射影 (集合論)

テンプレート:About 数学の集合論における射影（しゃえい、テンプレート:Lang-en-short）あるいは射影写像、特に標準射影は順序組に対してその一つの成分を対応させる写像であるテンプレート:Sfn。より一般に射影は、集合の添え字付けられた任意の族の直積（デカルト積）上で定義された、元の族から特定の添字をもつ成分を選び出す写像を言う。選択公理を仮定すれば、空でない集合からなる任意の族に関して、射影は必ず全射になる。

射影は、集合論、位相空間論、テンプレート:仮リンクなど様々な分野において、あるいはまた、リレーショナルデータベースにおける演算としても用いられる。場合により、座標函数 (テンプレート:En) や 評価写像 (テンプレート:En などと呼ばれることもある。

定義

任意の添字集合 テンプレート:Mvar を持つ集合族 テンプレート:Math に対し、それらのデカルト積 テンプレート:Math を考える。いま テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の部分集合とすれば、テンプレート:Mvar 上の射影 テンプレート:Mvar とは、写像

${\pi }_J:X_I\to X_J,(x_i{)}_{i\in I}\mapsto (x_j{)}_{j\in J}$

を言う。すなわち、射影 テンプレート:Mvar によって元の族 テンプレート:Math は、添字集合 テンプレート:Mvar で添字付けられた元の族となる。添字集合が一元集合 テンプレート:Math であるときには、射影 テンプレート:Mvar は簡単に テンプレート:Mvar とも書かれるテンプレート:Sfn。

例

順序対の成分

添字集合がちょうど二つの元からなるとき、それを テンプレート:Math とすれば、考えるデカルト積は テンプレート:Math で、これは二つの集合 テンプレート:Math の元の順序対全体の成す集合である。このとき、順序対 テンプレート:Math の第一および第二成分への射影が

${\pi }_1:X_1\times X_2\to X_1,(x_1,x_2)\mapsto x_1$

および

${\pi }_2:X_1\times X_2\to X_2,(x_1,x_2)\mapsto x_2$

によって与えられる。例えば テンプレート:Math がユークリッド平面上の点のデカルト座標の場合には、射影 テンプレート:Math および テンプレート:Math はそれぞれ、この点の テンプレート:Mvar-座標および テンプレート:Mvar-座標を与えるものである。これら射影は形式的には、二つある各座標へのテンプレート:仮リンク（すなわち テンプレート:Math および テンプレート:Math で与えられる写像 テンプレート:Math）とは異なる。

成分への標準射影

添字集合が テンプレート:Mvar 個の元からなる テンプレート:Math であるとき、デカルト積 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar-番目の成分が テンプレート:Math となっているような テンプレート:Mvar-組の集合である。第 テンプレート:Mvar-成分への標準射影 テンプレート:Mvar は写像

${\pi }_j:X_1\times \dots \times X_n\to X_j;(x_1,\dots ,x_n)\mapsto x_j$

として与えられ、この値は テンプレート:Mvar-番目の成分のみからなる一元集合としての順序組であるテンプレート:Sfn。任意の順序組 テンプレート:Math は テンプレート:Math と書くことができる。

評価写像

任意の直積因子 テンプレート:Mvar がすべて同じ集合 テンプレート:Mvar であるとき、デカルト積 テンプレート:Math は集合 テンプレート:Math 全体の成す集合である。この場合の射影 テンプレート:Mvar は写像

${\pi }_j:X^I\to X;f\mapsto {\pi }_j(f)=f(j)$,

で、これは各写像に対して引数 テンプレート:Mvar に対するその写像の値を割り当てるものになっている。ゆえにこの写像は評価写像とも呼ばれるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

性質

全射性

添字集合 テンプレート:Mvar に対し各集合 テンプレート:Mvar が空でないとき、射影は全射であり、したがって

${\pi }_J(X_I)=X_J$

を満たす。しかし、空でない集合からなる任意の集合族のデカルト積が空でないことを保証するには選択公理が必要である。実は上に挙げた主張が成り立つのは選択公理と同値である。したがって選択公理の仮定の下、空でない集合からなる任意の集合族に対して、任意の射影は必ず全射であるテンプレート:Sfn。

逆像

テンプレート:Math が添字集合 テンプレート:Mvar の真の部分集合で、テンプレート:Math を射影 テンプレート:Mvar の終域の部分集合とするとき、テンプレート:Mvar の逆像は

${\pi }_J^{-1}(W)=W\times X_{I\setminus J}=\{(x_i{)}_{i\in I}\in X_I\mid (x_j{)}_{j\in J}\in W\}$

と書くことができる。従って集合 テンプレート:Math はテンプレート:仮リンクでもあるテンプレート:Sfn。

応用

位相空間論

各添字 テンプレート:Math に対する集合 テンプレート:Mvar が位相空間であるとき、デカルト積 テンプレート:Mvar 上の積位相は全ての射影 テンプレート:Mvar を連続にするテンプレート:仮リンク（開集合が最も少ない位相）をいう。このとき、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の開集合であるときの円筒集合 テンプレート:Math 全体の成す集合が、積空間 テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクを成す。積空間を以下のような圏論的直積の普遍性によって特徴づけることもできる:

積位相空間の普遍性

任意の位相空間 テンプレート:Mvar と連続写像の族 テンプレート:Math の組が与えられれば、一意的な連続写像 テンプレート:Math が存在して テンプレート:Math が任意の テンプレート:Mvar に対して成立する。

逆に、与えられた写像 テンプレート:Math が連続ならば、任意の射影 テンプレート:Math は連続である。連続性に加えて、任意の射影 テンプレート:Math は開写像、すなわち積空間 テンプレート:Mvar の各開部分集合 テンプレート:Math の射影像が テンプレート:Mvar の開集合となる。ただし、逆は成り立たない: すなわち積空間の部分集合 テンプレート:Math の射影 テンプレート:Math がすべて開でも、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar において開とは限らない。射影 テンプレート:Math は一般には完備でもない。

測度論

可測空間の族 テンプレート:Math に対し、テンプレート:仮リンク

$\underset{i\in I}{⨂}{𝒜}_i=\sigma \left(\{{\pi }_j^{-1}(A_j)\mid A_j\in {𝒜}_j,j\in I\}\right)=\sigma (\bigcup _{j\in I}{\pi }_j^{-1}({𝒜}_j))$

は、デカルト積 テンプレート:Math 上の、テンプレート:Math への射影をすべて可測にする最小の テンプレート:Mvar-集合体である。この直積 テンプレート:Mvar-集合体は、任意の有限添字集合 テンプレート:Mvar に対する円筒集合族が生成するものとして定めることもできる。測度論およびテンプレート:仮リンクにおいて、直積 テンプレート:Mvar-集合体は測度空間の直積および確率空間の直積を定める基礎を与えるテンプレート:Sfn。

計算機科学

射影はリレーショナルデータベースの演算としても用いられる。テンプレート:Mvar を関係、テンプレート:Math を属性の部分集合とすれば、射影の結果

${\mathrm{\Pi }}_{A_1,\dots ,A_k}(R)=\{T[A_1,\dots ,A_n]\mid T\in R\}$

は特定の属性のリストにある属性に制約した新たな関係となる。得られた新しい関係では重複するエントリーは除かれている。

関連項目

• 制限 (数学)
• 包含写像
• 商写像
• ファイバー束

参考文献

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