集合族

数学の集合論関連分野における集合族（しゅうごうぞく、テンプレート:Lang-en-short）は集合の「あつまり」である。ここで「集合の集合」といわず「集合のあつまり」としているのは、文脈によっては集合族が同じ集合をいくつも重複して持つ場合（しばしば添字付けられた族 (indexed family of sets) として扱われる）があったりテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn、別の文脈では集合でない真の類 (proper class) となる場合があるなどの理由による。

特に与えられた集合テンプレート:Math の部分集合のみを考えるとき、テンプレート:Math の部分集合からなる集合はテンプレート:Math の部分集合族、テンプレート:Math 上の集合族あるいはテンプレート:Ill2などと呼ぶ。グラフ理論の文脈では集合系はハイパーグラフとも呼ばれる^[1]テンプレート:Rp。

また、自然数で添字付けられた（あるいは可算な）集合族は特にテンプレート:Ill2と呼ぶ（族 (数学)および列 (数学)の項も参照）。

定義

添字付けられた集合族: 任意の集合テンプレート:Mvar を添字集合とする添字付けられた集合族とは、任意のテンプレート:Math に対して集合テンプレート:Mvar が割り当てられた族テンプレート:Math を言う。十分大きな集合（たとえば普遍集合）テンプレート:Math を取れば、写像テンプレート:Math として記述することもできる。
部分集合族: 全体集合テンプレート:Math が与えられたとき、テンプレート:Math 上の集合族とはテンプレート:Math の冪集合テンプレート:Math の部分集合のことを言う。即ち、テンプレート:Math 上の集合族テンプレート:Mvar はその任意の元がテンプレート:Math の部分集合となる集合である。

集合族テンプレート:Mvar が特定の集合演算（合併、交叉、補集合など）に関して閉じている (closed) あるいは安定 (stable) であるまたは完備 (complete) であるとは、テンプレート:Mvar の任意の元にその演算を施した結果が必ずまたテンプレート:Mvar の元となっていることを言う。しばしば集合族は、それが何らかの演算に関して閉じていることを示す修辞を付けて呼ばれる。例えば

乗法的 (テンプレート:Math-完備, π-系): $A, B \in S ⟹ A \cap B \in S .$
加法的 (テンプレート:Math-完備): $A, B \in S ⟹ A \cup B \in S .$
σ-乗法的: $(A_{i})_{i \in ℕ} \in S ⟹ ⋂_{i \in ℕ} A_{i} \in S .$
σ-加法的: $(A_{i})_{i \in ℕ} \in S ⟹ ⋃_{i \in ℕ} A_{i} \in S .$
テンプレート:Math-完備: $A, B \in S ⟹ A ∖ B \in S .$
補完備: $A \in S ⟹ A^{c} \in S .$

可算無限回の合併で閉じている集合族を σ-系、可算無限回の交叉で閉じている集合族を δ-系と呼ぶこともある。

例

集合テンプレート:Mvar の冪集合テンプレート:Math はテンプレート:Mvar 上の集合族である。
集合テンプレート:Mvar の[[有限集合|テンプレート:Mvar-元部分集合]]全体の成す集合テンプレート:Math はテンプレート:Mvar 上の集合族である。
集合テンプレート:Math上の（多重集合あるいは添字付けられた族としての）集合族の例としてテンプレート:Math テンプレート:Mathで与える。
順序集合の全体テンプレート:Math はそれ自身集合とならない真の類であり、その意味で「大きい」集合族である。

集合族のクラス

部分集合族テンプレート:Math が有限交叉について閉じているときテンプレート:仮リンクであるといい、π-系が空集合を含むとき乗法族、さらに可算交叉について閉じているときテンプレート:Ill2（δ-乗法族）であるという。任意濃度の交叉で閉じているものはテンプレート:仮リンクと呼ぶテンプレート:Efn。また、乗法族が包含関係を持つ任意の二つの集合に対し、一方から有限回の非交和を行って他方へ達する列を持つとき集合半環という。
テンプレート:Math が（有限）和と（有限）交叉について閉じているとき、テンプレート:仮リンクあるいは環という。テンプレート:Math が空集合でなく（あるいは空集合を元として含み）、和と差について閉じている（あるいは同じことだが対称差と交叉について閉じている）場合に限って集合環と呼ぶ場合もある。さらに可算交叉について閉じていれば δ-集合環、可算和について閉じていれば σ-集合環という。また、これらが全体集合を含むならば代数あるいは体という。δ-集合体は σ-集合体である。
テンプレート:Math が空集合を含み、有限合併および補について閉じているとき加法族、特に有限加法族であるという。さらに可算合併について閉じているならばテンプレート:Mvar-加法族あるいは完全加法族という。集合族テンプレート:Math が加法族であることは集合体であることと等価であり、同様に完全加法族は σ-集合体の別名である。任意濃度の合併について閉じているならばテンプレート:仮リンクと呼ぶテンプレート:Efn。
単調族は包含関係に関する単調列の極限について閉じている集合族
ディンキン族（d-族、δ-族）は全体集合を含み、包含関係を持つ集合同士の差について閉じていて、可算増大列の極限について閉じている。λ-系は全体集合を含み、補について閉じていて、可算非交和について閉じている。この二つは同じ概念を定める。テンプレート:Ill2は乗法族の生成するディンキン族が同じく生成する完全加法族に一致することを述べるもので測度論において有用である。
層族はそれに属する任意の集合テンプレート:Mvar がテンプレート:Math またはテンプレート:Math またはテンプレート:Math の何れか一つのみを満たす。
ブール環
テンプレート:仮リンクあるいは独立集合系は、各集合がその集合族に属する自分自身以外の集合を含むことがない集合族を言う。テンプレート:仮リンクはスパーナ族の大きさの最大値を評価する。
テンプレート:仮リンクは空でない交叉を持つ任意の極小部分族の大きさが下に有界であるような族を言う。ヘリーの定理は有界な次元のユークリッド空間における凸集合族がヘリー族を成すことを主張する。
テンプレート:仮リンク
マトロイド
集合フィルター
集合の分割
(位相空間)の開集合系・閉集合系・近傍系
(有界型空間)の有界集合系
(一様空間)の近縁系
ボレル集合族は位相の生成するテンプレート:Mvar-加法族で、測度論において重要である。
無向グラフ
テンプレート:仮リンク

性質

テンプレート:Math 上の任意の添字付けられた部分集合族は、それが重複する元を持たないならば、それ自身冪集合テンプレート:Math の部分集合である。
重複元を持たない任意の部分集合族は、それ自身集合全体の成す真の類テンプレート:Math（宇宙）の部分類である。
テンプレート:仮リンクによるホールの結婚定理は、空でない集合の（元の重複を許す）有限族がテンプレート:仮リンク (system of distinct representatives) を持つための必要十分条件を与える。

注

注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

外部リンク

テンプレート:集合論

↑ テンプレート:Citation. 日本語訳: テンプレート:Citation

[1] テンプレート:Citation. 日本語訳: テンプレート:Citation

[1]

集合族

目次

定義

例

集合族のクラス

性質

関連概念

関連項目

注

注釈

出典

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例

集合族のクラス

性質

関連概念

関連項目

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