複素共役

複素数 テンプレート:Mvar の複素共役 テンプレート:Math を取る操作は、複素数平面では実軸対称変換に当たる。

数学において、複素共役（複素共軛、ふくそきょうやく、テンプレート:Lang-en-short）とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作（写像）のことである。複素数 テンプレート:Mvar の共役複素数を記号で テンプレート:Math で表す

複素数 テンプレート:Math2（テンプレート:Math2 は実数、テンプレート:Mvar は虚数単位）の共役複素数 テンプレート:Overline は

$\bar{z}=a-bi$

である。極形式表示した複素数 テンプレート:Math（テンプレート:Math2, テンプレート:Mvar は実数）の共役複素数 テンプレート:Overline は、偏角を反数にした複素数である：

$\bar{z}=r\{\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )\}$

複素数の共役をとる複素関数 テンプレート:Math2 は環同型である。すなわち次が成り立つ。

• テンプレート:Math
• テンプレート:Math

複素共役は実数を変えない：

• テンプレート:Mvar が実数 ⇔ テンプレート:Math

逆に、テンプレート:Mathbf 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。

複素共役変換は、テンプレート:Mathbf の全ての点で複素微分不可能である。

複素共役変換を テンプレート:Mathbf 上の線型変換と見ると、その表現行列は

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

代数方程式について、

「実係数多項式 テンプレート:Math が虚数根 テンプレート:Mvar をもつならば、テンプレート:Mvar の共役複素数 テンプレート:Math も テンプレート:Math の虚数根である」

すなわち

実係数多項式 テンプレート:Math について、テンプレート:Math2

が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。

定義と特徴づけ

複素数 テンプレート:Math（テンプレート:Math2 は実数、テンプレート:Mvar は虚数単位）の複素共役とは、

$\bar{z}=a-bi$

を取る操作のことである。この写像を複素共役変換という。

複素共役変換は環同型写像である。すなわち、複素共役変換 テンプレート:Math2 に対して、次が成り立つ。

• テンプレート:Math2 は全単射
• テンプレート:Math
• テンプレート:Math

さらに、複素共役は実数を保つ：

• テンプレート:Mvar が実数 テンプレート:Math2

逆に、テンプレート:Mathbf 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。 テンプレート:See also （証明）

テンプレート:Math2 は環準同型写像で、

実数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math

を満たすとする。

テンプレート:Math

テンプレート:Math

テンプレート:Math

ゆえに、複素数 テンプレート:Math（テンプレート:Math2 は実数）に対して、

テンプレート:Math

テンプレート:Math のとき、テンプレート:Mvar は恒等写像。

テンプレート:Math のとき、テンプレート:Mvar は複素共役変換である。（証明終）

性質

計算法則

テンプレート:Math2 を複素数とする。以下の性質が成り立つ。

• $z$ が実数 ⇔ $\bar{z}=z$
  • $z$ が純虚数 ⇔ $\bar{z}=-z\ne 0$
• $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$
  • $\overline{z-w}=\bar{z}-\bar{w}$
• $\overline{zw}=\bar{z}\cdot \bar{w}$
  • $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}(w\ne 0)$
  • $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n$（テンプレート:Mvar は整数）

上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。

• $\overline{\stackrel{‾}{z}}=z$（対合）
• $|z|=|\bar{z}|$
• $z\bar{z}=|z{|}^2$
• $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z$
• $z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}z$
• $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}(z\ne 0)$
  • 逆数は、絶対値と共役で表せる。

複素数の種々の値

複素共役を用いると、複素数の実部・虚部、絶対値・偏角を表すことができる。

• $\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2}$
• $\mathrm{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i}$
• $\left|z\right|=\sqrt{z\bar{z}}$
• $e^{i\arg z}=\sqrt{\frac{z}{\bar{z}}}$

代数方程式

実係数多項式 テンプレート:Math が虚数根 テンプレート:Mvar をもつならば、テンプレート:Mvar の共役複素数 テンプレート:Math も テンプレート:Math の根である。すなわち、実数係数多項式 テンプレート:Math について

$f(\alpha )=0⟺f(\bar{\alpha })=0$

が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。

複素解析

複素共役変換 テンプレート:Math2 は、テンプレート:Mathbf の全ての点で複素微分不可能である。

実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において

$\exp (\bar{z})=\overline{\exp (z)}$

$\log (\bar{z})=\overline{\log (z)}$（ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について）

が成り立つ。

複素数空間

複素線形空間 テンプレート:Math の標準内積 テンプレート:Math2 は次の式で定義される：

$𝒙=(x_1,\cdots ,x_n),𝒚=(y_1,\cdots ,y_n)\in {ℂ}^n$ に対して、

$⟨𝒙,𝒚⟩:=\sum _{i=1}^n{x}_i\overline{y_i}$

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 共役
• 複素数
• 複素平面
• 虚数

外部リンク

• テンプレート:Kotobank
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld

テンプレート:複素数