ゲルフォントの定数

テンプレート:Expand English ゲルフォントの定数（ゲルフォントのていすう、テンプレート:Lang-en）は数学定数の一つで、ネイピア数 e と円周率 テンプレート:Π を用いて eテンプレート:Sup と表される数である。小数表示は

eテンプレート:Sup = 23.14069 26327 79269 00572 90863 67948 54738 02661 06242 60021 19934 45046 40952 43423 50690 45278 35169 71997 06754 92196 76… (テンプレート:OEIS)

である。この数はロシアの数学者テンプレート:仮リンクにちなんで名付けられた。ゲルフォントの定数は e や テンプレート:Π と同様に超越数である。このことはゲルフォント＝シュナイダーの定理から証明できる。

数学的性質

ここで i を虚数単位にするとき

eテンプレート:Sup はオイラーの公式より

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

から以下のように変形できる。$e^{\pi }=(e^{i\pi }{)}^{-i}=(\cos \pi +i\sin \pi {)}^{-i}=(-1{)}^{-i}$

ただしiのi乗同様$e^{3\pi }$、$e^{5\pi }$…や$e^{-\pi }$、$e^{-3\pi }$…などの$e^{(2k+1)\pi }$(kは任意の整数)でもこのような変形ができてしまうため$(-1{)}^{-i}$が多価であり1つの実数に定まらない事に注意が必要である。

ゲルフォント＝シュナイダーの定理は 「a を 0, 1 でない代数的数、b を有理数でない代数的数とすると、aテンプレート:Sup は超越数である」という内容である。a = −1, b = −i はこの条件を満たすので、(−1)テンプレート:Sup は超越数である。すなわち eテンプレート:Sup は超越数である。

ちなみに、eテンプレート:Sup, テンプレート:Πテンプレート:Sup, テンプレート:Πテンプレート:Sup などは有理数であるのか無理数であるのか超越数であるのか否かは証明されていない。

$k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$ として

$k_n=\frac{1-\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}{1+\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}$

と定義されるとき、 数列

${\left(\frac{4}{k_{n+1}}\right)}^{2^{-n}}$

は eテンプレート:Sup に収束する。

eテンプレート:Sup − テンプレート:Π はほとんど整数である。

eテンプレート:Sup − テンプレート:Π = 19.99909997918947…

関連項目

• ゲルフォント＝シュナイダーの定理
• 無理数
• 超越数
• en:Mathematical coincidence（数学的偶然の一致）

外部リンク

• テンプレート:MathWorld