差集合

テンプレート:出典の明記 テンプレート:読み仮名 ruby不使用とは、ある集合の中から別の集合に属する要素を取り去って得られる集合のことである。特に、全体集合 テンプレート:Mvar を固定して、テンプレート:Mvar からその部分集合 テンプレート:Mvar の要素を取り去って得られる集合を テンプレート:Mvar の補集合という。

定義

差集合 テンプレート:Math のベン図による視覚化（左が テンプレート:Mvar、右がテンプレート:Mvar。）:
$B\setminus A=A^c\cap B$

差集合 テンプレート:Math のベン図による視覚化（左が テンプレート:Mvar、右がテンプレート:Mvar。）:
$A\setminus B=A\cap B^{\mathrm{c}}$

集合 テンプレート:Mvar から集合 テンプレート:Mvar に属する元を間引いて得られる集合を

$B\setminus A,B\setminus A$

または テンプレート:Math と表現し、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar を引いた差、差集合あるいは テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の（相対）補集合と呼ぶ。記号を用いて書けば、

$x\in B\setminus A⟺x\in B\wedge x\notin A,$

すなわち

$\begin{array}{cc}B\setminus A& =\{x\mid x\in B\wedge x\notin A\}\\ & =\{x\in B\mid x\notin A\}\end{array}$

が差集合の定義である。これは テンプレート:Math とは限らない場合にも定義される。後述の（絶対）補集合の言葉で書けば、$B\setminus A$ とは、テンプレート:Mvar における テンプレート:Math の補集合である。なお、一般に集合の差は交換法則を満たさない：

$A\setminus B\ne B\setminus A.$

これらが等しくなるのは、 テンプレート:Math のとき、またそのときに限る。

注意

集合 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar が加法「＋」を持つ代数系（特に加法群）の部分集合であるとき、 テンプレート:Math は集合 テンプレート:Math と紛らわしいので、この記法を使用する場合は注意が必要である。

また、LaTeXで入力するとき、差集合としては B \backslash A ($B\mathrm{\setminus }A$) ではなく B \setminus A ($B\setminus A$) を用いるか、B \smallsetminus A ($B\setminus A$) を用いる。

例

• テンプレート:Mvar = テンプレート:Math　(10 以下の奇数の集合)
• テンプレート:Mvar = テンプレート:Math　(10 以下の素数の集合)

このとき

$P\setminus Q=\{1,9\}$

であり、

$Q\setminus P=\{2\}$

である。

補集合

補集合のベン図による視覚化（左がA、右がB。）:
$A^c={\mathrm{\varnothing }}^c\setminus A$

全体集合や普遍集合などと呼ばれる（大きな）集合 テンプレート:Mvar を固定して、その部分集合についてのみ考えているとき（例えば、テンプレート:Mvar が自然数全体、実数全体やある位相空間であるときなど） テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Mvar について、

$U\setminus A$

を テンプレート:Mvar の（絶対）テンプレート:読み仮名 ruby不使用といい、テンプレート:Mvar が了解されている文脈では単に

• $A^{\mathrm{c}}$
• $\complement A$
• $\bar{A}$

のように表す。

• ある集合の補集合の補集合は、もとの集合自身である。
• 自然数について考えているとき、奇数全体の集合の補集合は偶数全体の集合である。
• 実数全体 テンプレート:Math について考えているとき、有理数全体 テンプレート:Math の補集合 $𝐑\setminus 𝐐$ は無理数全体である。

注意

テンプレート:Mvar の補集合を テンプレート:Math で表す場合、おおくは テンプレート:Overline が テンプレート:Mvar の閉包（closure）を表す。逆に、テンプレート:Overline が補集合を表しているような文脈では、テンプレート:Math で テンプレート:Mvar の閉包を記すことがある。

ド・モルガンの法則

テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar をある集合の部分集合とするとき、

$\begin{array}{cc}(P\cup Q{)}^{\mathrm{c}}& =P^{\mathrm{c}}\cap Q^{\mathrm{c}}\\ (P\cap Q{)}^{\mathrm{c}}& =P^{\mathrm{c}}\cup Q^{\mathrm{c}}\end{array}$

が成り立つことが分かる。これはもっと一般化できて、 テンプレート:Math をある基礎となる集合の部分集合の族とするときに、

$\begin{array}{cc}{\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{P}_{\lambda }\right)}^{\mathrm{c}}& =\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{P}_{\lambda }^{\mathrm{c}}\\ {\left(\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{P}_{\lambda }\right)}^{\mathrm{c}}& =\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{P}_{\lambda }^{\mathrm{c}}\end{array}$

が成り立つ。これらをド・モルガンの法則という。

この法則は、対応する論理記号の性質（特に双対性）を反映したものである。詳しくは記号論理学の項目を参照。

関連項目

• 集合の代数学