直積集合

A = {x, y, z} と B = {1, 2, 3} との直積の図示

数学において、集合のデカルト積（デカルト­せき、テンプレート:Lang-en-short）または直積（ちょくせき、テンプレート:Lang-en-short）、直積集合、または単に積（せき、テンプレート:Lang-en-short）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。

具体的に二つの集合 テンプレート:Mvar に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 テンプレート:Math の順序対 テンプレート:Math 全てからなる集合をいうテンプレート:Sfn。テンプレート:仮リンク では

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\wedge b\in B\}$

と書くことができる。有限個の集合の直積 テンプレート:Math も同様の[[タプル| テンプレート:Mvar-組]]からなる集合として定義されるが、二つの集合の直積を入れ子 (nested) にして、テンプレート:Math と帰納的に定めることもできる。

注意

交換法則と結合法則

順序対 テンプレート:Math は、たとえ テンプレート:Math がともに テンプレート:Mvar にも テンプレート:Mvar にも属していたとしても、一般には テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。ゆえに、集合としても、テンプレート:Math または少なくともいずれか一方が空集合でない限り

$A\times B\ne B\times A$

である。すなわち、直積は二項演算として可換でない。

また厳密に言えば、直積は結合的でもない。すなわち、テンプレート:Math を集合とするとき、

$(A\times B)\times C,A\times (B\times C),A\times B\times C$

はすべて集合として異なる。しかし誤解の虞が無いならば、しばしばこれらの間の自然 (canonical) な全単射

$((a,b),c)\leftarrow \mapsto (a,(b,c))\leftarrow \mapsto (a,b,c)$

によって全て同一視（成分の並びを変えずに括弧だけを外）される。この同一視のもとで、直積は結合的二項演算を定める。その意味で テンプレート:Mvar-項直積 テンプレート:Math は二つの集合の直積をとることの繰り返し

$A_1\times \cdots \times A_n:=(A_1\times \cdots \times A_{n-1})\times A_n$

と定義することは可能である。

記法について

直積は添字集合 テンプレート:Mvar を伴う集合族 テンプレート:Math に対して定められるから、テンプレート:Math や テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math のように添字の動く範囲を明示するのが正確であるが、添字集合が明らかで誤解の虞のない場合にはしばしば省略した記法が用いられ、例えば テンプレート:Math, テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math のように書かれる。特に テンプレート:Math（同じ テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 個のコピーの直積）は テンプレート:Math, テンプレート:Mvar, テンプレート:Math などと書かれる。

直積集合の例

トランプのカード

標準的なトランプの52枚のデッキ

直積集合の視覚的にわかりやすい例としては、標準的な52枚一組のトランプのデッキがある。トランプのランクは {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} という 13 の元からなる集合である。スーツは テンプレート:Nowrap という 4 の元からなる集合である。この2つの集合の直積集合は、52 の組の元からなる集合であり、それぞれの元は、52枚のトランプのカードと1対1に対応している。

たとえば、テンプレート:Nowrap という直積集合は、

{(A, ♠), (A, テンプレート:Color), (A, テンプレート:Color), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, テンプレート:Color), (2, テンプレート:Color), (2, ♣)}

という集合であり、テンプレート:Nowrap という直積集合は、

{(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

という集合である。

直積集合の元は順序対なので、同じ元はひとつも含まれていない。

2次元直交座標系

点の直交座標の例

有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち テンプレート:Math（ℝ は実数）という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。 テンプレート:-

定義

有限直積

テンプレート:Mvar 個の集合 テンプレート:Math に対する直積集合を、$$\prod _{i=1}^n{A}_i=A_1\times A_2\times \cdots \times A_n:=\{(a_1,\dots ,a_n)\mid a_1\in A_1\wedge \dots \wedge a_n\in A_n\}$$ と定義するテンプレート:Sfn。ここで テンプレート:Math は テンプレート:Math の順序付けられた n-組である。

任意濃度の直積

必ずしも有限でない集合 テンプレート:Math で添字付けられる集合の族 テンプレート:Math それらの直積は、写像の集合 $$\{a:\mathrm{\Lambda }\to 𝐀\mid a(\lambda )\in A_{\lambda },\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}\subset \mathrm{Map}(\mathrm{\Lambda },𝐀)(𝐀:=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda })$$ と定義されるテンプレート:Sfn。これはまた テンプレート:Math と置けば、元の族の集合として $$\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }=\{(a_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mid a_{\lambda }\in A_{\lambda },\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$$ と書くこともできる。テンプレート:Math が有限ならばこれは先に述べた有限直積と一致するテンプレート:Efn。

標準射影

直積 テンプレート:Math に対し、各 テンプレート:Mvar をこの直積の直積因子と呼ぶ。各直積因子 テンプレート:Math に対し、標準的に定まる全射 $${\pi }_{\mu }:\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\to A_{\mu };(a_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mapsto a_{\mu }$$ を第 テンプレート:Mvar-成分への射影あるいは簡単に第 テンプレート:Mvar-射影などと呼ぶ。

デカルト冪

集合 テンプレート:Mvar に対し、それ自身の（任意個の）直積として得られる集合

$A\times A,A^2:=A\times A,\dots$

を得る演算を テンプレート:Mvar のデカルト冪 テンプレート:Lang と呼ぶ。非負整数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar-乗デカルト冪 (テンプレート:Mvarテンプレート:Sup Cartesian power) は

$A^n:=\prod _{i=1}^{n}A=\stackrel{n}{\overbrace{A\times A\times \cdots \times A}}=\{(a_1,a_2,\dots ,a_n)\mid a_i\in A,\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n\}$

で与えられる。一般の添字集合 テンプレート:Math に対して

$A^{\mathrm{\Lambda }}:=\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}A=\{(a_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\mid a_{\lambda }\in A\}=\mathrm{Map}(\mathrm{\Lambda },A)$

は テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への写像全体の成す集合に他ならないテンプレート:Efn。

集合 テンプレート:Mathbf を実数全体の作る実数直線とすれば、デカルト冪の例としてテンプレート:仮リンク テンプレート:Math, 三次元デカルト座標空間 テンプレート:Math, 一般に テンプレート:Mvar-次元実座標空間 テンプレート:Math を挙げることができる。あるいは実数列の全体も自然数の全体 テンプレート:Math（最小の超限順序数 テンプレート:Mvar）で添字付けられた無限デカルト冪 テンプレート:Math である。

例として テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math} のとき、テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math などが読み取れる。

上と同じ例で テンプレート:Math もわかる。

集合 テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math に対して テンプレート:Math が成り立つ。

性質

テンプレート:Math であるような テンプレート:Math が少なくとも一つ存在すれば、テンプレート:Math であることは、直ちに示される一方、その逆にあたる命題は選択公理 （と同値）である。テンプレート:Sfn

集合算

集合のデカルト積は交叉に関してよく振る舞う。すなわち

$(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$

が成り立つが、この式の交叉を合併に置き換えた式は一般には正しくない:

$(A\cup B)\times (C\cup D)\ne (A\times C)\cup (B\times D).$

実は右辺は

$(A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]$

と書くことができる。差に関しては等式

$(A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]$

が成り立つ。直積はいくつかの集合算に対して分配的であることが示せる:

• $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C),$
• $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),$
• $A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C),$
• $\complement (A\times B)=(\complement A\times \complement B)\cup (\complement A\times B)\cup (A\times \complement B),$

ここで テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の補集合である。

一般に

• $(\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda })\cap (\prod _{\mu \in \mathrm{\Lambda }}{B}_{\mu })=\prod _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}(A_{\lambda }\cap B_{\lambda })$
• $(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda })\times (\bigcup _{\mu \in \mathrm{M}}{B}_{\mu })=\bigcup _{(\lambda ,\mu )\in \mathrm{\Lambda }\times \mathrm{M}}(A_{\lambda }\times B_{\mu })$
• $(\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda })\times (\bigcap _{\mu \in \mathrm{M}}{B}_{\mu })=\bigcap _{(\lambda ,\mu )\in \mathrm{\Lambda }\times \mathrm{M}}(A_{\lambda }\times B_{\mu })$
• $(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda })\cap (\bigcup _{\mu \in \mathrm{M}}{B}_{\mu })=\bigcup _{(\lambda ,\mu )\in \mathrm{\Lambda }\times \mathrm{M}}(A_{\lambda }\cap B_{\mu })$
• $(\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda })\cup (\bigcap _{\mu \in \mathrm{M}}{B}_{\mu })=\bigcap _{(\lambda ,\mu )\in \mathrm{\Lambda }\times \mathrm{M}}(A_{\lambda }\cup B_{\mu })$

などが成り立つテンプレート:Sfn。

ほかに、部分集合に関しては以下の性質がある:

$A\subseteq B⟹A\times C\subseteq B\times C,$

$A\ne \mathrm{\varnothing }\wedge B\ne \mathrm{\varnothing }⟹[A\times B\subseteq C\times D⟺A\subseteq C\wedge B\subseteq D].$

濃度

有限集合 テンプレート:Mvar の直積 テンプレート:Math の濃度は、テンプレート:Math で与えられる。これは、数え上げに関する積の原理から導くことができる。

A × B

A＼B	1	3
0	(0,1)	(0,3)
1	(1,1)	(1,3)
2	(2,1)	(2,3)
3	(3,1)	(3,3)

一例として、

テンプレート:Math （3以下の自然数の集合）

テンプレート:Math （3以下の奇数の集合）

このとき、テンプレート:Math, テンプレート:Math であって、実際に テンプレート:Math であることが確認できる。

同様にして

• テンプレート:Math
• 濃度の積の意味で テンプレート:Math

が成り立つ。特にデカルト冪について、

• 任意の自然数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math

が言え、あるいは一般に

テンプレート:Math

が濃度の冪の意味で成り立つ。

直積の普遍性: この図式は可換である

普遍性

直積は次のような普遍性を持つものとして特徴付けることができる：

直積の普遍性

任意の集合 テンプレート:Mvar と任意の写像の族 テンプレート:Math が与えられたとき、写像 テンプレート:Math で テンプレート:Math を満たすものがただ一つ存在する。

圏論の言葉で言えば、集合の直積は集合の圏における積である。

写像の直積

ふたつの写像 テンプレート:Math が与えられたとき、直積集合 テンプレート:Math から直積集合 テンプレート:Math への写像を

$(f\times g)(a,b):=(f(a),g(b))(a\in A,b\in B)$

で定義することができる。この テンプレート:Math を写像 テンプレート:Math の直積と呼ぶ。任意の有限あるいは無限個の写像の直積も同様に定義できる。

テンプレート:Math が全射 (resp. 単射) であるための必要十分条件は テンプレート:Mvar がともに全射 (resp. 単射) となることである。一般に、写像の族 テンプレート:Math の直積 テンプレート:Math が全射 (resp. 単射) であるための必要十分条件は、任意の テンプレート:Math が全射 (resp. 単射) となることである。テンプレート:Sfn

集合の圏 テンプレート:Mathbf における圏論的積の例として、固定された添字集合 テンプレート:Mvar で添字付けられる任意の集合の族 テンプレート:Math に対してそれらの直積 テンプレート:Math を対応させ、さらにそのような集合の族の間の写像の族 テンプレート:Math に対してそれらの直積 テンプレート:Math を対応させるならば、そのような対応は テンプレート:Math なる形の函手（テンプレート:Mvar-型の直積函手）を定める。

多変数の写像

多変数の写像 テンプレート:Math は直積集合上の写像 テンプレート:Math として理解できる。

二項演算あるいは一般に多項演算は多変数の写像として定式化できる。

二変数の写像 テンプレート:Math の一変数化 テンプレート:Math は集合の圏における等式 テンプレート:Math を与える。これにより、集合の直積は配置集合をとる操作の左随伴となる。

関連項目

• 数学的構造
• 直和
• 選択公理
• テンソル積
• ルネ・デカルト
• 空積
• 超積

参考文献

• テンプレート:Citation

外部リンク

• テンプレート:Wikicite
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Nlab