線分

線分の幾何学的な定義

幾何学における線分（せんぶん、テンプレート:Lang-en-short）とは、2つの点を通る直線の部分であって、それら2点を含んで間に挟まる全ての点からなるものである。

概要

通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を閉線分、含まないものを開線分とすることもある。

線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。

もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。

また、端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。

V を R または C 上のベクトル空間とし、L を V の部分集合とする。L がある適当なベクトル u, v ∈ V を選べば

L = {𝐮 + t 𝐯 ∣ t \in [0, 1]}

とパラメータ付けできるとき、L は線分（閉線分）であるという。あるいは同じことだが「線分は2点の凸包である」と定義してもよい。

この時、ベクトル u, u + v は L の端点テンプレート:Lang と呼ばれる。

線分が「開」か「閉」かの区別を要することもある。このとき、閉線分の定義は上述のもの、開線分 L は u, v ∈ V を選んで

L = {𝐮 + t 𝐯 ∣ t \in (0, 1)}

とパラメータ付けできる。片方の端点のみ開いた半開線分は、閉じた方の端点を u ∈ V 、開いた方を u + v ∈ V として

L = {𝐮 + t 𝐯 ∣ t \in [0, 1)}

となる。

David Hilbert: The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4（邦訳テンプレート:Cite book）