立方根

テンプレート:複数の問題立方根（りっぽうこん、cubic root、root of third power）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根（さんじょうこん）ともいう。

定義

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x³ を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを $\sqrt[3]{a}$ と表す。

正の数 $a$ に対して、
$\sqrt[3]{- a} = - \sqrt[3]{a} .$
$1$ の虚立方根の一つを $ω$ とすると、もう一つの虚立方根は $ω^{2}$ であり、 $ω$ , $ω^{2}$ はともに 1 の原始冪根である。また、 $1 + ω + ω^{2} = 0$ が成り立つ。

1, ω = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, ω^{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i = \overline{ω} .

ω = \exp (i \cdot (\frac{2 π}{3} + 2 k π)), ω^{2} = \exp (i \cdot (\frac{4 π}{3} + 2 k π)), \overline{ω} = \exp (i \cdot (\frac{- 2 π}{3} + 2 k π)) .

ω + 1 = \exp (i \cdot (\frac{π}{3} + 2 k π)) = - ω^{2}, \overline{ω} + 1 = \exp (i \cdot (\frac{- π}{3} + 2 k π)) = - ω .

\frac{1}{ω} = ω^{2}, \frac{1}{ω^{2}} = ω .

$α$ が $0$ でない複素数ならば、 $α$ の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 $O$ を中心とする半径 $\sqrt[3]{| α |}$ の円に内接する正三角形の頂点になる。

複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。

z^{\frac{1}{3}} = \exp (\frac{1}{3} \ln z) .

\sqrt[3]{9} = 2.0800838230 \dots

極形式では

z = r \exp (i θ)

ここで rは非負の実数、 $θ$ の定義域は以下とする（偏角は多価関数のため）。

- π < θ \leq π

,

\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{r} \exp (\frac{i θ}{3}) .

$\sqrt[3]{- 8}$ は $1 + \sqrt{3} i$ （ $= \sqrt[3]{8} e^{\frac{π i}{3}}$ ）が主要根となる（-2（ $= (1 + \sqrt{3} i) e^{\frac{2 π i}{3}}$ ）ではない）。

主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。

- \frac{π}{3} < \frac{θ}{3} \leq \frac{π}{3}

$\sqrt[3]{z}$ と $\sqrt[3]{- z}$ の主要根の関係を単位円上で示すと（ $ℑ (z) \geq 0$ 、偏角 $θ = 2 1^{\circ}$ の例）

\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{\cos 2 1^{\circ} + i \sin 2 1^{\circ}} = \cos 7^{\circ} + i \sin 7^{\circ}

\begin{matrix} \sqrt[3]{- z} = \sqrt[3]{- \cos 2 1^{\circ} - i \sin 2 1^{\circ}} = & \sqrt[3]{\cos (- 15 9^{\circ}) + i \sin (- 15 9^{\circ})} \\ = & \cos (- 5 3^{\circ}) + i \sin (- 5 3^{\circ}) \\ = & - ω (\cos 7^{\circ} + i \sin 7^{\circ}) \end{matrix}