Iのi乗

テンプレート:出典の明記 数学において、虚数単位 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 乗（テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar じょう）すなわち テンプレート:Math とは、ある可算無限個の正の実数である。ネイピア数 テンプレート:Mvar と円周率 テンプレート:Mvar を用いて、

$i^i=e^{-(4n+1)\pi /2}$

と書ける（テンプレート:Mvar は任意の整数）。テンプレート:Math としたとき、テンプレート:Math は主値

$i^i=e^{-\pi /2}=\frac{1}{\sqrt{e^{\pi }}}=0.20787957\dots$

を取る（テンプレート:OEIS）。

計算の方法

まず テンプレート:Mvar の偏角は（ラジアンで） テンプレート:Math（テンプレート:Mvar は任意の整数）であることに注意する。

$i^i=e^{i\log i}$

ただし テンプレート:Math は複素対数函数（多価関数）であり、テンプレート:Math は

$\log i=\ln |i|+i\arg i=\ln 1+i(\frac{\pi }{2}+2n\pi )=i(\frac{\pi }{2}+2n\pi )$

そして指数関数 テンプレート:Math は、冪級数

$e^x=\exp (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

等により定義され、虚数乗も計算できる。

ここで テンプレート:Math は実数値関数の自然対数であり

$i^i=e^{i\cdot i(\pi /2+2n\pi )}=e^{-(\pi /2+2n\pi )}=e^{-(4n+1)\pi /2}$

と計算される。テンプレート:Math　とおくと

$i^i=\dots ,e^{7\pi /2},e^{3\pi /2},e^{-\pi /2},e^{-5\pi /2},e^{-9\pi /2},\dots$

となる。主値は冒頭の通り テンプレート:Math のときの テンプレート:Math である。

数学的性質

テンプレート:Math の取る値はどれも正の実数であるが、テンプレート:Math の整数 テンプレート:Mvar を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に テンプレート:Mvar を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって テンプレート:Math には最大値も最小値も存在しない。

テンプレート:Math の主値 テンプレート:Math は

$e^{-\pi /2}=e^{(i/2)\mathrm{Log}(-1)}=(-1{)}^{i/2}$

であるから、ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、超越数であるため、無理数である。同様に他の テンプレート:Math の値も超越数である。

なお テンプレート:Math も

$(-i{)}^{-i}=e^{-i\log (-i)}=e^{-(\pi /2-2n\pi )}$

なので、テンプレート:Math である。

テトレーション $i^{i^{{.}^{{.}^i}}}$ の極限は実数ではない複素数に収束する (Macintyre 1966)。

$\begin{array}{cc}{i}^{i^{i^{{.}^{{.}^{.}}}}}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }i\to n\to 2\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }i\uparrow \uparrow n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(i\uparrow {)}^{n}i\uparrow i\\ & =-\frac{W(-\log i)}{\log i}=\frac{2i}{\pi }W\left(-\frac{\pi }{2}i\right)\\ & \approx 0.438283+0.3605924\cdot i.\end{array}$

ただし、テンプレート:Math はランベルトのW関数である。

関連項目

• 虚数単位
• 指数関数
• 0の0乗

外部リンク

• テンプレート:MathWorld