写像

テンプレート:出典の明記 テンプレート:専門的 写像（しゃぞう、テンプレート:Lang-en-short）は、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。関数、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。

ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「関数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「関数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも関数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価関数参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合実数体 テンプレート:Math または複素数体 テンプレート:Math の部分集合）を終域に持つ写像」をして特に「関数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。関数、二項関係、対応の各項も参照のこと。

定義

素朴な説明

テンプレート:Seealso 集合 テンプレート:Mvar の各元に対してそれぞれ集合 テンプレート:Mvar の元をただひとつずつ指定するような規則 テンプレート:Mvar が与えられているとき、テンプレート:Mvar を「定義域（あるいは始域） テンプレート:Mvar から終域 テンプレート:Mvar への写像」といい

$f:A\to B,A\stackrel{f}{\to }B$

などと表す。また テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar で（あるいは テンプレート:Mvar の上で）定義されているといい、あるいはまた テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に（あるいは テンプレート:Mvar の中に）値を持つという。始域 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math、終域 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math のように記すこともある。また、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar によって指定される テンプレート:Mvar の元が テンプレート:Mvar である（このことを、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar によって テンプレート:Mvar に写されるという）とき、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の像あるいは値（あたい、テンプレート:Lang）と呼び、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math で表す。 テンプレート:Mvar によって テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Math に写されることは、 テンプレート:Indent という記法で表されるテンプレート:Sfn。テンプレート:要出典範囲。

相等関係

2つの写像 テンプレート:Math、 テンプレート:Math の相等関係について、次が成り立つ： テンプレート:Indent

関係の一種として定義する場合

テンプレート:Seealso 集合論においては、集合 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係）テンプレート:Mvar が

• テンプレート:Math ならば テンプレート:Math を満たす テンプレート:Math が存在する
• テンプレート:Math かつ テンプレート:Math ならば テンプレート:Math

の二つをみたすとき、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への関数と呼び、テンプレート:Math で表す。またこのとき、テンプレート:Math であることを テンプレート:Math と書く。この文脈では、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar のグラフ テンプレート:Math} を同一視し、関数と写像を同じ意味に用いる。 二つの写像 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の相等は、集合として同一であるということ、すなわち

テンプレート:Math

ということであるが、これは（ テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の定義域が等しく、かつ）任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math であることと同値である。

3つの集合からなる組の一種として定義する場合

一方、圏論の用語との整合性を重んじる文脈では、次のようになる。 集合 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係）テンプレート:Mvar が

• 全域性: テンプレート:Math ならば テンプレート:Math を満たす テンプレート:Math が存在する
• 右一意または関数的: テンプレート:Math かつ テンプレート:Math ならば テンプレート:Math

の二つをみたすとき、三つ組 テンプレート:Math をこの関数関係 テンプレート:Mvar から定まる テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像と呼び、テンプレート:Math で表す。またこのとき、テンプレート:Math であることを テンプレート:Math と書き、テンプレート:Mathを写像 テンプレート:Mvar のグラフと呼ぶ。二つの写像 テンプレート:Math と テンプレート:Math の相等は、三つ組としての相等をいう。特に、テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar がともに テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像のとき、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が等しいというのは、この二つの写像のグラフテンプレート:Math と テンプレート:Mathとが テンプレート:Math の集合として同一であるということ、すなわち

テンプレート:Math

ということであるが、これは任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math であることと同値なので、素朴な意味で写像 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が等しいと言ったときと同じ意味となる。

圏論の用語と整合性をとる文脈では、写像の相等を扱う際の、二つの写像が「ともに テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への」写像であるという但し書きは重要である。例えば テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar から テンプレート:Math なる テンプレート:Math への写像 テンプレート:Mvar について、集合として テンプレート:Math（つまりグラフが一致）でも三つ組としては異なるから、この二つの写像は同一でない。実際、テンプレート:Math なる元の対応で定められる二つの写像 テンプレート:Math と テンプレート:Math を考えると後者は全射性を持つが前者はそうでない（値域・終域の各項も参照）。

テンプレート:要出典範囲。テンプレート:要出典範囲。

例

自明な写像

• 集合 テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar 自身を対応させると、これは テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像になる。この写像を恒等写像といい、テンプレート:Math や テンプレート:Math や テンプレート:Math などで表す。
• テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の部分集合とするとき、テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar 自身を テンプレート:Mvar の元として対応させる テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像を包含写像といい、テンプレート:Math や テンプレート:Math などで表す。
• テンプレート:Math とする。テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Math について、テンプレート:Math の各元 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Math を対応させると、これは テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への写像になる。この写像を テンプレート:Mvar の テンプレート:Math への制限写像といい、テンプレート:Math と表す。
• テンプレート:Mvar が空集合のとき、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像はただ一つ存在し、これを空写像と呼ぶ。空写像に対応するグラフは空集合である。テンプレート:Mvar の元が存在しないので何の対応も定めてはいないが、これも立派な写像である。素朴な定義では、テンプレート:Mvar が写像であるとは「テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の元ならば テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Math がただ一つ定まる」が成り立つことであったが、テンプレート:Mvar が空集合ならば「テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の元」は偽であるから、この命題は真である。この議論は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が共に空集合である場合も通用するので、空集合から空集合への写像は空写像ただ一つであるテンプレート:Efn。

一般の例

• テンプレート:Math に 絶対値 テンプレート:Math を対応させる テンプレート:Math は写像である。これは全射であるが単射ではない。
• テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 次実一般線型群、即ち正則な実 テンプレート:Mvar 次正方行列の全体とする。行列 テンプレート:Math にその行列式 $\det A\in {ℝ}^{\times }:=ℝ\setminus \{0\}$ を対応させる対応 テンプレート:Math は写像になる。これも全射であるが テンプレート:Math のとき単射ではない。
• テンプレート:Math を テンプレート:Math （実係数2次多項式全体）で定める。多項式 テンプレート:Math にその判別式 テンプレート:Math を対応させる対応 テンプレート:Math は写像である。これも全射であるが単射ではない。
• $x\in ℝ$ に $\lfloor x\rfloor :=\max \{n\in \mathbb{Z}\mid x\ge n\}$ （$x$ 以下の最大の整数）を対応させる対応 $\lfloor \cdot \rfloor :ℝ\to \mathbb{Z}$ は床関数といわれる。同様に、$\lceil x\rceil :=\min \{n\in \mathbb{Z}\mid x\le n\}$ （$x$ 以上の最小の整数）を対応させる対応 $\lceil \cdot \rceil :ℝ\to \mathbb{Z}$ は天井関数といわれる。どちらも、全射であるが単射ではない。
• $z=a+bi\in ℂ$ に実部, 虚部を対応させる写像 $\mathrm{R}\mathrm{e}:ℂ\ni z\mapsto a\in ℝ$, $\mathrm{I}\mathrm{m}:ℂ\ni z\mapsto b\in ℝ$ はともに全射であるが単射でない.
• テンプレート:Mvar 個の空でない集合 テンプレート:Mvar の直積集合 $X_1\times \cdots \times X_n$ から テンプレート:Mvar への写像 テンプレート:Mvar を次のように定める: $p_i:X_1\times \cdots \times X_n\ni (x_1,\dots ,x_n)\mapsto x_i\in X_i.$ これは $X_1\times \cdots \times X_n$ から テンプレート:Mvar への第 $i$ 射影（$i$ -th projection）といわれる. これは全射であるが単射でない.

各分野で代表的な写像

• 線型空間の間の線型写像
• 群や環等の間の準同型写像
• 距離空間や位相空間の間の連続写像
• 順序集合の間の単調写像
• 可微分多様体間の可微分写像

など。これらはどれも、圏論における射の例になっている。（#射・関手）

定値写像

テンプレート:Mvar を集合とする。写像 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math をみたすとき、テンプレート:Mvar は定値写像といわれる。テンプレート:Mvar が空でないとき、定値写像とはその像が一元集合となるものである。テンプレート:Mvar が空であるときは、文献によって扱いが異なる。

基本概念

像・逆像

テンプレート:Main テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の部分集合とするとき、テンプレート:Mvar によって テンプレート:Math に写される始域 テンプレート:Mvar の元全体からなる集合 テンプレート:Math を テンプレート:Math の逆像または原像といい、テンプレート:Math で表すテンプレート:Efn。

テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Mvar の元の テンプレート:Mvar による像たちの全体からなる終域 テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による像といい、テンプレート:Math, テンプレート:Math などで表す。特に テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による像 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の値域 テンプレート:Lang と呼び、テンプレート:Math, テンプレート:Math などで表すテンプレート:Efn。つまり、写像 テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math の値域 テンプレート:Math は

$\mathrm{ran}(f)=\{y\mid \mathrm{\exists }x((x,y)\in G_f)\}\subseteq B$

で定義される。

合成

テンプレート:Main 2つの写像 テンプレート:Math、 テンプレート:Math が与えられたとする。そのとき、 テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar に テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Math を対応させる テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像が1つ得られるテンプレート:Sfn。その写像を テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar との合成写像（あるいは積）といい、 テンプレート:Math（または テンプレート:Mvar ）で表す： テンプレート:Indent 写像 テンプレート:Math、 テンプレート:Math、 テンプレート:Math が与えられたとき、

• テンプレート:Math　　（結合律）、
• テンプレート:Math、　テンプレート:Math

が成り立つテンプレート:Sfn。（なお、写像の合成について交換律は成り立たないテンプレート:Sfn）これらのことから、特に テンプレート:Mvar からそれ自身への写像（テンプレート:Mvar 上の変換）全体の集合は恒等写像を単位元とする非可換モノイドをなすことがわかる。

全射・単射および逆写像

全射であり単射でない。

単射であり全射でない。

全単射。

全射・単射・全単射

右全域性「テンプレート:Math について テンプレート:Math」が成り立つとき（つまり値域と終域が一致するとき）、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への全射という。

左一意性「テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math ならば テンプレート:Math」が成り立つとき、 テンプレート:Mvar を単射という。包含写像は単射である。単射の制限写像も単射である。

テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への全射 テンプレート:Mvar がさらに単射でもあるとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への全単射であると言われる。定義域を テンプレート:Mvar とする任意の単射 テンプレート:Mvar はあきらかにその値域 テンプレート:Math への全単射である。

逆写像

テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への全単射とする。そのとき、 テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar に対して、 テンプレート:Math であるような テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar がちょうど1つ存在する。そこで、 テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar にそのような テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar を対応させる テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像を テンプレート:Mvar の逆写像といい、テンプレート:Math と表す。定義より次が成り立つ： テンプレート:Indent テンプレート:Mathは テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への全単射である。テンプレート:Math の構成から、

$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_A,f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_B$

であることが分かる。

関連概念および定理

テンプレート:Mvar からそれ自身への全単射全体の集合を テンプレート:Math とすると、写像の合成は結合法則を満たし、恒等写像を単位元として、任意の全単射が逆写像を逆元に持つから、これは群をなす。特に テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 個の元からなる有限集合の場合の テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 次対称群という。

テンプレート:Math, テンプレート:Math の合成 テンプレート:Math が定義可能で全単射であるとき、テンプレート:Mvar が全射であることおよび テンプレート:Mvar が単射であることが容易に確かめられるが、このことの逆も次の意味で成り立つ。

• テンプレート:Math が全射であるとき、（選択公理を仮定すると）テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像 テンプレート:Mvar が存在して右可逆性 テンプレート:Math が成り立つ。この テンプレート:Mvar のことを、テンプレート:Mvar の右逆写像という。
• テンプレート:Math （テンプレート:Math）が単射であるとき、B から テンプレート:Mvar への写像 テンプレート:Mvar が存在して左可逆性 テンプレート:Math が成り立つ。この テンプレート:Mvar のことを、テンプレート:Mvar の左逆写像という。

この二つの事実には、正確に逆が成り立つ。従って、全射と単射を次のように定義することもできる；

写像 テンプレート:Mvar が右逆写像を持つとき、テンプレート:Mvar を全射といい、テンプレート:Mvar が左逆写像を持つとき、テンプレート:Mvar を単射という。

写像の構成法

既知の写像から別の新たな写像を構成する方法をいくつか示す。

制限と延長

テンプレート:Main 写像の定義域をより小さな部分集合に取り換えることで写像の制限 (restriction) または縮小テンプレート:Sfnが定義される。すなわち、写像 テンプレート:Math と部分集合 テンプレート:Math が任意に与えられたとき、任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math と置くことにより定義される写像 テンプレート:Math を写像 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への（定義域の）制限と呼ぶ。写像 テンプレート:Mvar の適当な制限が テンプレート:Mvar に一致するとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の延長 (continuation) または拡大テンプレート:Sfnもしくは拡張 (extension) であるという。終域の制限や延長を考えることもある。また写像の制限の記号は誤解のおそれが無い限り省略されることも多い。

直和

テンプレート:Main ふたつの写像 テンプレート:Math, テンプレート:Math で、それらの定義域が交わりを持たない (テンプレート:Math) とき、これらのグラフの合併として写像の直和 テンプレート:Math を定義する。これは具体的に

$(f\oplus g)(\xi )=\{\begin{array}{cc}f(\xi )& (\xi \in X)\\ g(\xi )& (\xi \in W)\end{array}$

と書ける区分的に定義された写像である。より一般に、テンプレート:Math のとき、二つの写像の テンプレート:Math への制限が テンプレート:Math を満たすとき、直和写像 テンプレート:Math は well-defined で、

$(f\oplus g)(\xi )=\{\begin{array}{cc}f(\xi )& (\xi \in X\setminus W)\\ f{|}_{X\cap W}(\xi )=g{|}_{X\cap W}(\xi )& (\xi \in X\cap W)\\ g(\xi )& (\xi \in W\setminus X)\end{array}$

を満たす。直和 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の共通の延長として最小であり、直和のグラフはそれぞれの写像のグラフの合併である。直和は可換である。

さらに一般の場合に、テンプレート:Math の テンプレート:Math による上書き和 (override union) と呼ばれる テンプレート:Mvar の延長 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar のグラフの合併として与えられ、

$(f\oplus g)(\xi )=\{\begin{array}{cc}f(\xi )& (\xi \in X)\\ g(\xi )& (\xi \in W\setminus X)\end{array}$

と書ける。上書き和は一般には可換でない。

直積

ふたつの写像 テンプレート:Math, テンプレート:Math に対して、写像の直積 テンプレート:Math は

$(f\times g)(x,y):=(f(x),g(y))(x\in X,y\in Y)$

で与えられる。

商と標準分解

任意の写像 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar 上の二項関係 テンプレート:Math を

$a{\sim }_{f}b⟺f(a)=f(b)$

で定めると テンプレート:Math は同値関係で、写像 テンプレート:Mvar に付随する同値関係テンプレート:Sfnと呼ばれる。この同値関係による類別を考えることにより テンプレート:Mvar は等位集合 テンプレート:Math の和に分割される。このとき、商集合 テンプレート:Mvar からの写像

$\phi :X/{\sim }_f\to \mathrm{ran}(f)(\subset Y);C(y)\mapsto y$

は well-defined で、テンプレート:Mvar の同値関係 テンプレート:Math による商写像あるいは テンプレート:Mvar に付随する全単射テンプレート:Sfnと呼ぶ。写像系列

$f:X\stackrel{\pi }{\twoheadrightarrow }X/{\sim }_f\stackrel{\phi }{\to }\mathrm{ran}(f)\stackrel{\iota }{\hookrightarrow }Y,$

あるいは等式 テンプレート:Math （ただし、テンプレート:Math は自然な全射、テンプレート:Math は自然な単射）を写像 テンプレート:Mvar の標準分解テンプレート:Sfnと呼ぶ。

写像の集合

テンプレート:Main テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像全体の成す集合は配置集合テンプレート:Sfn (テンプレート:Lang-de-short) と呼ばれ、しばしば指数記法に従って テンプレート:Mvar（あるいは テンプレート:Mvar）と書かれる。テンプレート:要出典範囲。配置集合は $[X\to Y],ℱ(X,Y),\mathrm{Map}(X,Y)$ とも書かれる。

• 濃度の冪は配置集合の濃度と定義される: テンプレート:Math。

テンプレート:要出典範囲

テンプレート:要出典範囲。

写像図式

テンプレート:Main 複数の集合と写像を一度に扱う必要があるとき、図式や系列と呼ばれる道具を用いると記述が簡素になる。ホモロジー代数や圏論の文脈ではよく用いられる。写像の図式テンプレート:Sfnとは、いくつかの集合を頂点とし、それらの集合間の写像を有向辺にもつようなグラフである。簡単な図式の例としては鎖 $A_1\stackrel{f_1}{\to }{A}_2\stackrel{f_2}{\to }{A}_3$ や

• 
  写像の合成: 可換三角形
• 
  可換矩形

などを挙げることができる。任意の頂点から別の任意の頂点への写像が経路の取り方に依らないとき、図式は可換であるというテンプレート:Sfn。例えば テンプレート:Math のとき図式

は可換であり、逆もまた成り立つ。

一般化と応用

部分写像

テンプレート:Main 一般には、定義域と始域が異なる（値の定められていない始域の元が存在する）という場合も考え得る。集合 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係）テンプレート:Mvar が

• 右一意性: テンプレート:Math かつ テンプレート:Math ならば テンプレート:Math

をみたすとき テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への関数関係であると言われる。このとき、三つ組 テンプレート:Math をこの関数関係 テンプレート:Mvar から定まる テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への部分写像と呼びテンプレート:Efn、テンプレート:Math で表す。部分写像 テンプレート:Math すなわち テンプレート:Math の定義域 テンプレート:Math と値域 テンプレート:Math は次のように定義される：

$\mathrm{dom}(f)=\{x\mid \mathrm{\exists }y((x,y)\in G_f)\}\subseteq A,\mathrm{ran}(f)=\{y\mid \mathrm{\exists }x((x,y)\in G_f)\}\subseteq B.$

写像の定義の際には課した関係の全域性は、部分写像 テンプレート:Mvar の定義域 テンプレート:Math が始域 テンプレート:Mvar に一致することをいうものであり、全域的な部分写像を特に全域写像 (テンプレート:Lang) と呼ぶ。すなわち、全域写像は写像の同義語であるテンプレート:Efn。

多変数・多価の写像

テンプレート:Main 写像の多変数化による一般化を考えると、それは始域を何らかの直積集合に取り換えた通常の意味の写像として扱える。とくに一つの集合 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math なる形の多変数写像は テンプレート:Mvar の複数の元から別の新しい元を作り出す操作と見做して算法と呼ばれるテンプレート:Sfn。

多値の関数の場合も終域を直積集合に取り換えた写像として定式化することができる場合もあり、例えばベクトル値関数 はスカラー値関数の直積として理解できる。しかし単純にそのように捉えることができない場合、あるいは捉えないほうがよい場合もある。例えば多価の複素解析関数は、分岐切断を超えてそれぞれの分枝の間に素性の良い関係性を記述することができ、適当なリーマン面上で定義された通常の関数と考えることが有効である。

射・関手

テンプレート:Main 写像は集合と写像の圏における射であり、一般にテンプレート:仮リンクにおける射はある種の写像として与えられるが、一般の圏における射は必ずしも写像でない。

圏の間の関手は、集合の間の写像と似た概念だが、対象同士の対応関係とともに対象間の射についても同時に対応関係を記述する。さらに、関手間の射として自然変換の概念が定式化される。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 射 (圏論)
• 列 (数学)
• 族 (数学)

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:Cite web
• テンプレート:Kotobank