三次方程式

から 2個の値テンプレート:Math2 を求めなければならないが、これを求めるためには別の三次方程式が現れるため、カルダノはこの場合を還元不能（かんげんふのう、casus irreducibilis）と呼んだ。この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の冪根と四則演算を有限回用いただけで解を書き下すことは不可能であるため、全て徒労に終わった。

ビエトの解

3解がいずれも実数であれば、還元不能であるが、代数的な表記でなくてもよければ、虚数を使わずに解を表すことができる。フランソワ・ビエトは、三角関数の三倍角の公式

テンプレート:Math

を変形した

テンプレート:Math

と三次方程式

テンプレート:Math

の類似性に着目し、テンプレート:Math2, テンプレート:Math とおいた式

テンプレート:Math

を考えた。

テンプレート:Math … (1)

もしテンプレート:Math すなわちテンプレート:Math ならば、

\cos 3 α = \frac{b}{2 a}

… (2)

α = \frac{1}{3} \arccos \frac{b}{2 a}

x = 2 a \cos α = 2 a \cos (\frac{1}{3} \arccos \frac{b}{2 a})

という解が得られる。この解のことをビエトの解という。

この三次方程式が相異なる 3個の実数解を持つ時、(1) の判別式

D = - {4 (- 3)^{3} + 27 {(- \frac{b}{a})}^{2}} = 27 {4 - {(\frac{b}{a})}^{2}} > 0

∴ | \frac{b}{2 a} | < 1

したがって (2) はテンプレート:Math、つまりテンプレート:Math に解を 1 つ持つ。この解をテンプレート:Math とすれば、他の解はテンプレート:Math, テンプレート:Math と表せ、これに対応して 3個の実数解が定まる。

この時は実数の計算だけで解を得ることができた。ただし、逆三角関数や三角関数の計算を含むため厳密な値を得るのは大変である。

三次方程式テンプレート:Math が相異なる 3個の実数解を持つならば、テンプレート:Math, $| x | < 2 \sqrt{\frac{p}{3}}$

ラグランジュの方法

ラグランジュは、三次方程式や四次方程式の代数的解法を分析し、根の置換という代数方程式論の方向性を決定づける重要な概念に到達した。この研究はガロア理論の発見へと繋がっていった。

xテンプレート:Sup + Aテンプレート:Sub xテンプレート:Sup + Aテンプレート:Sub x + Aテンプレート:Sub = 0

の 3 つの解を rテンプレート:Sub, rテンプレート:Sub, rテンプレート:Sub とし 1 の虚立方根の一つ

ω = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}

を取る。

sテンプレート:Sub = rテンプレート:Sub + rテンプレート:Sub + rテンプレート:Sub

sテンプレート:Sub = rテンプレート:Sub + ω rテンプレート:Sub + ωテンプレート:Sup rテンプレート:Sub

sテンプレート:Sub = rテンプレート:Sub + ωテンプレート:Sup rテンプレート:Sub + ω rテンプレート:Sub

とおくと

r_{0} = \frac{s_{0} + s_{1} + s_{2}}{3}

r_{1} = \frac{s_{0} + ω^{2} s_{1} + ω s_{2}}{3}

r_{2} = \frac{s_{0} + ω s_{1} + ω^{2} s_{2}}{3}

である。根と係数の関係により sテンプレート:Sub = −Aテンプレート:Sub であることが分かるので sテンプレート:Sub と sテンプレート:Sub の二つが分かれば解が求まることになる。ここで rテンプレート:Sub と rテンプレート:Sub を入れ替える互換を σテンプレート:Sub と書けば

(σテンプレート:Sub sテンプレート:Sub) = rテンプレート:Sub + ω rテンプレート:Sub + ωテンプレート:Sup rテンプレート:Sub

ωテンプレート:Sup (σテンプレート:Sub sテンプレート:Sub) = rテンプレート:Sub + ωテンプレート:Sup rテンプレート:Sub + ω rテンプレート:Sub = sテンプレート:Sub

が得られる。両辺を三乗することにより

σテンプレート:Sub sテンプレート:Sub テンプレート:Sup = sテンプレート:Sub テンプレート:Sup

同様に

σテンプレート:Sub sテンプレート:Sub テンプレート:Sup = sテンプレート:Sub テンプレート:Sup

(z − sテンプレート:Sub テンプレート:Sup)(z − sテンプレート:Sub テンプレート:Sup) = zテンプレート:Sup −(sテンプレート:Sub テンプレート:Sup + sテンプレート:Sub テンプレート:Sup) z + sテンプレート:Sub テンプレート:Sup sテンプレート:Sub テンプレート:Sup = 0

の係数は、元の三次方程式の係数 Aテンプレート:Sub, Aテンプレート:Sub, Aテンプレート:Sub で表されることになる。実際にこれは

z^{2} - (- 2 {A_{2}}^{3} + 9 A_{1} A_{2} - 27 A_{0}) z + {({A_{2}}^{2} - 3 A_{1})}^{3} = 0

という二次方程式になり、この解は解の様子を調べた時に定義した記号 ⊿ と ⊿テンプレート:Sub によって

\frac{Δ_{2} \pm 3 \sqrt{- 3 Δ}}{2}

と書くことができる。

この根号は二次方程式の解の差積 $\pm ({s_{1}}^{3} - {s_{2}}^{3})$ として得られ、ここに現れる ${s_{1}}^{3}, {s_{2}}^{3}$ も、3乗根は元の方程式の根 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ と 1の3乗根 $ω$ の四則演算で表されている。すなわち三次方程式を解く際に冪乗根を取って出てくる式は、元の方程式の解 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ と1の冪乗根の有理式で表現できる。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュやテンプレート:日本語版にない記事リンクは、これこそ三次方程式が代数的に解ける理由であると考えた。

一般解

3次方程式

a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{3} \neq 0)

の解の公式は以下の通りである：

\begin{matrix} x_{1} = & - \frac{a_{2}}{3 a_{3}} \\ + \frac{\sqrt[3]{- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2} + \sqrt{4 {(3 a_{1} a_{3} - {a_{2}}^{2})}^{3} + {(- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2})}^{2}}}}{3 \sqrt[3]{2} a_{3}} \\ - \frac{\sqrt[3]{2} (3 a_{1} a_{3} - {a_{2}}^{2})}{3 a_{3} \sqrt[3]{- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2} + \sqrt{4 {(3 a_{1} a_{3} - {a_{2}}^{2})}^{3} + {(- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2})}^{2}}}} \\ x_{2} = & - \frac{a_{2}}{3 a_{3}} \\ - \frac{(1 - i \sqrt{3}) \sqrt[3]{- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2} + \sqrt{4 {(3 a_{1} a_{3} - {a_{2}}^{2})}^{3} + {(- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2})}^{2}}}}{6 \sqrt[3]{2} a_{3}} \\ + \frac{(1 + i \sqrt{3}) (3 a_{1} a_{3} - {a_{2}}^{2})}{3 \times 2^{\frac{2}{3}} a_{3} \sqrt[3]{- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2} + \sqrt{4 {(3 a_{1} a_{3} - {a_{2}}^{2})}^{3} + {(- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2})}^{2}}}} \\ x_{3} = & - \frac{a_{2}}{3 a_{3}} \\ - \frac{(1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2} + \sqrt{4 {(3 a_{1} a_{3} - {a_{2}}^{2})}^{3} + {(- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2})}^{2}}}}{6 \sqrt[3]{2} a_{3}} \\ + \frac{(1 - i \sqrt{3}) (3 a_{1} a_{3} - {a_{2}}^{2})}{3 \times 2^{\frac{2}{3}} a_{3} \sqrt[3]{- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2} + \sqrt{4 {(3 a_{1} a_{3} - {a_{2}}^{2})}^{3} + {(- 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{3} a_{2} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2})}^{2}}}} \end{matrix}

式の一部を置き換えたことにより簡略化したもの

\begin{matrix} a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{3} \neq 0) \\ x_{1} = - \frac{a_{2}}{3 a_{3}} + \frac{\sqrt[3]{\begin{matrix} 2 \end{matrix}}}{3 \sqrt[3]{2} a_{3}} - \frac{\sqrt[3]{2} \begin{matrix} 4 \end{matrix}}{3 \sqrt[3]{\begin{matrix} 2 \end{matrix}} a_{3}} \\ x_{2} = - \frac{a_{2}}{3 a_{3}} - \frac{(1 - i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\begin{matrix} 2 \end{matrix}}}{6 \sqrt[3]{2} a_{3}} + \frac{(1 + i \sqrt{3}) \begin{matrix} 4 \end{matrix}}{3 \times 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\begin{matrix} 2 \end{matrix}} a_{3}} \\ x_{3} = - \frac{a_{2}}{3 a_{3}} - \frac{(1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\begin{matrix} 2 \end{matrix}}}{6 \sqrt[3]{2} a_{3}} + \frac{(1 - i \sqrt{3}) \begin{matrix} 4 \end{matrix}}{3 \times 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\begin{matrix} 2 \end{matrix}} a_{3}} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 1 \end{matrix} \to - 2 {a_{2}}^{3} + 9 a_{1} a_{2} a_{3} - 27 a_{0} {a_{3}}^{2} \\ \begin{matrix} 2 \end{matrix} \to \begin{matrix} 1 \end{matrix} + \sqrt{\begin{matrix} 3 \end{matrix}} \\ \begin{matrix} 3 \end{matrix} \to {\begin{matrix} 1 \end{matrix}}^{2} + 4 {\begin{matrix} 4 \end{matrix}}^{3} \\ \begin{matrix} 4 \end{matrix} \to - {a_{2}}^{2} + 3 a_{1} a_{3} \end{matrix} \end{matrix}

円錐曲線による作図

代数的解法は重要であるものの、歴史的にはそれよりも先に、作図による三次方程式の幾何学的解法が模索されていた。このような解法は、古代ギリシアのメナイクモス^[1]に始まり、セルジューク朝期ペルシャのウマル・ハイヤームによって一般化された。

xy 平面上の 2 つの放物線を表す式

x^{2} = p y (p > 0)

y^{2} = q x (q > 0)

において y を消去すると、

x^{4} = p^{2} q x

となり、この 2 つの放物線の交点の x 座標は、

x = 0, \sqrt[3]{p^{2} q}

となり、x = 0 でない方の交点の位置によって

x^{3} = p^{2} q

という形の三次方程式の解が得られることになる。特に q = 2p ととれば、立方体倍積問題と同値な三次方程式

x^{3} = 2 p^{3}

の実数解を、線分の長さとして得たことになる。

また、放物線と円を表す式

x^{2} = p y (p > 0)

x^{2} + y^{2} = q x (q > 0)

において同様に y を消去すれば

p^{2} x^{2} + x^{4} = p^{2} q x

であり、x = 0 以外の交点を求めることは

x^{3} + p^{2} x = p^{2} q

という三次方程式の実数解を与えるのと同じである。

一般に、

aテンプレート:Sub xテンプレート:Sup + aテンプレート:Sub xテンプレート:Sup + aテンプレート:Sub x + aテンプレート:Sub = 0 (aテンプレート:Sub ≠ 0)

という三次方程式は

x^{2} = p y (p > 0)

aテンプレート:Sub pテンプレート:Sup yテンプレート:Sup + aテンプレート:Sub p x y + aテンプレート:Sub xテンプレート:Sup + aテンプレート:Sub x = 0 (aテンプレート:Sub ≠ 0)

というように、放物線と、もう 1 つの円錐曲線の組み合わせでも書けるし

x^{2} = p y

(a_{3} x + a_{2}) p y + a_{1} x + a_{0} = 0

のように、放物線と双曲線の交点としても表すことができる。

歴史

古代バビロニアでは、数表を用いて三次方程式の解の近似値を得ていた。

古代ギリシアでは、三大作図問題の一つとして知られる立方体倍積問題が、キオスのヒポクラテスによって、与えられた 2 つの数テンプレート:Math から

テンプレート:Math

となる数テンプレート:Math2 を求めるという、比の問題に帰せられた。

メナイクモス^[1]は、ヒポクラテスのアイデアから円錐曲線を思いつき、立方体倍積問題を円錐曲線による作図によって解いた。この業績によって、メナイクモスは、円錐曲線の発見者と考えられている。立方体倍積問題は

テンプレート:Math

の形の三次方程式を解くことと同じであり、メナイクモスによる方法は、三次方程式の幾何学的解法の一つと考えられ、円錐曲線の数表を計算しておけば、三次方程式の解の近似値も得ることができることになる。しかし、一般に円錐曲線は、プラトンの束縛の下で作図できる曲線ではないため、円錐曲線による幾何学的解法は立方体倍積問題の解法とは見なされない。このような円錐曲線の研究は、アルキメデスやイブン・ハイサム等を経て、セルジューク朝期ペルシアのウマル・ハイヤームにより拡張され、様々な形をした三次方程式の解が、円錐曲線同士の交点として調べられ、網羅された。

三次方程式の代数的解法は、16世紀頃にボローニャ大学のシピオーネ・デル・フェッロによって発見されたとされる。デル・フェロの解いた三次方程式は

テンプレート:Math (テンプレート:Math およびテンプレート:Math は正）

という形の物である。当時はまだ、負の数はあまり認められていなかったため、係数を正に限った形をしている。

この方程式自体は特殊な形であるものの、一般の三次方程式はこの形に変形できるため、本質的には三次方程式はデル・フェロが解いたといっても過言ではない。また、この方程式の場合は係数の符号の制約から還元不能にはならない。

デル・フェロは、この解法を公開せず、何人かの弟子に託して1526年に死んだ。そのうちの一人、テンプレート:仮リンク (Antonio Maria del Fiore) は、この方法を、当時盛んに行われていた、金銭を賭けた計算勝負に使い、勝ち続けた。

三次方程式の解法があるという噂を元にタルタリアは、独力かどうかは分からないが

テンプレート:Math (テンプレート:Math およびテンプレート:Math は正）

の形の三次方程式を解くことに成功し、さらにはデル・フェロの三次方程式の解法にも辿り着いた。タルタリアが三次方程式を解いたとの噂を聞いたフィオーレは噂を信用せずタルタリアに計算勝負を挑み、打ち負かして名声を上げようとしたものの、デル・フェロの三次方程式の解法しか知らなかったため、計算勝負に負けた。

タルタリアが三次方程式の代数的解法を知っていると聞いたカルダノはタルタリアに頼み込み、三次方程式の代数的解法を聞き出すことに成功した。カルダノは、弟子のルドヴィコ・フェラーリが得た、一般的な四次方程式の代数的解法と併せて、三次方程式の代数的解法を出版したいと考えるようになったが、タルタリアとの約束で秘密にすると誓ったために、出版することはできなかった。そこで、かつてデル・フェロが、三次方程式の代数的解法を得たという噂を頼りに、フェラーリとボローニャに行き、デル・フェロの養子のアンニバレ・デラ・ナーヴェ (Annibale della Nave) に会い、デル・フェロの遺稿を見せてもらった。それによってカルダノは、タルタリアが三次方程式を解いた最初の人ではないことを知ったので、タルタリアとの約束は無効とし1545年に『アルス・マグナ』(Ars Magna) を出版し、様々な形の三次方程式の解法を公表した。以来、三次方程式の解法はカルダノの方法と呼ばれるようになった。このことはタルタリアを激怒させ論争に発展したが、カルダノは『アルス・マグナ』の中でデル・フェロとタルタリアの功績について賞賛しており、独自の方法と偽ったわけではない。また、タルタリアから解の導出方法までは聞いておらず、色々な形の三次方程式について解を表したことはカルダノ自身の業績である。

脚注

↑ ^1.0 ^1.1 テンプレート:Kotobank

外部リンク

テンプレート:多項式

[menaechmus-1] 1.0 ^1.1 テンプレート:Kotobank

[1]

三次方程式

目次

概要

解の様子

代数的解法

カルダノの方法

還元不能の場合

ビエトの解

ラグランジュの方法

一般解

円錐曲線による作図

歴史

脚注

外部リンク

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カルダノの方法

還元不能の場合

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