冪根

テンプレート:Expand English テンプレート:Calculation results 冪根^{[注 1]}（べきこん）、または累乗根（るいじょうこん）とは、冪乗（累乗）を取る操作とは逆の操作で、冪乗すると与えられた数になる数のことである。数テンプレート:Mvar の冪根はしばしば $\sqrt[n]{x}$ と書き表される。冪根 $\sqrt[n]{x}$ は以下の関係を満たす。

{(\sqrt[n]{x})}^{n} = x .

つまり、冪根 $\sqrt[n]{x}$ のテンプレート:Mvar乗はテンプレート:Mvar に等しく、この意味で $\sqrt[n]{x}$ を テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar乗根 テンプレート:En と呼ぶ。テンプレート:Mvar は指数テンプレート:En と呼ばれ、記号 $\sqrt{}$ は根号テンプレート:En と呼ばれる。また、根号の中に書かれた数テンプレート:Mvar は時に被開平数 テンプレート:En と呼ばれる。

根号を用いて冪根を表す場合、それは非負の値を持つ一価関数として扱われる。このような冪根を主要根 テンプレート:En と呼び、特にテンプレート:Math乗根の主要根を主平方根 テンプレート:En と呼ぶ。

数テンプレート:Mvar の主要根 $\sqrt[n]{x}$ は指数関数と結び付けられ、

\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} = \exp (\frac{1}{n} \ln x)

という関係が成り立つ^{[注 2]}。

定義

テンプレート:Mvar をテンプレート:Math 以上の自然数とする。数テンプレート:Mvar に対して、代数方程式テンプレート:Math の解テンプレート:Mvar を、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar乗根 テンプレート:En という。また、テンプレート:Mvar を特に固定せずに冪根、累乗根と総称する。特に、テンプレート:Math乗根、テンプレート:Math乗根は、それぞれ平方根テンプレート:En、立方根テンプレート:En ともいう。

どのような数の範囲で冪根を考えているかは意識しておかねばならない。考えている数の範囲によっては、テンプレート:Mvar 乗根が複数存在する場合もあるし、1つも存在しない場合もある。複素数体のような代数的閉体では、テンプレート:Mvar乗根は重複度も込めてちょうどテンプレート:Mvar個存在する。初等的には実数の特に正数の冪根を扱うことが多い。正数のテンプレート:Mvar乗根は、テンプレート:Mvar が偶数ならば正と負の 2つが存在し、テンプレート:Mvar が奇数ならば正のものがただ1つ存在する。負数のテンプレート:Mvar乗根は、奇数乗根は実数でも定義できるが、偶数乗根は実数では定義できない。

開法

テンプレート:Main 正の実数の冪根の近似値を求めることやその算法を、開法（あるいは開方、テンプレート:En）という。特に、平方根や立方根を求めることを、それぞれ開平、開立という。

複素数の冪根

複素数テンプレート:Mvar に対して、その冪根は極形式を用いれば簡単に表すことができる。テンプレート:Math2 のときはその冪根はテンプレート:Math のみであると定め、以下テンプレート:Math2 として、 $a = r e^{i θ} (r > 0, 0 \leq θ < 2 π)$ をその極形式表示とする。

まず、テンプレート:Math2 に対してテンプレート:Math2 を満たすテンプレート:Math2 はただ一つ存在する。それは

\sqrt[n]{r}

である。このとき、テンプレート:Mvar個の複素数

α_{k} = \sqrt[n]{r} \exp (\frac{θ + 2 k π}{n} i), (k = 0, 1, \dots, n - 1),

はすべて代数方程式テンプレート:Math2 を満たす。代数学の基本定理より、複素数係数のテンプレート:Mvar次方程式の解はテンプレート:Mvar個であるから、テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar乗根は以上ですべて得られている。

ここで注意すべき点は、根号テンプレート:En $\sqrt[n]{}$ は元となる複素数テンプレート:Mvar の絶対値テンプレート:Math2 以外に対しては一意な意味を持たないことである。つまり、一般の複素数テンプレート:Mvar に対して $\sqrt[n]{a}$ などと書いても、それだけではこの記号に何の意味も発生しないということである。もう少し別な言い方をすれば、根号関数 $\sqrt[n]{} : ℝ_{+} \to ℝ$ （ここで $ℝ_{+}$ は正の実数全体）は定義可能だが、 $\sqrt[n]{} : ℂ_{+} \to ℂ$ を定める方法は無条件には存在しないというような形で述べることもできる。

しかしながら、例えば二次方程式テンプレート:Math2 の解の公式に現れる根号付きの数 $\sqrt{D} (D = b^{2} - 4 a c)$ を、その中に現れる複素数テンプレート:Mvar の平方根の任意に選んだ 1 つと解釈することにすれば、もう一方の解は $- \sqrt{D}$ に対応し、根の公式はそのまま任意の二次方程式に通用する。このことは 2つの冪根同士は [[1の冪根|テンプレート:Math の原始冪根]]を掛ける違いしか持たないことに起因する。そういった背景により、「どれなのかは論理的に区別して指定できない」のだけれども、ある規約の下で根号 $\sqrt[n]{}$ を用いることは少なくない。虚数単位である $\sqrt{- 1}$ はその最も簡単な例である。

数の範囲を実数に限るのであれば、別な意味づけをすることもある。テンプレート:Mvar が奇数のときは、負の実数テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar乗根は実数の範囲にただ1つだけ存在することから、これを $\sqrt[n]{x}$ と記すのである（立方根を参照）。

有限体

有限体テンプレート:Mvar について、その位数は素数テンプレート:Mvar の冪テンプレート:Math であるとする。このとき、有限体テンプレート:Mvar の零元テンプレート:Math 以外の元は単位元テンプレート:Math のテンプレート:Math 乗根として得られる。すなわち

F ∖ {0} = {x \in \overline{𝔽_{p}} ∣ x^{q - 1} - 1 = 0}

が成り立つ。ここで $\overline{𝔽_{p}}$ は位数テンプレート:Mvar の有限体 $𝔽_{p}$ の代数的閉包である。あるいは

F = {x \in \overline{𝔽_{p}} ∣ x^{q} - x = 0}

と記しても同じことである。

冪根拡大

テンプレート:Mvar を体とし、テンプレート:Math の任意の 1 つの冪根テンプレート:Math を添加する拡大テンプレート:Math をテンプレート:Mvar の冪根拡大 テンプレート:En という。

もしテンプレート:Mvar が [[1の冪根|テンプレート:Math の原始テンプレート:Mvar 乗根]]を含むなら拡大体テンプレート:Math は二項多項式テンプレート:Math の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。これをクンマー拡大 テンプレート:En と呼ぶ。クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数はテンプレート:Mvar の約数である。逆にテンプレート:Mvar の約数テンプレート:Mvar に対し、拡大次数がテンプレート:Mvar であるような巡回拡大テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar がテンプレート:Math の原始テンプレート:Mvar 乗根を含むという仮定の下で、クンマー拡大である。このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。

脚注

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外部リンク

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[注 1]

[注 2]

冪根

目次

定義

開法

複素数の冪根

有限体

冪根拡大

脚注

関連項目

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