虚数単位

複素数平面において、虚数単位 テンプレート:Mvar は、原点中心の90°回転の作用を表し、2乗すると テンプレート:Math になる。

虚数単位（きょすうたんい、テンプレート:Lang-en-short）は、2乗して テンプレート:Math になる数である:

$i^2=-1$

虚数単位 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の平方根の一つである。

テンプレート:Mvar は実数でない。実数単位 テンプレート:Math, 虚数単位 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mathbf 上線型独立である。

実数体に虚数単位 テンプレート:Mvar を添加すると、四則演算ができる数の体系が得られる。この拡大体の元を複素数という。

虚数単位 テンプレート:Mvar は実数でないため、感覚的には存在しない数ととらえられがちであるが、実数 テンプレート:Mathbf の直積集合の元として、実数の対（ハミルトンの定義）、行列表現、多項式環の剰余環などにより実現できる。 テンプレート:See also 複素数平面では、虚数単位 テンプレート:Mvar は、直交座標表示すると テンプレート:Math に当たる数である。

複素数に テンプレート:Mvar を（左から）作用させると、複素数平面上で原点中心の テンプレート:Math 回転になる。特に、虚数単位 テンプレート:Mvar は、複素数平面上で実数単位 テンプレート:Math を原点中心に テンプレート:Math 回転させたものである。

虚数単位を テンプレート:Mvar で表したのはオイラーで、1770年頃である。テンプレート:Mvar はラテン語の imaginarius の頭文字から採られている。

なお、文字 テンプレート:Mvar が虚数単位以外の意味（電流など）として使われる場合に、重複を避けるべくテンプレート:Mvar など別の文字で虚数単位を表すことがある。

積の交換法則などが成り立たないことを許容すると、相異なる3個以上の虚数単位からなる数の体系を考えることができる。3個の虚数単位（四元数）の場合は $i,j,k$, 7個以上の虚数単位の組には $i_1,i_2,\cdots$ といったように一つずつ添字を付けて表すことが多い。

定義

虚数単位 テンプレート:Mvar とは、二次方程式 テンプレート:Math2 の解の一つのことである：

$i^2=-1$

二次方程式 テンプレート:Math2 の解は、テンプレート:Math2 より、テンプレート:Math。ゆえに、虚数単位の値の指定は、互いに反数である2つの値の違いでしかない。

虚数単位 テンプレート:Mvar は [[-1|テンプレート:Math]] の平方根の一つであり、1の原始4乗根でもある。

虚数単位 テンプレート:Mvar は実数でない。実数単位 テンプレート:Math, 虚数単位 テンプレート:Mvar は実数 テンプレート:Mathbf 上線型独立である。

テンプレート:Math 以外の負の数の平方根の値は、虚数単位 テンプレート:Mvar を用いて、次により指定する：

テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math

実数体に虚数単位 テンプレート:Mvar を添加して得られる拡大体の元（要素）を複素数という。特に実数でない複素数を虚数という。

虚数単位 テンプレート:Mvar の導入は、実係数の三次方程式が相異なる 3 個の実数解を持つ場合、係数の加減乗除と実冪根では解が表せず（還元不能）、負の数の平方根を取ることが必要になることが分かる過程で行われていった。

複素数全体 テンプレート:Mathbf に、さらに複素数でない新たな虚数単位 テンプレート:Mvar を添加した体の元を四元数という。このとき、テンプレート:Math とおくと、テンプレート:Mvar も虚数単位である。すなわち テンプレート:Math を満たす。この テンプレート:Math2 をそのまま虚数単位とすることもできるが、複素数体の場合に テンプレート:Math を テンプレート:Mvar と置き直しても同じ構造であるのと同じように、四元数体 H においても、虚数単位を取り直すことができる。すなわち、Rテンプレート:Sup の正規直交基底を一組選び、

$f:{ℝ}^3\to ℍ((a,b,c)\mapsto ai+bj+ck)$

によって写した像を新たに テンプレート:Math2 とおいて虚数単位としてもよい。基底を左手系に取ると テンプレート:Math2 となってしまうので、数学的な必然性はないが、慣習として右手系が選ばれる。

つまり虚数単位は、複素数・四元数の範囲を、実数部分と虚数部分に分けた時の、後者の方の基本単位である。八元数・十六元数はさらに多くの虚数単位を持つ。

負の数の平方根を用いない表現

虚数は、16世紀のイタリアで、三次方程式を解く過程で発見された。

1637年、ルネ・デカルトは、複素数の虚部を "テンプレート:Lang-fr-short"（「想像上の数」）と名付けた。負の数でさえあまり認められていない時代に、実数直線上にない数の導入には懐疑的であった。 テンプレート:Main

1770年頃、オイラーは虚数単位を テンプレート:Mvar と表した。テンプレート:Mvar はラテン語の imaginarius の頭文字から採られている。

直積集合、剰余環などの概念により、負の数の平方根を用いない複素数の構成ができる。

ハミルトンの定義

テンプレート:Main 実数体 テンプレート:Mathbf の直積集合 テンプレート:Math に和、積を

テンプレート:Math2

テンプレート:Math2

で入れると、テンプレート:Math は複素数 テンプレート:Math に対応する。この対応で、虚数単位 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math である。

四元数 は テンプレート:Math の元に対応し、実数単位 テンプレート:Math, 3個の虚数単位 テンプレート:Math2 は テンプレート:Math の正規直交基底に対応する。

多項式環からの構成

実数体 テンプレート:Mathbf 上の多項式環 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math で割った剰余環 テンプレート:Math は、複素数体 テンプレート:Mathbf と体同型である。

この対応で、虚数単位は同値類 テンプレート:Math である。

行列表現

テンプレート:Main 複素数を テンプレート:Mathbf 上の作用と見ると、複素数は テンプレート:Math 上での一次変換に対応し、その一次変換の表現行列に対応する。この対応より、虚数単位は実二次正方行列

$J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

に対応する。このとき テンプレート:Math2（テンプレート:Mvar は 2 次単位行列）である。

四元数についても同様に、四元数体 テンプレート:Mathbf における積を テンプレート:Math に対して引き起こされる一次変換と見なすことにより

$J_1=i{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right),J_2=i{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),J_3=i{\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)$

という三つの虚数単位の行列表現を考えることができる。ここで ${\sigma }_k(k=1,2,3)$ はパウリ行列である。また、テンプレート:Math と見なすのでなく テンプレート:Math と見なせば、実テンプレート:Math次正方行列として表現することもできる。詳しくは四元数の項を参照されたい。

行列の積は結合的であるので、八元数や十六元数は（結合法則を満たさないため）行列表現できない。

虚数単位の演算

テンプレート:Mvar を整数、テンプレート:Mvar をネイピア数とする。

虚数単位の累乗

$i^n=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }n\equiv 0(\mathrm{mod}4)\\ i& \text{if }n\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ -1& \text{if }n\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ -i& \text{if }n\equiv 3(\mathrm{mod}4)\end{array}$

虚数単位 テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mathbf 上の作用としては複素数平面上での原点中心の テンプレート:Math 回転に当たる。

虚数単位の虚数単位乗

$i^i=e^{-(\frac{1}{2}+2n)\pi }$

主値での値は テンプレート:Math（テンプレート:OEIS）

1の虚数単位乗

$1^i=e^{-2n\pi }$

虚数単位の自然対数

$\log i=(\frac{1}{2}+2n)\pi i$

虚数単位の逆数

$\frac{1}{i}=-i$

虚数単位の平方根(1の原始8乗根)

テンプレート:Mvar の平方根 テンプレート:Math の複素数平面上における点

$\sqrt{i}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)=\pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$

虚数単位の立方根(1の原始12乗根)

テンプレート:Mvar の立方根テンプレート:Mvarの立方根 テンプレート:Math の複素数平面上における点

$\sqrt[3]{i}=-i,\frac{\pm \sqrt{3}+i}{2}$

一般化

ここまで複素数の虚数単位について述べてきた。複素数を一般化した二元数、分解型複素数や二重数についても、 テンプレート:Math や テンプレート:Math を満たす（実数でない）要素を虚数単位ということもある。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 数学定数
• 冪根
• iのi乗
• オイラーの等式