磁気回転効果により、電子のスピンと物体の回転運動とが関連付けられることは肯定されている。

非相対論的な量子力学において、スピン角運動量はそれ以外のオブザーバブルとは振る舞いを異にする為にスピン角運動量を記述するためだけの理論の修正を迫られる。それに対し相対論的量子力学では、例えばディラック方程式の定義それ自身にスピンの概念が織り込まれているなど、より自然な形でスピンが定式化される。

スピン量子数

粒子の運ぶスピン角運動量の大きさをスピン量子数という。

• 素粒子のスピン量子数は一定であり方向のみ変化する。
• 荷電粒子のスピン量子数は磁気双極子モーメントに関連付けられる。

スピン量子数による粒子分類

スピン量子数 テンプレート:Mvar は 1/2を単位として扱われることが常であり、半整数 テンプレート:Math になる粒子はフェルミ粒子（フェルミオン）、整数 テンプレート:Math になる粒子はボース粒子（ボゾン）と区別され、両者の物理的性質は著しく異なる(詳細はそれぞれの項目を参照)。

2016年現在知られている範囲において、

• 素粒子についてはフェルミオンのスピン量子数は全て テンプレート:Math である。
• 同じくボゾンはヒッグス粒子のみスピン量子数が テンプレート:Math であり、それ以外は テンプレート:Math である。
• 複合粒子のスピン量子数はそれ以外の値も取りうるが、単純に複合粒子を構成する素粒子のスピン量子数の合計値になるわけではない。例えばヘリウム原子を構成する素粒子である電子やクォークはいずれもフェルミオンであり、したがってそのスピン量子数は半整数であるが、ヘリウム原子のスピン量子数は テンプレート:Math である。

テンプレート:Mvar の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。

歴史

ナトリウムのスペクトルを観測する実験で、磁場においたD線が 2 本に分裂することが発見され（ゼーマン効果）、これは電子がいまだ知られていない 2 値の量子自由度があるためと考え、1925年にウーレンベックとゴーズミットは、電子は原子核の周りを公転する軌道角運動量の他に、電子が質点ではなく大きさを持ち、かつ電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてたテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。この仮定では、その自転の角運動量の大きさが$\hslash /2$であるとし、自転の回転方向が異なるため、公転に伴う角運動量との相互作用でエネルギー準位が2つに分裂したと考えると実験の結果をうまく説明できた。そしてこの自由度を電子のスピン角運動量と呼んだ。

ただし、実際にこの仮定通りスピン角運動量が電子の自転に由来していると考えると、電子が大きさを持ち、かつ光速を超える速度で自転していなければならないことになり、これは特殊相対論と矛盾してしまう。そのため、1925年にラルフ・クローニッヒによって提案されたものの、パウリによって否定されていた。パウリは、自転そのものを考えなければならない古典的な描像を捨て、一般の角運動量 $\hslash \widehat{𝐉}$ の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量としたテンプレート:Sfn。

その後発展した標準模型においても、電子は大きさ 0 の質点として扱っても実験的に高い精度で矛盾がなく、電子に内部構造があるか（スピン角運動量などの内部自由度に起源があるか）はわかっていない。

数学的導出の方法

本稿では以下、特に断りがない限り非相対論な量子力学に対するスピンの概念について述べる。

準備

本節ではまず回転群とユニタリ群について紹介し、次にこれらの概念を使って軌道角運動量の概念を回転対称性の観点から定式化する。本節で軌道角運動量の概念を復習するのは、次節以降、軌道角運動量の定義を参考にしながらスピン角運動量の概念を定式化する為である。

数学の準備

スピン角運動量演算子の定義に必要な数学的知識を簡単に述べる。テンプレート:Mathを実数全体の集合、テンプレート:Mathを複素数全体の集合とする。3次元空間テンプレート:Mathにおける回転行列全体の集合を

$\mathrm{S}\mathrm{O}(3)=\{R\in M_{n,n}(𝐑):{}^{t}RR=I,\det R=1\}$

と表記する。ここで $M_{n,n}(𝐑)$ は テンプレート:Mvar 行 テンプレート:Mvar 列の実行列全体の集合であり、テンプレート:Mvar は単位行列であり、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の転置行列である。テンプレート:Math は行列の積に関して群をなすので、テンプレート:Math を3次元回転群という。

テンプレート:Math のように、「滑らかな」構造を持った群をリー群という（厳密な定義はリー群の項目を参照）。特にテンプレート:Math のように行列からなるリー群を行列リー群あるいは単に行列群という。本項で登場するリー群は以下の行列群に限られる。そこで本項ではリー群の一般論を展開するのは避け、以下の行列群に限定して話をすすめる。 以下でテンプレート:Mvarは複素計量ベクトル空間であり、テンプレート:Mathは単位行列であり、テンプレート:Mathはテンプレート:Mathのエルミート共役である：

3次元回転群$\mathrm{S}\mathrm{O}(3)=\{R\in M_{n,n}(𝐑):{}^{t}RR=I,\det R=1\}$ …(テンプレート:EquationRef)

ユニタリ群$\mathrm{U}(V)=\{U:V$上の線形写像で、$U{U}^{*}=I\}$ …(テンプレート:EquationRef)

特殊ユニタリ群$\mathrm{S}\mathrm{U}(V)=\{U:V$上の線形写像で、$U{U}^{*}=I,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}U=1\}$ …(テンプレート:EquationRef)

ベクトル空間テンプレート:Mvarがテンプレート:Mathである場合は、テンプレート:Mathの事をそれぞれテンプレート:Mathと表記する。

テンプレート:Mathをテンプレート:Mathのいずれかとするとき、集合

$𝗀=\{\frac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}:R(t)$は テンプレート:Math 上の可微分な曲線で、テンプレート:Math のとき単位行列となる$\}$ …(テンプレート:EquationRef)

をテンプレート:Mathのリー環と呼び、$𝗀$の元をテンプレート:Math上の無限小変換と呼ぶ。リー「環」という名称なのは、$𝗀$が行列の交換子積

$[A,B]=AB-BA$

に関して環をなすからである。テンプレート:Mathのリー環はそれぞれ、

$𝗌𝗈(3)=\{F\in M_{n,n}(𝐑):{}^{t}F=-F\}$ …(テンプレート:EquationRef)

$𝗎(V)=\{A:A$はテンプレート:Math上の線形写像で、$A^{*}=-A\}=\{A:A$はテンプレート:Math上の歪エルミート演算子$\}$ …(テンプレート:EquationRef)

$𝗌𝗎(V)=\{A:$はテンプレート:Math上の線形写像で、$A^{*}=-A,\mathrm{t}\mathrm{r}A=0\}$ …(テンプレート:EquationRef)

である。テンプレート:Mathが上述した形になるのは以下の理由による。テンプレート:Mathをテンプレート:Math 上の可微分な曲線で、テンプレート:Math のとき単位行列となるものとすると、テンプレート:Math の定義より、

${}^{t}R(t)R(t)=I$

なので、その テンプレート:Math での微分は

${\frac{{}^t\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}+{\frac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}=0$

を満たす為である。テンプレート:Mathが上述の形になる事も同様の方法で証明できる。なお、ここではVが有限次元の場合を想定したが、無限次元のヒルベルト空間の場合も同様の事が成立する。

$𝗀$をテンプレート:Mathのいずれかとし、行列$A\in 𝗀$に対しテンプレート:Math を

$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(A)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^n}{n!}$ …(テンプレート:EquationRef)

と定義すると次が成立する：

テンプレート:Mathであれば、テンプレート:Math はそれぞれテンプレート:Mathの元である。 …(テンプレート:EquationRef)

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\exp (tA)=A$ …(テンプレート:EquationRef)

テンプレート:Math に関しては上述の性質を更に具体的に書き表す事ができる。3次元ベクトル テンプレート:Mathに対し、so(3)に属する行列テンプレート:Mathを

$F_{𝒙}=\left(\begin{array}{ccc}0& -z& y\\ z& 0& -x\\ -y& x& 0\end{array}\right)\in 𝗌𝗈(3)$ …(テンプレート:EquationRef)

と定義するとテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn次が成立するテンプレート:Sfn：

テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を軸とする回転行列で、回転角は軸に対しては右回りに テンプレート:Math ラジアンである。 …(テンプレート:EquationRef)

$[F_{𝐱},F_{𝐲}]=F_{𝐱\times 𝐲}$ …(テンプレート:EquationRef)

ここで「テンプレート:Math」はクロス積である。テンプレート:Math、テンプレート:Mathをテンプレート:Mathのいずれかとし、$𝗀$、$𝗁$をテンプレート:Math、テンプレート:Mathのリー環とする。（すなわち$𝗀$、$𝗁$はテンプレート:Mathのいずれかである）。

$\pi :G\to H$

をテンプレート:Mathからテンプレート:Mathへの可微分な準同型写像とする。このときテンプレート:Mathが誘導する写像テンプレート:Mathを

${\pi }_{*}:\frac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\in 𝗀$$\mapsto \frac{\mathrm{d}\pi (R(t))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\in 𝗁$ …(テンプレート:EquationRef)

により定義すると、この写像はwell-definedになる。しかもこの写像はリー環としての準同型写像になることが知られている。すなわち

${\pi }_{*}([A,B])=[\pi (A),\pi (B)]$ …(テンプレート:EquationRef)

である。

テンプレート:Mathが誘導する写像テンプレート:Mathと行列の指数関数テンプレート:Mathは以下の関係を満たす：

任意の$A\in 𝗀$に対し、$\pi (\exp (A))=\exp ({\pi }_{*}(A))$ …(テンプレート:EquationRef)

空間の回転対称性からみた軌道角運動量演算子

（非相対論的な）量子力学において、波動関数全体の集合はヒルベルト空間 $\mathscr{H}$として記述可能であり、（スピンを考慮しない）一粒子からなる系の場合、$\mathscr{H}$ は3次元ユークリッド空間 テンプレート:Math 上の[[自乗可積分函数|テンプレート:Math 空間]]と等しい、すなわち

$\mathscr{H}=L^2({𝐑}^3)$

である。

軌道角運動量演算子は、空間の回転に対する対称性として導出されるテンプレート:Sfn。 そこで軌道角運動量演算子を導出するため、回転行列によって波動関数がどのように変化するかを調べる。3次元の回転行列全体のなすリー群を テンプレート:Math と書くとき、回転行列 テンプレート:Math により座標系を回転したとき、波動関数 テンプレート:Math は テンプレート:Math に移動する。すなわち、各回転行列 テンプレート:Math に対し、波動関数の空間 $L^2({𝐑}^3)$ 上にユニタリ演算子

$\lambda (R):L^2({𝐑}^3)\to L^2({𝐑}^3),$$\varphi (𝒙)\mapsto \varphi (R^{-1}𝒙)$

が定義されるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

複素計量ベクトル空間テンプレート:Mvar上のユニタリ演算子全体のなす群をテンプレート:Mathとするとき、回転行列 テンプレート:Mvar に対し複素ベ クトル空間$L^2({𝐑}^3)$ 上のユニタリ演算子 テンプレート:Math を対応させる（連続準同型）写像

$\lambda :R\in \mathrm{S}\mathrm{O}(3)\mapsto \lambda (R)\in \mathrm{U}(L^2({𝐑}^3))$

を テンプレート:Math の$L^2({𝐑}^3)$上のユニタリ表現という。

一方、テンプレート:Math に対応する「無限小変換」全体の集合 テンプレート:Math を(テンプレート:EquationNote)のように定義し、(テンプレート:EquationNote)に従ってテンプレート:Mathが誘導する写像テンプレート:Mathを

${\lambda }_{*}:\frac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\in 𝗌𝗈(3)$$\mapsto \frac{\mathrm{d}\lambda (R(t))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\in \{L^2({𝐑}^3)$上の歪エルミート演算子$\}$

そこで単位ベクトル テンプレート:Mathに対し、テンプレート:Mathを(テンプレート:EquationNote)のように定義し、虚数単位 テンプレート:Mvar と換算プランク定数テンプレート:Mathを用いて、

${\hat{L}}_{𝐧}$$=i\hslash {\lambda }_{*}(F_{𝐧})$　　…(テンプレート:EquationRef)

と定義すると、${\hat{L}}_{𝐧}$はテンプレート:Math上のエルミート演算子になる。この演算子は「無限小回転テンプレート:Mathに対応する演算子」テンプレート:Sfnであり、この演算子を軸 テンプレート:Mathの周りの軌道角運動量演算子と呼ぶ。

例えば テンプレート:Mvar 軸の周りの軌道角運動量${\hat{L}}_z$ が球面座標系 テンプレート:Math を用いて

${\hat{L}}_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \phi }$

と表記できる事を以下のように確認できる。テンプレート:Mvarを任意の波動関数とすると、(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)より

${\hat{L}}_z\psi (r,\theta ,\phi )$$=i\hslash {\lambda }_{*}(F_{(1,0,0)})\psi (r,\theta ,\phi )$$={\lambda }_{*}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\exp (t{F}_{(1,0,0)}){|}_{t=0})\psi (r,\theta ,\phi )$$=i\hslash \frac{\mathrm{d}\lambda (\exp (t{F}_{(1,0,0)}))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\psi (r,\theta ,\varphi )$$=i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\psi (r,\theta ,\phi -t){|}_{t=0}$$=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \phi }\psi (r,\theta ,\phi )$

さらに テンプレート:Mvar 軸、テンプレート:Mvar 軸の周りの軌道角運動量をそれぞれ${\hat{L}}_x$、${\hat{L}}_y$とし、テンプレート:Mathとすると、(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)より交換関係

$[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]=(i\hslash {)}^2{\lambda }_{*}([F_x,F_y])=(i\hslash {)}^2{\lambda }_{*}(F_z)={\hat{L}}_z$

$[{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z]=(i\hslash {)}^2{\lambda }_{*}([F_y,F_z])=(i\hslash {)}^2{\lambda }_{*}(F_x)={\hat{L}}_x$

$[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x]=(i\hslash {)}^2{\lambda }_{*}([F_z,F_x])=(i\hslash {)}^2{\lambda }_{*}(F_z)={\hat{L}}_y$

が従う。

2つの軸に関する軌道角運動量演算子は、テンプレート:Math のユニタリ表現 テンプレート:Math によって結ばれる。すなわち、テンプレート:Mvar を回転行列で テンプレート:Mvar 軸を テンプレート:Mvar 軸に移すものとすると、テンプレート:Mvar 軸の周りの軌道角運動量${\hat{L}}_w$ は合成写像

${\hat{L}}_w=\lambda (R){\hat{L}}_z\lambda (R{)}^{-1}$

である。

スピンを考慮した場合の波動関数空間ℋの数学的定式化

前節まで述べたように、軌道角運動量演算子は粒子の位置を表すテンプレート:Mathによる3次元空間上の回転対称性として定義できる。それに対しスピンはそのような定式化ができない。様々な物理実験から、スピンはテンプレート:Mathとは独立な粒子の第四の内部自由度である事が知られているからである。これが原因で、スピンを考慮した場合、波動関数全体のなすヒルベルト空間 $\mathscr{H}$ は一粒子系であっても $\mathscr{H}$はテンプレート:Math とは等しくならない。

したがってスピンを記述するには、スピンの状態ベクトルの空間テンプレート:Math をテンプレート:Mathとは別個に用意し、

$\mathscr{H}=L^2({𝐑}^3)\otimes V_s$

を考える必要があるテンプレート:Sfnテンプレート:Efn。ここで添字テンプレート:Mathは整数もしくは半整数であり、テンプレート:Mathはテンプレート:Math 次元の複素計量ベクトル空間である。

一粒子系の波動関数の空間 $\mathscr{H}$が上述のように表記できるとき、テンプレート:Mvar をその粒子のスピン量子数というテンプレート:Sfn。テンプレート:Math をスピノール空間テンプレート:Sfn、テンプレート:Math の元をスピノールという。テンプレート:Mvar が整数ではない半整数になるときその粒子をフェルミオンといい、テンプレート:Mvar が整数になるときその粒子をボゾンという。

スピンを考慮した波動関数の記述方法

スピンを考慮した波動関数 $\psi \in \mathscr{H}=L^2({𝐑}^3)\otimes V_s$ の表記には次の2通りが多用される。

成分表示

テンソル積の定義より、波動関数$\psi \in \mathscr{H}=L^2({𝐑}^3)\otimes V_s$は

$\psi =\sum _j{\varphi }_j(x,y,z)\otimes {\sigma }_j$　　　　　…(テンプレート:EquationRef)

という形に成分表示できる。ここで${\varphi }_j(x,y,z)$はテンプレート:Mathの元であり、テンプレート:Math は テンプレート:Math の元すなわちスピノールである。そこで、

${\phi }_j(x,y,z,\sigma ):={\varphi }_j(x,y,z)\otimes \sigma$

と定義すれば、

$\psi =\sum _j{\phi }_j(x,y,z,{\sigma }_j)$

である。この形はスピン（を表すスピノール テンプレート:Math ） が テンプレート:Math とは独立である事がわかりやすい。

スピノール表示

スピンを考慮した波動関数 テンプレート:Math (テンプレート:EquationNote) に対し、テンプレート:Math を

${\psi }^{\prime }(x,y,z):=\sum _j{\varphi }_j(x,y,z)\cdot {\sigma }_j\in V_s$

と定義する。なお上式の「・」はベクトル テンプレート:Math の各成分にスカラー ${\varphi }_j$を乗じるいわゆる内積。スピンなし波動関数が1次元複素計量ベクトル空間 テンプレート:Math に値を取るのに対し、テンプレート:Math は テンプレート:Math 次元複素計量ベクトル空間 テンプレート:Math に値を取る。このように テンプレート:Math に値を取る波動関数とみなす記述はスピノール表示と呼ばれる。

スピノールを成分表示することがある。テンプレート:Math をテンプレート:Mathの基底とするとき、テンプレート:Mathは必ず

${\psi }^{\prime }(x,y,z):=\sum _j\varphi {\text{'}}_j(x,y,z)\cdot e_j\in V_s$

の形で表記できるので、テンプレート:Mathはベクトル

$\left(\begin{array}{c}\varphi {\text{'}}_{-s}(x,y,z)\\ ⋮\\ \varphi {\text{'}}_s(x,y,z)\end{array}\right)$

と成分表示できる。

なお基底 テンプレート:Math は通常、（何らかの軸に関する）スピン演算子に対応した固有ベクトルとする。

スピンを考慮した場合のオブザーバブル

量子力学においてスピンを考慮しない場合のオブザーバブル$\hat{A}$は、テンプレート:Math 上のエルミート演算子として定式化されている。スピンを考慮した場合、この演算子$\hat{A}$を

$\hat{A}\otimes \mathrm{i}\mathrm{d}:L^2({𝐑}^3)\otimes V_s\to L^2({𝐑}^3)\otimes V_s,$ $\sum _j{\varphi }_j(x,y,z)\otimes {\sigma }_j\mapsto \sum _j\hat{A}({\varphi }_j(x,y,z))\otimes {\sigma }_j$

と同一視する事で、スピンを考慮した波動関数の空間$\mathscr{H}=L^2({𝐑}^3)\otimes V_s$上のオブザーバブルとみなす。(ここでテンプレート:Mathは恒等写像である)。

後述するように、スピン角運動量演算子は、テンプレート:Math上のエルミート演算子として定式化できるが、これも同種の同一視により、$\mathscr{H}=L^2({𝐑}^3)\otimes V_s$上のオブザーバブルとみなす。すなわち$\hat{S}$を（何らかの軸に関する）スピン角運動量とするとき、$\hat{S}$は

$\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes \hat{S}:L^2({𝐑}^3)\otimes V_s\to L^2({𝐑}^3)\otimes V_s,$$\sum _j{\varphi }_j(x,y,z)\otimes {\sigma }_j\mapsto \sum _j{\varphi }_j(x,y,z)\otimes \hat{S}({\sigma }_j)$

と同一視する。

テンプレート:Math 上のユニタリ表現に関する問題

軌道角運動量演算子が$L^2({𝐑}^3)$上の「無限小回転に対する演算子」として定義可能であったのと同様、スピン角運動量演算子は テンプレート:Math に対する無限小回転に対する演算子として定義する事ができる。しかしながら、軌道角運動量演算子の定義における$L^2({𝐑}^3)$を単純に テンプレート:Math に置き換えただけではスピン角運動量演算子は定義できない。これは次の理由による。

軌道角運動量演算子の場合、3次元回転行列群 テンプレート:Math の$L^2({𝐑}^3)$上のユニタリ表現

$\lambda (R(t)):L^2({𝐑}^3)\to L^2({𝐑}^3),\varphi (𝒙)\mapsto \varphi (R(t{)}^{-1}𝒙)$

を テンプレート:Mvar に関して微分する事で軌道角運動量演算子を定義していた。

したがって軌道角運動量演算子の定義において単純に$L^2({𝐑}^3)$を テンプレート:Math に置き換えてスピン角運動量演算子を定義しようとすると、テンプレート:Math の テンプレート:Math 上のユニタリ表現が必要となる。しかしながら、そのような表現は常に存在するわけではないことが知られているテンプレート:Sfn：テンプレート:Math theoremすなわち上述した方法論では、テンプレート:Mvar が半整数の場合に対してスピン角運動量演算子を定義する事ができない。この問題の解決方法は2つあり、後述するように2つは本質的に同値である。

射影ユニタリ表現を用いた解決

一つ目の解決方法は テンプレート:Math を直接考えるのではなく、テンプレート:Math の元を位相の相違を無視する同値関係テンプレート:Sfn

$\varphi \sim \psi$$\stackrel{def}{⟺}\mathrm{\exists }\alpha \in [0,2\pi ]:\varphi ={\mathrm{e}}^{i\alpha }\psi$

で割った空間

$V_s/\sim$

を考え、同様にユニタリ演算子に対しても同様の同値関係

$U\sim U^{\prime }$$\stackrel{def}{⟺}\mathrm{\exists }\alpha \in [0,2\pi ]:U={\mathrm{e}}^{i\alpha }{U}^{\prime }$

により同一視した同値類 テンプレート:Math を考えるというものであるテンプレート:Sfn。このユニタリ演算子の同値類全体の集合を

$\mathrm{P}\mathrm{U}(V_s)=\mathrm{U}(V_s)/\sim$

と表記する。テンプレート:Math を テンプレート:Math 上の射影ユニタリ群、テンプレート:Math に属する同値類を テンプレート:Math 上の射影ユニタリ演算子と呼ぶ。

射影ユニタリ演算子 テンプレート:Math は テンプレート:Math 上の写像となる事が知られている：

$[U]:V_s/\sim \to V_s/\sim$

そこでスピン演算子の振る舞いを記述するため、テンプレート:Math のユニタリ表現の代わりに テンプレート:Math の射影ユニタリ表現

$R\in {\mathrm{S}\mathrm{O}}_3\mapsto {\lambda }^{\prime }(R)\in \mathrm{P}\mathrm{U}(V_s)$

を用いる。

通常のユニタリ表現と違い、射影ユニタリ表現は次を満たす事が知られているテンプレート:Sfnテンプレート:Math theoremよってユニタリ表現の代わりに射影ユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。

本稿では、射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義の詳細は述べない。これは射影ユニタリ表現を使ってスピン演算子を記述している物理の教科書は少ない為である。しかしすでに述べたように、射影ユニタリ表現による解決方法は後述するもう一つの解決方法と本質的に同値なので、もう一つの解決方法を利用したスピン角運動量演算子の定義から射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義を導くことができる。

射影ユニタリ表現による解決方法は、物理的に意味を持たないフェーズで同一視した事を除けば、他のオブザーバブルと類似した形式でスピン角運動量演算子を記述できるため、後述するもう一つの解決と比べ、その物理的意味がわかりやすい事が利点である。

スピン群を用いた解決方法

今一つの解決は、テンプレート:Math の代わりに3次元スピン群 テンプレート:Math を用いるというものである。そこでまず、スピン群の定義と性質を紹介する。テンプレート:Mvar 次元スピン群とは以下の性質を満たす連結な行列群の事である。（このような性質を満たす連結行列群は同型を除いて1つしか存在しない事が知られている）：

可微分準同型写像 テンプレート:Math で、2:1 の全射となるものが存在する。　　　…テンプレート:EquationRef

ここでテンプレート:Mathはテンプレート:Mvar次元回転行列のなす群である。スピン角運動量の定義に必要なのは、次元が3の場合のスピン群テンプレート:Mathであり、テンプレート:Mathは2次元特殊ユニタリ変換群 テンプレート:Math と同型なことが知られている：

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\simeq \mathrm{S}\mathrm{U}(2)=\{U\in {\mathrm{M}}_{2,2}(𝐂):U^{*}U=I,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}U=1\}$

したがって以下、特に断りがない限り テンプレート:Math と テンプレート:Math を同一視する。

スピン群の定義より、回転行列 テンプレート:Mvar は何らかのスピン群の元 テンプレート:Mvar を用いて

$R={\mathrm{\Phi }}_3(U)$

と書くことができる。これはすなわち、回転行列 テンプレート:Mvar を直接扱う代わりに、スピン群の元 テンプレート:Mvar により回転が記述可能な事を意味する。そこで テンプレート:Math のユニタリ表現の代わりに テンプレート:Math のユニタリ表現を考える。テンプレート:Math のユニタリ表現と違い、テンプレート:Math のユニタリ表現は以下を満たすテンプレート:Sfn:テンプレート:Math theoremよって テンプレート:Math のユニタリ表現の代わりに テンプレート:Math のユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。詳細は後述する。

2つの解決方法の同値性

上述した2つの解決方法は、本質的に同値である。これは テンプレート:Math のユニタリ表現と テンプレート:Math の射影ユニタリ表現が自然に1対1対応する為である。具体的には、テンプレート:Math をスピン群の元 テンプレート:Mvar の テンプレート:Math 上のユニタリ表現とし、テンプレート:Math を回転行列 テンプレート:Mvar の テンプレート:Math 上の射影ユニタリ表現とすると、（適切に同型なものと置き換えれば）以下の図式が可換になる。ここで テンプレート:Math は同値類を取る写像。

$\begin{array}{ccc}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)& \stackrel{{\mathrm{\Phi }}_3}{⟶}& \mathrm{S}\mathrm{O}(3)\\ {\pi }_s\downarrow & \circlearrowleft & \gamma \downarrow \\ \mathrm{U}(V_s)& \stackrel{\text{proj}}{⟶}& \mathrm{P}\mathrm{U}(V_s)\end{array}$

スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記

以上の議論により、テンプレート:Mathを用いる事でスピン角運動量を定義できる事がわかった。そこで本節では、スピン角運動量の定義に必要となる

• スピノール空間テンプレート:Math
• テンプレート:EquationNoteで述べたテンプレート:Mathの既約ユニタリ表現${\pi }_s:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\to \mathrm{U}(2)$
• テンプレート:Mathからテンプレート:Mathへの写像${\mathrm{\Phi }}_3:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\to \mathrm{S}\mathrm{O}(3)$

などを具体的に書き表す。ただし本節ではテンプレート:Mathとテンプレート:Mathに関しては最も重要なテンプレート:Mathの場合を述べるに留める。それ以外のテンプレート:Mvarに関しては後の章を参照されたい。

スピンテンプレート:Mathの場合のテンプレート:Mathとテンプレート:Mathの具体的表記

テンプレート:Math を複素二次正方行列全体の集合とし、テンプレート:Mvar を単位行列とするとき、テンプレート:Mathは2次元ユニタリ変換全体の集合

$U(2)=\{U\in M_{2,2}(𝐂):U^{*}U=I\}$

の部分集合である。したがって

$V_{1/2}={𝐂}^2$ …(テンプレート:EquationRef)

と定義すると、包含写像

$\mathrm{i}\mathrm{d}:U\in \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\mapsto U\in \mathrm{U}(2)$

は テンプレート:Math の元の テンプレート:Math 上のユニタリ表現になっている。このユニタリ表現が、テンプレート:EquationNoteで述べた既約ユニタリ表現の テンプレート:Math の場合に相当している。すなわち、

${\pi }_{1/2}=\mathrm{i}\mathrm{d}$ …(テンプレート:EquationRef)

無限小変換の集合テンプレート:Mathの具体的表記

軌道角運動量を定義する際テンプレート:Mathの無限小変換の集合テンプレート:Mathが必要になったのと同様の理由で、スピン角運動量の定義にはテンプレート:Math の「無限小変換」全体の集合テンプレート:Mathを用いるので、本節ではその具体的形と基本的な性質を調べる。(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)より、

$𝗌𝗉𝗂𝗇(3)=𝗌𝗎(2)=\{\frac{\mathrm{d}U(t)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}:U(t)$は テンプレート:Math 上の可微分な曲線で、テンプレート:Math のとき単位行列となる$\}$.$=\{A\in M_{2,2}(𝐂):A^{*}=-A,\mathrm{t}\mathrm{r}A=0\}$　　...(テンプレート:EquationRef)

である。テンプレート:Math 上に内積

$⟨A,B⟩:=2\mathrm{t}\mathrm{r}(A{B}^{*})$　　　…テンプレート:EquationRef

を定義するとテンプレート:Sfnテンプレート:Efn、テンプレート:Math は実3次元分の自由度を持った計量ベクトル空間であるとみなせる。

次にテンプレート:Math の基底について述べる。パウリ行列 テンプレート:Math を

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{, }{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\text{, }{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ …(テンプレート:EquationRef)

により定義し、テンプレート:Mathの元テンプレート:Mathを

$X_1=-\frac{i}{2}{\sigma }_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right),X_2=-\frac{i}{2}{\sigma }_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),X_3=-\frac{i}{2}{\sigma }_3=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)$　　　....(テンプレート:EquationRef)

により定義するとテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn、(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)より次が成立することがわかる。

テンプレート:Mathはテンプレート:Math 上の正規直交基底であるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。　　　　...(テンプレート:EquationRef)

そこで3次元ベクトルテンプレート:Mathに対し、

$X_{𝐱}=x{X}_1+y{X}_2+z{X}_3=-\frac{i}{2}(x{\sigma }_1+y{\sigma }_2+z{\sigma }_3)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-iz& -y-ix\\ y-ix& iz\end{array}\right)$　　　　…(テンプレート:EquationRef)

と定義すると、写像

$𝐱\in {𝐑}^3\stackrel{\sim }{\to }{X}_{𝐱}\in 𝗌𝗉𝗂𝗇(3)$

により${𝐑}^3$ と テンプレート:Math を計量ベクトル空間として同一視できる。しかもこの同一視において、以下が成立するテンプレート:Sfn：

$X_{𝐱\times 𝐲}=[X_{𝐱},X_{𝐲}]$

ここで「テンプレート:Math」はクロス積であり、テンプレート:Mathは交換子積である。

テンプレート:Mathの元の具体的表記

テンプレート:Math は、テンプレート:Math の実数を用いて

$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)=\left\{\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\overline{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right)\right|\alpha ,\beta \in 𝐂,|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1\}$ …(テンプレート:EquationRef)

と書き表すことができる事が簡単な計算から従うテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

一方、テンプレート:Mathを単位ベクトルとし、パウリ行列を使って

${\sigma }_{𝐧}=x{\sigma }_1+y{\sigma }_2+z{\sigma }_3$　…(テンプレート:EquationRef)

と定義すると簡単な計算により、

${\sigma }_{𝐧}^2=I$

がわかる。よって行列テンプレート:Mvarに対する指数関数テンプレート:Mathを(テンプレート:EquationNote)式のように定義すると、テンプレート:Mathに対し、

$\exp (i\tau {\sigma }_{𝐧})=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}(i\tau {\sigma }_{𝐧}{)}^j$$=\sum _{j:\text{even}}\frac{(i\tau {)}^j}{j!}I+\sum _{j:\text{odd}}\frac{(i\tau {)}^j}{j!}{\sigma }_{𝐧}$$=\cos (\tau )I+i\sin (\tau ){\sigma }_{𝐧}$ ...(テンプレート:EquationRef)

が従うテンプレート:Sfn。

$\theta =2\tau$

とすると、(テンプレート:EquationNote)で述べたテンプレート:Mathの基底を用いてスピン群の元を次のように書き表す事ができる事が、(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)からわかる：

テンプレート:Mathの任意の元テンプレート:Mathは単位ベクトルテンプレート:Mathと

テンプレート:Math

を用いて

$U=\exp (\theta X_{𝐧})$

の形で表記可能である。しかもテンプレート:Mathであればこのように表記できるテンプレート:Math、テンプレート:Mathは一意である。 ...(テンプレート:EquationRef)

テンプレート:Math から テンプレート:Math への準同型写像 テンプレート:Math

前の節で述べたように、テンプレート:Math は3次元の計量ベクトル空間なので、テンプレート:Mathと同一視できる。テンプレート:Mathと$Y\in 𝗌𝗎(2)\simeq {𝐑}^3$に対し、テンプレート:Mathも$𝗌𝗎(2)\simeq {𝐑}^3$の元である事が簡単な計算からわかる。しかも線形写像テンプレート:Mathを

${\mathrm{\Phi }}_3(U):Y\in 𝗌𝗎(2)\simeq {𝐑}^3\mapsto UY{U}^{-1}\in 𝗌𝗎(2)\simeq {𝐑}^3$

と定義するとテンプレート:Mathが(テンプレート:EquationNote)で定義された内積と空間の向きを保つ事を簡単な計算で確かめられる。すなわちテンプレート:Mathは回転変換であるので、テンプレート:Mathである。

以上により、テンプレート:Math から テンプレート:Math への準同型写像

${\mathrm{\Phi }}_3:U\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\mapsto {\mathrm{\Phi }}_3(U)\in \mathrm{S}\mathrm{O}(3)$

が定義できた。この テンプレート:Mathの具体的表記は後の節で述べる。

テンプレート:Mathが誘導する写像テンプレート:Mathの定義とその具体的表記

(テンプレート:EquationNote)に従い、テンプレート:Mathが誘導する写像テンプレート:Math を、

$({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}:{\frac{\mathrm{d}U(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}\in 𝗌𝗉𝗂𝗇(3)=𝗌𝗎(2)\mapsto {\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_3(U(t))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}\in 𝗌𝗈(3)$…(テンプレート:EquationRef)

により定義する。このときテンプレート:Math は

$({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}(X_{𝐱})=F_{𝐱}$ …(テンプレート:EquationRef)

を満たすテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。成分で書けば

$\frac{1}{2}({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}\left(\begin{array}{cc}-iz& -y-ix\\ y-ix& iz\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -z& y\\ z& 0& -x\\ -y& x& 0\end{array}\right)$

である。特に

$({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}:𝗌𝗉𝗂𝗇(3)\stackrel{\sim }{\to }𝗌𝗎(2)$ …(テンプレート:EquationRef)

は同型写像である。テンプレート:Math proof

テンプレート:Mathの具体的表記

(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)より、

${\mathrm{\Phi }}_3(\exp (\theta X_{𝐱}))=\exp (({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}(\theta X_{𝐱}))=\exp (\theta F_{𝗑})$ …(テンプレート:EquationRef)

である。(テンプレート:EquationNote)より、テンプレート:Mathの元は何らかのテンプレート:Mathを用いて、テンプレート:Mathの形に書けるので、上式によりテンプレート:Mathの振る舞いを完全に記述可能である。

しかも

${\mathrm{\Phi }}_3(\exp ((\theta +2\pi )X_{𝐧}))=\exp ((\theta +2\pi )F_{𝐧})$$=\exp (\theta F_{𝐧})={\mathrm{\Phi }}_3(\exp (\theta X_{𝐧}))$

であるので、スピン群の定義(テンプレート:EquationNote)で述べた、テンプレート:Mathが2:1の写像であるという事実が確認できる。

テンプレート:Mathの元の成分表示(テンプレート:EquationNote)を用いると、テンプレート:Mathは下記のように表示できることも知られているテンプレート:Sfn：

${\mathrm{\Phi }}_3\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\overline{\beta }& -\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{R}\mathrm{e}({\alpha }^2-{\beta }^2)& \mathrm{I}\mathrm{m}({\alpha }^2+{\beta }^2)& -2\mathrm{R}\mathrm{e}(\alpha \beta )\\ -\mathrm{I}\mathrm{m}({\alpha }^2-{\beta }^2)& \mathrm{R}\mathrm{e}({\alpha }^2+{\beta }^2)& 2\mathrm{I}\mathrm{m}(\alpha \beta )\\ 2\mathrm{R}\mathrm{e}(\alpha \overline{\beta })& 2\mathrm{I}\mathrm{m}(\alpha \overline{\beta })& |\alpha {|}^2-|\beta {|}^2\end{array}\right)$

スピン角運動量演算子の定義と性質

スピン角運動量演算子の定義

以上の準備の元、スピン角運動量を定義する。

$\pi :\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\to \mathrm{U}(V_s)$

を テンプレート:Math の テンプレート:Math上の既約ユニタリ表現とする（そのようなユニタリ表現の存在性と（同型を除いた）一意性はテンプレート:EquationNoteで保証される）。なお テンプレート:Math に対するテンプレート:Math、テンプレート:Math は(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)にすでに記載した。それ以外のsに対するテンプレート:Math、テンプレート:Math は次節以降に後述する。

さらに

${\mathrm{\Phi }}_3:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\to \mathrm{S}\mathrm{O}(3)$

を(テンプレート:EquationNote)式で述べた、テンプレート:Math から テンプレート:Mathへの 2:1 写像とする（この写像の具体的な形は(テンプレート:EquationNote)式を参照）。これらの写像を図にすると以下のとおりである。ここで記号「$G{}^{\curvearrowright }V$」はGがベクトル空間V上の行列群である事を意味する（すなわちGはVに作用する）。テンプレート:Indentテンプレート:Math が誘導する写像 テンプレート:Mathを以下のように定義する：

${\pi }_{*}:{\frac{\mathrm{d}U(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}\in 𝗌𝗉𝗂𝗇(3)=𝗌𝗎(2)\mapsto {\frac{\mathrm{d}{\pi }_s(U(t))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}\in \{V_s$上のエルミート演算子$\}$ …(テンプレート:EquationRef)

同様に テンプレート:Math が誘導するテンプレート:Math を(テンプレート:EquationNote)式のように定義すると、テンプレート:Math は(テンプレート:EquationNote)式のように書け、(テンプレート:EquationNote)より

$({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}:𝗌𝗉𝗂𝗇(3)\stackrel{\sim }{\to }𝗌𝗈(3)$

である。

単位ベクトル テンプレート:Mathに対し無限小回転 テンプレート:Math を(テンプレート:EquationNote)式のように定義し、合成写像

$X_{𝒏}\in 𝗌𝗉𝗂𝗇(3)\stackrel{({\pi }_s{)}_{*}}{\to }\{V_s$上の歪エルミート演算子$\}\stackrel{\times i\hslash }{\to }\{V_s$上のエルミート演算子$\}$

によって定まるエルミート演算子

${\hat{S}}_{𝐧}=i\hslash \cdot ({\pi }_s{)}_{*}(X_{𝐧})$ …(テンプレート:EquationRef)

を考えると、(テンプレート:EquationNote)より、

${\hat{S}}_{𝐧}=i\hslash \cdot ({\pi }_s{)}_{*}(X_{𝐧})=i\hslash \cdot ({\pi }_s{)}_{*}(({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}{}^{-1}(F_{𝐧}))$

と書けるので、${\hat{S}}_{𝐧}$は3次元空間上の無限小回転テンプレート:Mathに対応する演算子とみなせる。

この${\hat{S}}_{𝐧}$を、テンプレート:Mvarを回転軸にもつスピン角運動量演算子と呼ぶテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Efn。

スピン角運動量演算子の性質

交換関係

テンプレート:Mvar軸(1,0,0)、テンプレート:Mvar軸(0,1,0)、テンプレート:Mvar軸(0,0,1)∈${𝐑}^3$を回転軸に持つスピン角運動量演算子を${\hat{S}}_x,{\hat{S}}_y,{\hat{S}}_z$とすると、

$\begin{array}{ccc}{\hat{S}}_x& =& i\hslash ({\pi }_s{)}_{*}(X_1)\\ {\hat{S}}_y& =& i\hslash ({\pi }_s{)}_{*}(X_2)\\ {\hat{S}}_z& =& i\hslash ({\pi }_s{)}_{*}(X_3)\end{array}$

となる。よって(テンプレート:EquationNote)より、軌道角運動量と同様、以下の交換関係が成り立つ：

$\begin{array}{c}[{\hat{S}}_x,{\hat{S}}_y]=(i\hslash {)}^2({\pi }_s{)}_{*}([X_1,X_2])=i\hslash \cdot i\hslash ({\pi }_s{)}_{*}(X_3)=i\hslash {\hat{S}}_z\\ [{\hat{S}}_y,{\hat{S}}_z]=(i\hslash {)}^2({\pi }_s{)}_{*}([X_2,X_3])=i\hslash \cdot i\hslash ({\pi }_s{)}_{*}(X_1)=i\hslash {\hat{S}}_x\\ [{\hat{S}}_z,{\hat{S}}_x]=(i\hslash {)}^2({\pi }_s{)}_{*}([X_3,X_1])=i\hslash \cdot i\hslash ({\pi }_s{)}_{*}(X_2)=i\hslash {\hat{S}}_y\end{array}$

回転軸の変更

次に回転軸の異なるスピン角運動量の関係を見る。テンプレート:Mvarを2つの単位ベクトルとし、テンプレート:Mathとテンプレート:Mathが回転行列テンプレート:Mathにより、

$𝐧=R𝐦$

で移り合っていたとする。写像テンプレート:Mathは２：１の全射であるので、

$R={\mathrm{\Phi }}_3(U)={\mathrm{\Phi }}_3(-U)$

を満たすテンプレート:Mathが存在する。

スピン角運動量演算子${\hat{S}}_{𝐧}$、${\hat{S}}_{𝐥}$はその定義より、テンプレート:Math上のユニタリ演算子であり、両者は

${\hat{S}}_{𝐧}={\pi }_s(U){\hat{S}}_{𝐦}{\pi }_s(U{)}^{-1}$

という関係で結ばれる。ここで右辺は${\hat{S}}_{𝐥}$とテンプレート:Mathの行列としての積である。テンプレート:Math proof

スピンテンプレート:Mathの場合の具体的表記

スピン量子数テンプレート:Mathがテンプレート:Mathである場合、スピノール空間は(テンプレート:EquationNote)より

$V_{1/2}={𝐂}^2$

であり、単位ベクトル テンプレート:Mathを回転軸に持つスピン角運動量演算子は、(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)より、

${\hat{S}}_{𝐧}=i\hslash \cdot ({\pi }_s{)}_{*}(X_{𝐧})=i\hslash \cdot \mathrm{i}\mathrm{d}(-\frac{i}{2}(x{\sigma }_1+y{\sigma }_2+z{\sigma }_3))=\frac{\hslash }{2}(x{\sigma }_1+y{\sigma }_2+z{\sigma }_3)$

である。よって特に、テンプレート:Indent${\hat{S}}_{𝐧}$はテンプレート:Mathによらず常に固有値

$\frac{\hslash }{2},-\frac{\hslash }{2}$

を持つ。

それぞれの規格化された固有ベクトルは、次のとおりとなる。

$\begin{array}{cccccc}& |s_{x,+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}& \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),& & |s_{x,-}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}& \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\\ & |s_{y,+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}& \left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right),& & |s_{y,-}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}& \left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right)\\ & |s_{z,+}⟩=& \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),& & |s_{z,-}⟩=& \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$

テンプレート:Mathのユニタリ表現と角運動量

本節では3次元スピン群テンプレート:Mathのユニタリ表現について詳細に述べ、これを土台として軌道角運動量、スピン角運動量、およびそれらの和である全角運動量の性質を調べる。

軌道角運動量と全角運動量のスピン群による表記

テンプレート:Mathを3次元空間の単位ベクトルするとき、テンプレート:Mathを回転軸に持つ一粒子の軌道角運動量はテンプレート:Mathのユニタリ表現テンプレート:Mathが誘導する写像テンプレート:Mathと同型写像$({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}:𝗌𝗉𝗂𝗇(3)\stackrel{\sim }{\to }𝗌𝗈(3)$を用いて

${\hat{L}}_{𝐧}=i\hslash {\lambda }_{*}(F_{𝗇})=i\hslash {\lambda }_{*}\circ ({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}(X_{𝗇})\in \{L^2({𝐑}^3)$上のユニタリ演算子$\}$

と表記できる事が(テンプレート:EquationNote)と(テンプレート:EquationNote)から従う。ここで「$\circ$」は関数の合成である。一粒子のスピン角運動量も(テンプレート:EquationNote)から

${\hat{S}}_{𝐧}=i\hslash \cdot ({\pi }_s{)}_{*}(X_{𝐧})\in \{V_s$上の歪エルミート演算子$\}$

と定義されていた。

テンプレート:Mathを回転軸に持つ一粒子の全角運動量演算子${\hat{J}}_{𝐧}$を

${\hat{J}}_{𝐧}={\hat{L}}_{𝐧}\otimes \mathrm{i}\mathrm{d}+\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes {\hat{S}}_{𝐧}\in \{L^2({𝐑}^3)\otimes V_s$上の歪エルミート演算子$\}$

と定義すると、

${\hat{J}}_{𝐧}=i\hslash ({\lambda }_{*}\circ ({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}\otimes \mathrm{i}\mathrm{d}+\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes ({\pi }_s{)}_{*})(X_{𝗇})$

と表記できる。$({\lambda }_{*}\circ ({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}\otimes \mathrm{i}\mathrm{d}+\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes ({\pi }_s{)}_{*})$は

$\rho :\exp (A)\in 𝖲𝗉𝗂𝗇(3)\to \exp (({\lambda }_{*}\circ ({\mathrm{\Phi }}_3{)}_{*}\otimes \mathrm{i}\mathrm{d}+\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes ({\pi }_s{)}_{*})(A))\in \{L^2({𝐑}^3)\otimes V_s$上のユニタリ演算子$\}$

が誘導する写像であるので、一粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量のいずれも

$i\hslash \times$(テンプレート:Mathのユニタリ表現が誘導する写像)(テンプレート:Math) 　　…(テンプレート:EquationRef)

という形で書けている事がわかる。

複数粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量は一粒子のものの和として表記できるので、やはり(テンプレート:EquationNote)の形で表記できる事がわかる。

よってテンプレート:Mathのユニタリ表現の具体的な形を特定する事ができれば、（一粒子もしくは複数粒子に対する）軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量を具体的に書き下す事ができる。そこで本設では、テンプレート:Mathのユニタリ表現を具体的な形で書き下し、テンプレート:Mathのユニタリ表現を使って(テンプレート:EquationNote)の形で表記できる演算子の性質を調べる。

テンプレート:Mathのユニタリ表現

テンプレート:Mathを整数もしくは半整数とし、テンプレート:Mathをテンプレート:Math次元の複素計量ベクトル空間とする。具体的には

• 一粒子のスピン角運動量を考える場合は、テンプレート:Mathで、テンプレート:Mathはスピノール空間テンプレート:Math
• 一粒子の軌道角運動量を考える場合は、テンプレート:Mathはテンプレート:Mathのテンプレート:Math次元部分空間
• 一粒子の全角運動量を考える場合は、テンプレート:Mathは$L^2({𝐑}^3)\otimes V_s$のテンプレート:Math次元部分空間

を想定している。複数粒子の場合も同様である。テンプレート:EquationNoteより、テンプレート:Mathのテンプレート:Math上での既約ユニタリ表現が同型を除いて一意に存在するので、この既約ユニタリ表現を

$D^u:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\to \mathrm{U}(W_u)$

と表記する。(テンプレート:EquationNote)、(テンプレート:EquationNote)ですでに述べたように、

$W_{1/2}={𝐂}^2$

$D^{1/2}=\mathrm{i}\mathrm{d}$

である。

一般のテンプレート:Mathに対するテンプレート:Mathとテンプレート:Mathはテンプレート:Mathとテンプレート:Mathから構成できるテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mathの構成

対称テンソル積

テンプレート:Mathを構成する準備として、対称テンソル積を定義する。テンプレート:Mathのテンプレート:Math個のコピーのテンソル積

$W_{1/2}{}^{\otimes 2u}=\underset{2u}{\underbrace{W_{1/2}\otimes \cdots \otimes W_{1/2}}}$

を考え、$W_{1/2}{}^{\otimes 2u}$の元$\psi =\sum _j{\varphi }_{j,1}\otimes \cdots \otimes {\varphi }_{j,2u}$に対し、テンプレート:Mathの対称化を

$𝒮(\psi ):=\sum _j{\varphi }_{j,1}\odot \cdots \odot {\varphi }_{j,2u}$　$:=\frac{1}{(2u)!}\sum _j\sum _{\sigma \in {𝔖}_{2u}}{\varphi }_{j,{\sigma }_1}\otimes \cdots \otimes {\varphi }_{j,{\sigma }_{2u}}$…(テンプレート:EquationRef)

により定義する。ここで${𝔖}_{2u}$は置換群である。すなわち$𝒮(\psi )$は各テンプレート:Mvarに対し、${\varphi }_1\otimes \cdots \otimes {\varphi }_{2^{″}{u}^{″}}$の添字を入れ替えたもの全ての和をテンプレート:Mathで割ったものである。（このように定義してもwell-definedである）。対称化したテンソルを対称テンソルと呼び、対称テンソル全体なす部分ベクトル空間を

$W_{1/2}{}^{\odot 2u}$

と表記する。テンプレート:Mathをテンプレート:Mathの基底とし、

$E_j=\underset{j}{\underbrace{{𝐞}_0\odot \cdots \odot {𝐞}_0}}\odot \underset{2u-j}{\underbrace{{𝐞}_1\odot \cdots \odot {𝐞}_1}}$

と定義すると、テンプレート:Mathは明らかに$W_{1/2}{}^{\odot 2u}$の基底となる。したがって$W_{1/2}{}^{\odot 2u}$はテンプレート:Math次元である。

定義

テンプレート:Mathを

$W_u=W_{1/2}{}^{\odot 2u}$　　　…(テンプレート:EquationRef)

と定義するテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mathの構成

テンプレート:Mathに対し、

$(D^{1/2}{)}^{\otimes 2u}(U):W_{1/2}{}^{\otimes 2u}\to W_{1/2}{}^{\otimes 2u}$

を

$\sum _j{\varphi }_{j,1}\otimes \cdots \otimes {\varphi }_{j,2u}$$\mapsto \sum _j{D}^{1/2}(U)({\varphi }_{j,1})\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U)({\varphi }_{j,2u})$

により定義すると、$(D^{1/2}{)}^{\otimes 2u}(U)$は$W_{1/2}{}^{\otimes 2u}$上の内積を保つ線形写像である。明らかに$(D^{1/2}{)}^{\otimes 2u}(U)$は対称テンソルを対称テンソルに移すので、$(D^{1/2}{)}^{\otimes 2u}(U)$の$W_u=W_{1/2}{}^{\odot 2u}$への制限写像を、

$D^u(U)=(D^{1/2}{)}^{\otimes 2u}(U)(U){|}_{W_u}$ …(テンプレート:EquationRef)

と定義する。

$D^u(U)$は内積を保つので、これは

$D^u(U)\in 𝖴(W_u)$

を意味する。この写像が、求めるべき既約ユニタリ表現であるテンプレート:Sfn。

オブザーバブルとその性質

本節では、前節で定義したテンプレート:Mathの既約ユニタリ表現テンプレート:Mathを用いて、オブザーバブルを定義し、そのオブザーバブルの性質を調べる。

オブザーバブル

$D^u:𝖲𝗉𝗂𝗇(3)=𝖲𝖴(2)\to W_s$

が誘導する写像

$(D^u{)}_{*}:𝗌𝗉𝗂𝗇(3)=𝗌𝗎(2)\to W_u,$ ${\frac{\mathrm{d}U(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}\mapsto {\frac{\mathrm{d}{D}^u(U(t))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}$

と3次元空間の単位ベクトル$𝐧\in 𝗌𝗉𝗂𝗇(3)\simeq {𝐑}^3$を用いてオブザーバブル

${\hat{T}}_{𝐧}=i\hslash (D^u{)}_{*}(X_{𝐧})$

を定義できる。ここでテンプレート:Mvarは虚数単位であり、テンプレート:Mathは(テンプレート:EquationNote)に定義されたものである。具体的には

• テンプレート:Mathがスピノール空間テンプレート:Mathのときはテンプレート:Mathで、${\hat{T}}_{𝐧}$は一粒子のスピン角運動量演算子${\hat{S}}_{𝐧}$
• テンプレート:Mathがテンプレート:Mathのテンプレート:Math次元部分空間のときは、${\hat{T}}_{𝐧}$は一粒子の軌道角運動量演算子${\hat{L}}_{𝐧}$
• テンプレート:Mathは$L^2({𝐑}^3)\otimes V_t$のテンプレート:Math次元部分空間のときは、${\hat{T}}_{𝐧}$は一粒子の全角運動量演算子${\hat{J}}_{𝐧}$

である。

テンプレート:Mathを具体的に書き表す。テンプレート:Mathを

$X_{𝐧}={\frac{\mathrm{d}U(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}$

を満たすように取ると、ライプニッツルールと(テンプレート:EquationNote)より

$(D^u{)}_{*}(X_{𝐧})=$${\frac{\mathrm{d}{D}^u(U(t))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{D}^{1/2}\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U(t))|}_{t=0}$$=\sum _{j=1}^{2u}{D}^{1/2}(U(t)){|}_{t=0}\otimes \cdots \otimes \stackrel{\stackrel{j}{\vee }}{{\frac{\mathrm{d}{D}^{1/2}(U(t))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}}\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U(t)){|}_{t=0}$$=\sum _{j=1}^{2u}I\otimes \cdots \otimes \stackrel{\stackrel{j}{\vee }}{(D^{1/2}{)}_{*}(X_{𝐧})}\otimes \cdots \otimes I$

である。ここでテンプレート:Mathは常に単位行列テンプレート:Mathを返す写像である。

固有状態

スピンテンプレート:Mathのときと同様の議論により、オブザーバブルテンプレート:Mathは２つの固有値

$\frac{\hslash }{2},-\frac{\hslash }{2}$

を持つので、これらに対応する固有状態をそれぞれ$e_{𝐧}^{+}$、$e_{𝐧}^{-}$とし、テンプレート:Mathに対し、

$E_{𝐧,k}=c(k)\underset{u+k}{\underbrace{e_{𝐧}^{+}\cdot \cdots \cdot e_{𝐧}^{+}}}\cdot \underset{u-k}{\underbrace{e_{𝐧}^{-}\cdot \cdots \cdot e_{𝐧}^{-}}}=c(k)𝒮(\underset{u+k}{\underbrace{e_{𝐧}^{+}\otimes \cdots \otimes e_{𝐧}^{+}}}\otimes \underset{u-k}{\underbrace{e_{𝐧}^{-}\otimes \cdots \otimes e_{𝐧}^{-}}})$$\in W_{1/2}{}^{\odot 2u}=W_u$ …(テンプレート:EquationRef)

とするテンプレート:Sfn。

ここでテンプレート:Mathは正規化定数テンプレート:Sfn

$c(k)=\sqrt{\frac{(2u)!}{(u+k)!(u-k)!}}$ …(テンプレート:EquationRef)

すると、

${\hat{T}}_{𝐧}(E_{𝐧,k})=i\hslash (D^u{)}_{*}(X_{𝐧})(E_{𝐧,k})=c(k)\cdot 𝒮(\sum _{j=1}^{2u}(I\otimes \cdots \otimes \stackrel{\stackrel{j}{\vee }}{(D^{1/2}{)}_{*}(X_{𝐧})}\otimes \cdots \otimes I)(e_{𝐧}^{+}\otimes \cdots \otimes e_{𝐧}^{+}\otimes e_{𝐧}^{-}\otimes \cdots \otimes e_{𝐧}^{-}))$$=\hslash c(k)\cdot 𝒮(k\cdot e_{𝐧}^{+}\otimes \cdots \otimes e_{𝐧}^{+}\otimes e_{𝐧}^{-}\otimes \cdots \otimes e_{𝐧}^{-})=k\hslash \cdot E_{𝐧,k}$

なので、テンプレート:Mathは固有値$k\hslash$に対応する固有状態である。

昇降演算子

テンプレート:Mainテンプレート:Mathがテンプレート:Mvar軸、テンプレート:Mvar軸、テンプレート:Mvar軸であるときの${\hat{T}}_{𝐧}$を${\hat{T}}_x$、${\hat{T}}_y$、${\hat{T}}_z$とし、

${\hat{T}}_{+}:={\hat{T}}_x+i{\hat{T}}_y$

${\hat{T}}_{-}:={\hat{T}}_x-i{\hat{T}}_y$

とするとテンプレート:Sfn、

${\hat{T}}_{\pm }(E_{z,k})$$=\hslash \sqrt{u(u+1)-k(k+1)}\cdot E_{z,k\pm 1}$

であるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math proof

クレブシュ–ゴルダン係数

テンプレート:Mainテンプレート:Math、テンプレート:Mathをそれぞれテンプレート:Math次元、テンプレート:Math次元の複素計量ベクトル空間とし、

$D^u:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\to \mathrm{U}(W_u)$

$D^v:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\to \mathrm{U}(W_v)$

を既約ユニタリ表現としても

$D^u\otimes D^v:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\to \mathrm{U}(W_u)\otimes \mathrm{U}(W_v)\subset \mathrm{U}(W_u\otimes W_v)$

は既約ユニタリ表現になるとは限らない。しかし適切に基底を取り替えれば、以下の事実が成り立つ事が知られている：

$W_u\otimes W_v\simeq \underset{w=|u-v|}{\overset{u+v}{⨁}}{W}_w$

$D^u\otimes D^v\simeq \underset{w=|u-v|}{\overset{u+v}{⨁}}{D}^w$

上式をクレブシュ–ゴルダン分解というテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

上式左辺の基底は、

$|u,j_1⟩\otimes |v,j_2⟩$

の形式で記述できる。ここで$|u,j_1⟩$は固有値テンプレート:Mathに対応するテンプレート:Mathの固有状態である。一方右辺の基底は

$|u,v,w,j⟩$

の形式で記述できる。ここで$|u,v,w,j⟩$は$W_u\otimes W_v$における、固有値テンプレート:Mathに対応するテンプレート:Mathの固有状態である。両者は基底変換で結ばれるので、何らかの係数テンプレート:Mathを用いて

$|u,v,w,j⟩=\sum _{w=|u-v|}^{u+v}c(u,v,w,j_1,j_2,j)|u,j_1⟩\otimes |v,j_2⟩$

と書ける。テンプレート:Mathをクレブシュ–ゴルダン係数というテンプレート:Sfn。

関連項目

• 角運動量
• 軌道角運動量
• スピン軌道相互作用
• スピントロニクス
• シュテルン＝ゲルラッハの実験

参考文献

書籍

• [LL] テンプレート:Cite book
• [H13] テンプレート:Cite book
• [S93] テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

PDF

• [A07] テンプレート:Cite web
• [S12] テンプレート:Cite web
• [W16] テンプレート:Cite web

雑誌論文

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal

外部リンク

• テンプレート:PDFlink テンプレート:Ja icon
• テンプレート:PDFlink テンプレート:Ja icon
• テンプレート:PDFlink テンプレート:Ja icon パウリのスピン行列の導出
• テンプレート:PDFlink テンプレート:Ja icon スピノル表記・パウリのスピン行列の導出
• テンプレート:PDFlink テンプレート:Ja icon スピンと対称操作