重根 (多項式)

重根（じゅうこん、テンプレート:Lang-en-short）とは、1変数多項式 $f (x)$ の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。

概要

1 変数多項式 $f (x)$ が、定数 $a (\neq 0)$ , $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{n}$ を用いて

f (x) = a (x - α_{1}) (x - α_{2}) \dots (x - α_{n})

の形に因数分解され、 $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{n}$ の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を $f (x)$ の重根という。

方程式 $f (x) = 0$ の解は一般に

{\begin{matrix} y = f (x) \\ y = 0 \end{matrix}

つまり xy-座標系において $y = f (x)$ と x 軸との交点の x 座標である。 $f (x)$ が1変数多項式のとき、 $y = f (x)$ が $x = α$ で x 軸に接するなら、 $α$ は $f (x)$ の重根となる。

したがって $f (x)$ は $x = α$ における微分も 0 となり、 $x = α$ が $f (x)$ の重根であることと

f (α) = f^{'} (α) = 0

であることは同値である。

体 K 上の多項式 $f (x)$ と K の元 $α$ に対し、 $(x - α)^{2} ∣ f (x)$ が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 $k$ と多項式 $g (x)$ で

f (x) = (x - α)^{k} g (x)

を満たすものが存在するとき、 $α$ を $f (x)$ の重根という。特に $g (x)$ が $α$ を根に持たないならば、 $k$ を根 $α$ の重複度（ちょうふくど、multiplicity）という。

テンプレート:Main 多項式 $f (x)$ の根を $α_{1}$ , $α_{2}$ , …, $α_{n}$ とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方

D_{f} : = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (α_{i} - α_{j})^{2}

を多項式 $f (x)$ あるいは方程式 $f (x) = 0$ の判別式（はんべつしき、discriminant）という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」を判別するための式である。すなわち、判別式が $0$ であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。

これは、

によって保証される。

たとえば、二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）の根を $α$ , $β$ とすると、根と係数の関係により

α + β = - \frac{b}{a},

α β = \frac{c}{a}

が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は

(α - β)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = {(- \frac{b}{a})}^{2} - 4 \times \frac{c}{a} = \frac{b^{2} - 4 a c}{a^{2}}

となる。 $a \neq 0$ より $a^{2} > 0$ であるので、実用上は分母を掃った $b^{2} - 4 a c$ を判別式として用いることが多い。