ゲルフォント＝シュナイダーの定理

ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント゠シュナイダーのていり、テンプレート:Lang-en-short) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、テンプレート:仮リンクとテンプレート:仮リンクによって、それぞれ独立に証明された。

定理の主張

$\alpha$を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、${\alpha }^{\beta }$ は、超越数である。

系

系1

${\alpha }_1,{\alpha }_2$ を 0, 1 以外の代数的数とする。$\log {\alpha }_1/\log {\alpha }_2$ は、有理数であるか超越数である。

系2

${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2$ を 0 以外の代数的数とする。もし、$\log {\alpha }_1,\log {\alpha }_2$ が有理数体上線形独立であるならば、${\beta }_1\log {\alpha }_1+{\beta }_2\log {\alpha }_2\ne 0$ である。

例

ゲルフォント゠シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。

• $2^{\sqrt{2}}$ 。(テンプレート:OEIS)
• ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 。(テンプレート:OEIS)
• $e^{\pi }(=(-1{)}^{-i})$ 。これはゲルフォントの定数とよばれる。(テンプレート:OEIS)
• 有理数ではない代数的数 $\alpha$ に対する、$\sin \alpha \pi$, $\cos \alpha \pi$, $\tan \alpha \pi$ 。
• $i\alpha$ が有理数ではない代数的数 $\alpha$ に対する、$\sinh \alpha \pi$, $\cosh \alpha \pi$, $\tanh \alpha \pi$ 。
• 乗法的独立である、0, 1 ではない代数的数 $\alpha ,\beta$ に対する、$\log \alpha /\log \beta$ 。

歴史

ダフィット・ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、テンプレート:仮リンクとして、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、a^b は超越数であるか」を提出した。

その後、1929年に、アレクサンドル・ゲルフォントによって、β が虚二次体の場合に、${\alpha }^{\beta }$ が超越数であることを証明し、例えば、$e^{\pi }$ が超越数であることを示した。

その直後、ゲルフォントの方法を元にして、カール・ジーゲルは、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年（1930年）、テンプレート:仮リンクは、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。

1934年に、ゲルフォントとテオドール・シュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。

ゲルフォント゠シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが（系2）、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された（ベイカーの定理を参照）。

関連項目

• ヒルベルトの23の問題
• ベイカーの定理
• 超越数

参考文献

• テンプレート:Cite book
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