複素対数函数

複素対数の枝の一つ: 色相は偏角を、彩度と明度は絶対値を表す。(カラーエンコードの詳細は画像をクリック)

複素解析における複素対数関数（ふくそたいすうかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は、実自然対数関数が実自然指数関数の逆関数であるのと同様の意味において、複素指数関数の逆「関数」である。すなわち、複素数 テンプレート:Mvar の対数 テンプレート:Mvar とは テンプレート:Math を満たす複素数を言いテンプレート:Sfn、そのような テンプレート:Mvar を テンプレート:Math や テンプレート:Math などと書く。任意の非零複素数 テンプレート:Mvar は無限個の対数を持つテンプレート:Sfnから、そのような表記が紛れのない意味を為すように気を付けねばならない。

極形式を用いて テンプレート:Math と書くならば、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の対数の一つを与えるが、これに テンプレート:Math の任意の整数倍を加えたもので テンプレート:Mvar の対数はすべて尽くされるテンプレート:Sfn。

複素指数関数の逆関数

複素対数関数の多価なる虚部を枝が分かるように描いたもの。複素数 テンプレート:Mvar が原点を周れば、対数の虚部が上下する。これにより、原点はこの関数の分岐点となる。

逆関数を持つためには、関数は一対一（単射）でなければならないが、複素指数関数は単射でない（実際、任意の テンプレート:Mvar とすべての整数nに対して テンプレート:Math が成り立つことが、テンプレート:Mvar に テンプレート:Mvar を加える操作が テンプレート:Mvar を反時計回りに テンプレート:Mvar ラジアン回転させることから言える）し、さらに悪いことに垂直線上に等間隔に並ぶ無限個の複素数の列 $$\dots ,w-4\pi i,w-2\pi i,w,w+2\pi i,w+4\pi i,\dots$$ がすべて、指数関数によって同一の複素数へ写されるのである。したがって、複素指数関数は通常の意味での逆関数は持たないテンプレート:Sfnテンプレート:Efn。

この問題の解決法として、二通り考えられる:

• 一つは、指数関数の定義域をどの二つの数も テンプレート:Math の整数倍の差を持たないような領域に制限することである。この方法では、自然に テンプレート:Math の枝（定義域に属する各数の対数を一つずつ切り出して得られる関数）を定義することになる。これは例えば、逆正弦関数 テンプレート:Math の テンプレート:Math 上定義された枝を、正弦関数 テンプレート:Math の区間 テンプレート:Math への制限の逆関数として定めるのと同様である（上記範囲内の テンプレート:Mvar に対し テンプレート:Math を満たす実数 テンプレート:Mvar は無限個存在するが、それでも（いくぶん作為的ながら）テンプレート:Math に入るものを考えれば、それは一つしかないのであった）。
• もう一つは、対数関数をガウス平面上の関数でなく、穴あき (つまり原点を除く) ガウス平面を無限個貼り合わせた被覆空間としてのリーマン面上で定義された関数と見ることによって、対数の不定性を解決することである。

枝をとる方法は、一つの複素数に対して値が評価できる点で優位性がある。他方、リーマン面上の関数と見る方法は、テンプレート:Math の全ての枝をひとまとめに扱えて、定義に任意性のある選択を含めなくてよいという点において筋が良い。

対数の主値

各非零複素数 テンプレート:Math に対して、その対数の主値 テンプレート:Math とは、虚部が区間 テンプレート:Math に属する対数を言う。テンプレート:Math を満たす複素数 テンプレート:Mvar は存在しないから、式 テンプレート:Math はやはり定義されない。

この主値はいくつか別のやり方でも記述できる。

• テンプレート:Math の表式を得るために、テンプレート:Mvar を極形式 テンプレート:Math で表せば、テンプレート:Mvar に テンプレート:Math の整数倍を加えるだけの不定性を以って テンプレート:Mvar の極形式は一意ではないが、テンプレート:Mvar が区間 テンプレート:Math に属する（この テンプレート:Mvar を偏角の主値 テンプレート:Math というテンプレート:Efn）とすれば「一意にする」ことができるから、これにより対数主値を$$\mathrm{Log}z:=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\mathrm{Arg}z$$ と定義することができる。右辺の テンプレート:Math は通常の実自然対数である。例えば テンプレート:Math となる。
• もう一つの テンプレート:Math の記述の仕方は前節で述べたように複素指数関数の制限の逆関数としてのもので、垂直な帯状領域 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math なる複素数全体の成す集合とすれば、これはどの二つも テンプレート:Math の整数倍の差を持つことのない領域であるから、指数関数を テンプレート:Mvar に制限したものは逆関数を持つ。実は、複素指数関数は テンプレート:Mvar を穴あき平面 テンプレート:Math へ全単射に写し、逆関数は テンプレート:Math となる。この写像の幾何学的性質の詳細は後述。

特に断りなく テンプレート:Math のように書かれた場合には、一般には主値について言っているものと考えたほうが安全である。そうすれば特に、テンプレート:Mvar が正の実数のときの実数値の テンプレート:Math と矛盾しない。しかし主値を他の対数と区別する目的では、頭文字を大文字化する記法を用いて テンプレート:Math と書くテンプレート:Sfnのが適当である。

実自然対数 テンプレート:Math の満足する等式は、複素数に拡張した場合には必ずしも成立しない。任意の テンプレート:Math に対して等式 テンプレート:Math は成立する（これは単に テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の対数（の一つ）であると言っていることに相違ない）が、等式 テンプレート:Math は帯状領域 テンプレート:Mvar の外側では正しくない。この理由により、等式 テンプレート:Math の両辺に テンプレート:Math を施して テンプレート:Math を得ることは常にはできない。また、等式 テンプレート:Math の両辺は テンプレート:Math の整数倍だけ異なり得る。

関数 テンプレート:Math は各負の実数において不連続だが、それ以外の テンプレート:Math の各点において連続である。この不連続性を説明するために、テンプレート:Mvar が負の実数 テンプレート:Mvar へ近づくときに テンプレート:Math に何が起きるのかを考える。テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に上から近づくならば、テンプレート:Math は テンプレート:Math に近づくが、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に下から近づくならばテンプレート:Math は テンプレート:Math に近づく。ゆえに テンプレート:Math は テンプレート:Mvar が負の実軸をまたぐとき テンプレート:Math だけ値が跳び、その結果 テンプレート:Math も テンプレート:Math だけ跳ぶ。

枝の選択

もっと別な方法を用いれば、各非零複素数に対して対数を一つずつ選んでできる関数 テンプレート:Math が テンプレート:Math の全ての点上で連続となることができるであろうか、残念ながら答えは「否」である。その理由を見るために、そのような対数関数を単位円に沿って追跡する（つまり、テンプレート:Mvar を、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math から テンプレート:Math まで増加させるときの、テンプレート:Mvar において評価する）ことを考えよう。簡単のため、初期値は テンプレート:Math と仮定すれば、 テンプレート:Mvar の増加につれて テンプレート:Math が連続なるためには テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に一致しなければならない（差は離散集合 テンプレート:Math に値をとる テンプレート:Mvar の連続関数でなければならないから）。特に、テンプレート:Math でなければならないが、そもそも テンプレート:Math なのだから、これは テンプレート:Math の仮定に反する。

したがって、複素数に対して定義された連続な対数関数を得るためには、定義域をガウス平面のより小さな部分集合 テンプレート:Mvar に制限することが必要となる。目的の一つとしてその関数が微分可能となるようにしたいので、定義域の各点の近傍においてそれが定義されていると仮定することには意味がある。つまり テンプレート:Mvar としては開集合をとるべきである。また、テンプレート:Mvar の異なる連結成分上で定義される関数値は互いに関連性がないものに取り得ることを考えれば、テンプレート:Mvar が連結と仮定することも自然である。そういったことを取り纏めて、この文脈では枝を以下のようなものとして定める:

定義

テンプレート:Math の枝 (branch) とは、ガウス平面 テンプレート:Math 内の連結開集合 テンプレート:Mvar 上で定義された連続関数 テンプレート:Mvar であって、テンプレート:Mvar の各点 テンプレート:Mvar に対する各値 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の対数となっているようなものを言うテンプレート:Sfn。

• 例えば、主値はガウス平面から負の実軸と原点を除いた開集合 テンプレート:Math 上で連続な枝を定義する。
• 別な例としてメルカトル級数 $$\ln (1+u)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{u}^n=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\cdots$$ は円板 テンプレート:Math 上で局所一様収束するから、テンプレート:Math と置けば、テンプレート:Math を中心とする半径 テンプレート:Math の円板上での テンプレート:Math の枝を得る。テンプレート:Efn

一つ枝をとって固定する場合には、紛れの虞がないならば単に "テンプレート:Math" と書くことができる。異なる枝は特定の複素数の対数に対して異なる値を割り当て得るから、それゆえに "テンプレート:Math" が明確な意味を持つようにするためには、「あらかじめ」枝を固定しておかなければならない。

分岐切断

先に述べた単位円を用いた論法を一般化すれば、原点 テンプレート:Math を周る閉曲線を含む開集合 テンプレート:Mvar 上で定義された テンプレート:Math の枝が存在しないことが示せる。この論法を回避するために、テンプレート:Mvar は典型的には原点から適当な方向に無限遠まで延びる半直線や半曲線（端点として原点は含む）の補集合が選ばれる。この場合、そのような曲線はテンプレート:仮リンク (branch cut) と呼ぶ。例えば、主値は負の実軸に沿った分岐切断を持つ。

関数 テンプレート:Math がその分岐切断上の一点において定義されるように拡張されるならば、テンプレート:Mvar はその点で不連続でなければならない。よくて、負の実数における主値 テンプレート:Math のように、「片側」連続になるだけである。

導関数

開集合 テンプレート:Mvar 上で定義された テンプレート:Math の各枝は複素指数関数の制限（具体的には テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による像への制限）の逆関数である。指数関数は正則（つまり複素微分可能）かつその導関数が消えることはないから、複素関数版の逆写像定理が適用できて、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の各点において正則で、テンプレート:Math が成り立つテンプレート:Sfn。これはコーシー–リーマン方程式の成立を見ることによっても証明できるテンプレート:Sfn。

積分としての解釈

実自然対数関数 テンプレート:Math は積分公式 テンプレート:Math によって定義することができる。あるいは積分の下の限界を テンプレート:Math から テンプレート:Mvar に取り換えて、定義式を テンプレート:Math とすることもできる。

同じことを「複素」対数に対しても議論するならば、さらなる複雑さが生じる。複素積分を定めるには積分路を決めなければならないが、今の場合はたまたま被積分関数が正則であるから、積分値は積分路を（端点を固定して）連続的に変形しても変わらず、また単連結領域 テンプレート:Mvar（「穴のない」領域）では テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar へ行く テンプレート:Mvar 内のどの道も連続的な変形で互いに移りあう。ゆえに以下のように言うことができる:

積分表示

テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の単連結開部分集合で テンプレート:Math を含まないならば、テンプレート:Mvar 上定義された テンプレート:Math の枝を、始点 テンプレート:Math と テンプレート:Mvar の対数 テンプレート:Mvar を一つ選んで $$L(z):=b+\underset{a}{\overset{z}{\int }}\frac{dw}{w}(\mathrm{\forall }z\in U)$$ と定義することができるテンプレート:Sfn。

複素対数の等角性テンプレート:Anchors

テンプレート:Mvar-平面において、テンプレート:Math の描く円と テンプレート:Math の描く半直線

命題

正則関数 テンプレート:Math がすべての点 テンプレート:Math において テンプレート:Math を満たすならば、テンプレート:Mvar は等角写像である。すなわち、テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar を通るに曲線が角 テンプレート:Mvar を成す（これは テンプレート:Mvar における両曲線の接線の成す角が テンプレート:Mvar であるという意味である）ならば、それらに曲線の テンプレート:Mvar による像も テンプレート:Math において同じ角 テンプレート:Mvar を成す。

テンプレート:Math の枝は、正則かつ導関数 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上で消えないから、上記の命題により等角写像を定める。

例えば、主枝 テンプレート:Math は テンプレート:Math から垂直帯状領域 テンプレート:Math への写像と見て上記の性質を満たすから、等角性を極形式で書いた直接の帰結として以下のことが言える:

• テンプレート:Mvar-平面の原点を中心とする円テンプレート:Efnは テンプレート:Mvar-平面内の テンプレート:Math から テンプレート:Math へ結ぶ垂直線分に写される。ただし、テンプレート:Mvar は円の半径の実対数である。
• テンプレート:Mvar-平面の原点から放たれる半直線は テンプレート:Mvar-平面の水平線に写される。

上記の テンプレート:Mvar-平面上の各円と各半直線は直角に交わる。それらの テンプレート:Math による像はそれぞれ テンプレート:Mvar-平面の垂直線分と水平線だから、それらも直角に交わる。これは主枝 テンプレート:Math の等角性の発露の一つである。

対数関数のリーマン面

テンプレート:Math のリーマン面の視覚化: このイラストでは曲面はガウス平面の原点に対応する垂直線の周りに螺旋を描くように見えるが、実際のリーマン面は水平方向にも垂直方向にも無限に広がっているし、このイラストのように途切れてはいない。

構成

テンプレート:Math の複数の枝を貼り合わせて一つの関数 テンプレート:Math を得ることは、二つの相異なる枝がそれらの両方が定義される点においてさえ異なる値をとり得ることにより、不可能である。例えば テンプレート:Math 上で定義され、虚部 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に入る主枝 テンプレート:Math と、テンプレート:Math 上で定義され、虚部 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に入る枝 テンプレート:Math とは、上半平面では一致するが下半平面では一致しないから、これらの枝の定義域を「上半平面のコピーに沿ってだけ」貼り合わせることには意味を持たせることができる。貼り合わせで得られる領域は連結だが下半平面のコピーは二つ持つ。これら二つのコピーを二階建ての駐車場に譬えると、テンプレート:Math の階の下半平面から テンプレート:Mvar の階の下半平面まで、テンプレート:Math を反時計回りに360°周って行くことができる。それには、テンプレート:Math の階で初めて正の実軸をまたいだときに共有された上半平面に入り、テンプレート:Mvar の階の負の実軸をまたいで テンプレート:Mvar の階の下半平面に入るのである。

同様の貼り合わせを、虚部 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に入る枝、テンプレート:Math に入る枝、…… に対して、あるいは別方向の、虚部 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に入る枝、テンプレート:Math に入る枝、…… とどんどん続けることができる。そうして最終的に得られる連結な曲面は、先ほどの駐車場の喩えで言えば、上にも下にも無限に伸びる無数の階が螺旋状に連なった駐車場になる。この曲面を複素対数関数 テンプレート:Math に付随するリーマン面 テンプレート:Mvar と呼ぶ。

対数のリーマン面 テンプレート:Mvar 上の点は、複素数 テンプレート:Mvar とその偏角の取り得る値 テンプレート:Mvar との対 テンプレート:Math と考えることができる。これにより テンプレート:Mvar は テンプレート:Math に埋め込める。

リーマン面上の関数

各枝の定義域はそれらの値が一致する開集合に沿ってしか貼り合わされないから、貼り合わせで一つの矛盾なく定義された関数テンプレート:Math が与えられるテンプレート:Efn。この関数は各点 テンプレート:Math を テンプレート:Math に写す。もともとの枝 テンプレート:Math に両立する正則関数を貼り合わせて拡張する過程は解析接続と呼ばれる。

リーマン面 テンプレート:Mvar から テンプレート:Math への（螺旋を「平らに」押しつぶす）「射影」が存在して、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に写される。任意の テンプレート:Math に対して、テンプレート:Mvar の「真上」にある全ての点 テンプレート:Math をとって、それらの点を テンプレート:Math で評価すれば、テンプレート:Mvar の対数がすべて得られる。

すべての枝の張り合わせ

上でやったように、特定の枝を選んで貼り合わせる代わりに、テンプレート:Math のすべての枝をとって、枝の対 テンプレート:Math, テンプレート:Math を テンプレート:Math の テンプレート:Math と テンプレート:Math が一致する最大の開部分集合に沿って貼り合わせることを、任意の対に対して同時に行っても、前節のと同じリーマン面 テンプレート:Mvar と関数 テンプレート:Math が得られる。このやり方は、絵に描くことはやや困難だが、特定の枝をどのように選ぶかは問わない点で、より自然である。

テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の開部分集合で、その射影像 テンプレート:Math と全単射ならば、テンプレート:Math の テンプレート:Mvar への制限は テンプレート:Mvar 上定義された テンプレート:Math の枝に対応する。テンプレート:Math の任意の枝はこの方法で得られる。

普遍被覆として

射影 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の被覆空間として実現する。実はこれは、（テンプレート:Math を テンプレート:Math に写す同相写像が生成する）テンプレート:Math に同型なテンプレート:仮リンク群を持つテンプレート:仮リンクになる。

複素多様体として テンプレート:Mvar は、テンプレート:Math を通じて テンプレート:Math に双正則である（逆写像は テンプレート:Mvar を テンプレート:Math に写す）。これは テンプレート:Mvar が単連結であることを示しており、したがって テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の普遍被覆となる。

応用

• 複素対数関数は複素数の複素数乗を定義するのに必要である。具体的に、複素数 テンプレート:Math に対し、対数主値を用いて $a^b=e^{b\mathrm{Log}a}$ と定義する。テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の別の対数に取り換えて テンプレート:Mvar の別の値を得る。式 $a^b$ は、$b$ が整数である場合に限り単一の値を有する。

一般化

任意の底

実数のときと同様に、複素数 テンプレート:Mvar に対して

${\log }_a(b):=\frac{{\log }_{e}b}{{\log }_{e}a}$

と定義することができるが、テンプレート:Mvar において定義される テンプレート:Math の枝の選択によって値が変わることには気を付けなければならない。例えば主値を用いれば

${\log }_i(e)=\frac{\mathrm{Log}e}{\mathrm{Log}i}=\frac{1}{\pi i/2}=-\frac{2i}{\pi }$

となる。

正則関数の対数

テンプレート:Math の連結開集合上定義された正則関数 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar 上定義された テンプレート:Math の枝とは、テンプレート:Mvar 上の連続関数 テンプレート:Mvar で テンプレート:Math を満たすものを言う。そのような関数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を満たす正則関数であることが必要である。

テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の単連結開集合で、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上至る所消えていない正則関数ならば、テンプレート:Mvar 上定義された テンプレート:Math の枝は、始点 テンプレート:Math と テンプレート:Mvar の対数 テンプレート:Mvar を選んで

$g(z):=b+\underset{a}{\overset{z}{\int }}\frac{f^{\prime }(w)}{f(w)}dw(\mathrm{\forall }z\in U)$

と定めることによって構成できるテンプレート:Sfn。

関連項目

• 対数
• 離散対数
• 指数関数
• 偏角 (複素数)
• 逆三角関数

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
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外部リンク

• テンプレート:Nlab
• テンプレート:PlanetMath