恒等写像

数学における恒等写像（こうとうしゃぞう、テンプレート:Lang-en-short）、恒等作用素（こうとうさようそ、テンプレート:Lang-en-short）、恒等変換（こうとうへんかん、テンプレート:Lang-en-short）は、その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような写像である。集合論の言葉で言えば、恒等写像は恒等関係（こうとうかんけい、テンプレート:Lang-en-short）である。

定義

厳密に述べれば、テンプレート:Mvar を集合として、テンプレート:Mvar 上の恒等写像 テンプレート:Mvar とは、定義域および終域がともにテンプレート:Mvar であるような写像であって、テンプレート:Mvar の任意の元テンプレート:Mvar に対して

を満たすものを言う^[1]。言葉で書けば、テンプレート:Mvar 上の恒等写像は、テンプレート:Mvar の各元テンプレート:Mvar にテンプレート:Mvar 自身を対応させて得られるテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への一つの写像である^[2]。

写像を二項関係と見るならば、恒等写像は恒等関係と呼ばれるテンプレート:仮リンク、即ちテンプレート:Mvar の対角集合 (diagonal set) テンプレート:Math} で与えられる^[3]。

テンプレート:Math を任意の写像とすると、

f \circ {id}_{M} = f = {id}_{N} \circ f

モノイドの単位元はただ一つであるから、テンプレート:Mvar 上の恒等写像の別な定義として、全変換モノイドの単位元として定めることも可能である。このような定義は、圏論における恒等射の概念に一般化することができる。この文脈ではテンプレート:Mvar 上の自己型射が写像である必要はない。

正整数全体の成す乗法モノイドの上で恒等写像を考えると、それは本質的にテンプレート:Math-倍写像であり、また数論的函数の意味でテンプレート:仮リンクである^[4]
ベクトル空間上の恒等写像は線型写像である^[5]。テンプレート:Mvar-次元線型空間上の恒等写像はテンプレート:Math 単位行列テンプレート:Mvar を表現行列に持つが、これは基底の取り方に依らない^[6]。
距離空間における恒等写像は自明な意味で等長写像である。いかなる対称性も持たない任意の対象が、恒等写像のみからなる自明群をテンプレート:仮リンクとして持つ（対称型がテンプレート:Math である）^[7]。
- 単に台集合テンプレート:Mvar 上の恒等写像テンプレート:Math を考えた場合、テンプレート:Mvar 上の異なる距離テンプレート:Math に関して、恒等写像テンプレート:Math は二つの距離空間テンプレート:Math の間の等距変換とはならない。
位相空間テンプレート:Math と台集合テンプレート:Mvar 上の恒等写像テンプレート:Math を考えたとき、テンプレート:Math が連続写像となるための必要十分条件は、テンプレート:Math がテンプレート:Math よりも細かいことである。