開立法

開立法（かいりつほう、かいりゅうほう、extraction of cubic root）は、正の実数の立方根の小数による近似値を求める方法の1つである。開立とも。立方根を求めることを開立するという。開法の一種。

立方九九

開立する場合、以下の三乗九九を用いる。1/3九九を用いる場合もある。

表：立方九九

計算	暗唱方法
$1^3=1$	いんいちがいち
$2^3=8$	ににんがはち
$3^3=27$	さざんにじゅうしち
$4^3=64$	ししろくじゅうし
$5^3=125$	ごごひゃくにじゅうご
$6^3=216$	ろくろくにひゃくじゅうろく
$7^3=343$	しちしちさんびゃくしじゅうさん
$8^3=512$	はっぱごひゃくじゅうに
$9^3=729$	くくななひゃくにじゅうく

近似計算法

計算式（1）

開立の近似計算法には、次の代数式を用いる。

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

ここで、$a\gg b$とすると、

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b$

$b=\frac{(a+b{)}^3-a^3}{3a^2}$

である。両辺にaを加えて、

$a+b=a+\frac{(a+b{)}^3-a^3}{3a^2}$

となる。この式の左辺を近似立方根、右辺の$(a+b{)}^3$を与えられた数として扱う。ただし、$a^3$は与えられた数に最も近い完全立方数である。

計算式（2）

また、

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

を用いて、$a\gg b$として、

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b$

$b=\frac{a^3-(a-b{)}^3}{3a^2}$

である。したがって、

$a-b=a-\frac{a^3-(a-b{)}^3}{3a^2}$

この式の左辺を近似立方根、右辺の$(a-b{)}^3$を与えられた数として扱う。ただし、$a^3$は与えられた数に最も近い完全立方数である。

近似計算法を用いた計算例

$\sqrt[3]{1361}$

$\sqrt[3]{1000}=10,\sqrt[3]{1331}=11,\sqrt[3]{1728}=12$と$\sqrt[3]{1361}$に近い数を求めると、$\sqrt[3]{1331}$が最も近い数であることがわかる。

計算式(1)を用いて、$(a+b{)}^3=1361,a=11,a^3=1331$として求める数$a+b$は、

$a+b=11+\frac{1361-1331}{3\times 11^2}=11.08264463\cdots$

となる。電卓により計算すると、

$\sqrt[3]{1361}\fallingdotseq 11.08203137\cdots$

であり近似計算できることがわかる。

珠算による開立法

根の定位

• 立方が整数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根のけた数となる。
• 立方が帯小数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数のけた数となる。
• 立方が小数のとき：立方の小数点以下の0を3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の0のけた数となる。

倍根法

例：$\sqrt[3]{314432}=68$

テンプレート:そろばん	立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、根が2けたであることを調べる。（根の定位による）
テンプレート:そろばん	最後の区分された数314に含まれている立方根6を求めて、初根6をおき、初根6の3乗（$6^3=216$）を314から引く。
テンプレート:そろばん	初根6の3倍の18を、左におき、その18で残りの立方を、初根6の右４けために商を得るけたまで割る。
テンプレート:そろばん	54を初根6で割って次根8を求める。
テンプレート:そろばん	8×1=8を引く。 次根8の2乗（$8^2=64$）を66から引く。
テンプレート:そろばん	残った2に左の18を掛ける。（余りのかけ戻し）
テンプレート:そろばん	次根8の3乗（$8^3=512$）を引く。
テンプレート:そろばん	立方根は68である。

電卓による開立法

関数電卓でない普通の電卓でも、開平を行うテンプレート:Keypressキーさえあれば立方根を求めることができる。

• まず与えられた数を入力し、テンプレート:Keypressテンプレート:Keypressの順にキーを押す。ただしカシオの電卓に限り、テンプレート:Keypressテンプレート:Keypressと押す（定数計算モードを示す「K」が表示される）。
• テンプレート:Keypressテンプレート:Keypressと押す。このときに表示された数値の末尾数桁を記憶しておく。
• 次にテンプレート:Keypressを押す。定数計算により、表示された数に最初の数が掛けられる。
• またテンプレート:Keypressテンプレート:Keypressと押す。表示された数値の末尾数桁が先程と同じ数値であれば、その数値が立方根となる。同じでなければ前項に戻って繰り返す。

関連項目

• 開平法