開平法

テンプレート:出典の明記 開平法（かいへいほう、テンプレート:Lang-en-short）とは、正の数の平方根の小数表示を求めていくアルゴリズムである。開平や開平算、開平計算とも。平方根を求めることを開平するという。開法の一種。

開平法の原理

与えられた正の数の正の平方根の小数表示を求めるために、ここではまず漸化式を立てて、一般的な求値法を求める。そして、求値の明確化のために、開平法と呼ばれる筆算の原理を導出する。以下は十進法表示の場合だが、他の位取り記数法でも同様な計算で求められる。ここで述べるのと基本的には同じ方法で、立方根を求める開立法や、もっと一般にテンプレート:Mvar 乗根を求めることも可能である。テンプレート:For2

問題の定式化

与えられたテンプレート:Math に対し、テンプレート:Math の位テンプレート:Math を求める：

\begin{matrix} \sqrt{x} & = \sum_{k \leq n} 1 0^{k} a_{k} \\ = 1 0^{n} a_{n} + 1 0^{n - 1} a_{n - 1} + \dots + 1 0^{2} a_{2} + 10 a_{1} + a_{0} + 1 0^{- 1} a_{- 1} + 1 0^{- 2} a_{- 2} + \dots \end{matrix}

テンプレート:Mvar の首位をテンプレート:Mvar とする。つまり、テンプレート:Mvar はテンプレート:Math を満たす最小のテンプレート:Mvar とする。また便宜上テンプレート:Math テンプレート:Math とする。

テンプレート:Math のテンプレート:Math の位より上（かみ）の位テンプレート:Mvar は分かっているとし、テンプレート:Math の位テンプレート:Mvar を求めるとする。すなわち

p_{m} = \sum_{k = m + 1}^{n} 1 0^{k - m - 1} a_{k} = 1 0^{n - m - 1} a_{n} + 1 0^{n - m - 2} a_{n - 1} + \dots + 10 a_{m + 2} + a_{m + 1}

とおく。

テンプレート:Mvar はテンプレート:Math を満たす最大のテンプレート:Mvar、すなわち

テンプレート:Math … (1)

を満たす最大のテンプレート:Mvar である。これを見つける。

テンプレート:Mvar の値はテンプレート:Math からテンプレート:Math までの 10 通りなので、順に試していけばテンプレート:Mvar は求まる。

テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math より

	テンプレート:Mvar
	テンプレート:Math
	テンプレート:Math
	テンプレート:Underline ↓ ↓
	テンプレート:Mvar テンプレート:Mvar テンプレート:Math
	テンプレート:Underline
	テンプレート:Math テンプレート:Math

テンプレート:Mvar	テンプレート:Math	テンプレート:Mvar	テンプレート:Mvar	テンプレート:Mvar	テンプレート:Mvar
3	05	5	0	4	2
2	63	163	4	4	3
1	07	3407	46	129	7
0	38	13838	474	3269	2
−1	13	435413	4744	9484	9
−2	20	837220	47458	427041	1
−3	00	36263900	474582	474581	7
−4	00	304311100	4745834	284750076	6
−5	00	1956102400	47458352	1898334096	4
︙	︙	︙	︙	︙	︙

	テンプレート:Math
	テンプレート:Math テンプレート:Math
	積がテンプレート:Math以下の最大値→テンプレート:Underline←左の筆算の積
	和→テンプレート:Math テンプレート:Math←差

	テンプレート:Math テンプレート:Math
	テンプレート:Math テンプレート:Math
	テンプレート:Underlineブロックを下ろす
	テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math
	積がテンプレート:Math以下の最大値→テンプレート:Underline←左の筆算の積
	和→テンプレート:Math テンプレート:Math←差

テンプレート:そろばん	平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による）
テンプレート:そろばん	最後の区分された数テンプレート:Math に含まれている平方根テンプレート:Math を求めて、初根テンプレート:Math を置き、初根テンプレート:Math のテンプレート:Math 乗 (テンプレート:Math) をテンプレート:Math から引く。
テンプレート:そろばん	初根テンプレート:Math のテンプレート:Math 倍のテンプレート:Math を、左に置き、そのテンプレート:Math で残りの平方を割って、次根テンプレート:Math を初根の隣りに置く。
テンプレート:そろばん	次根テンプレート:Math のテンプレート:Math 乗 (テンプレート:Math) を引く。
テンプレート:そろばん	平方根はテンプレート:Math である。

開平法

開平法の原理

問題の定式化

漸化式の簡略化

筆算による効率化

具体的な計算方法

漸化式による求値

筆算による求値

珠算による開平法

根の定位

倍根法

半九九法

脚注

関連項目

外部リンク

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