円錐曲線

円錐の切断

円錐曲線（えんすいきょくせん、テンプレート:Lang-en）とは、円錐面を任意の平面で切断したときの断面、円錐断面（テンプレート:Lang-en）として得られる曲線群の総称である。

歴史

古代ギリシャのアポロニウスが円錐曲線論の体系を著書にまとめ、中世ヨーロッパではケプラーによって天体の軌道との関連が見出された。またアポロニウスによる総合幾何学的な円錐曲線論はオイラーによって解析幾何学を用いて現代的に書き換えられた。

概要

• 
  楕円
• 
  放物線
• 
  双曲線
• 
  断面
• 
  円を含む円錐曲線の図の例（学問によっては、正円を円錐曲線に含まない。）

テンプレート:Clear 円錐曲線は、テンプレート:Mvar-平面 テンプレート:Math 上で定義され、次の陰関数曲線によって与えることが出来る。

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$

また、任意の2次式 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math が円錐曲線になることから、円錐曲線は二次曲線とも呼ばれる。

任意の円錐曲線は、適当に直交変換することによって、次の形のいずれかに変形することができる（括弧内は円錐の切断方法）。

• 円（全ての母線と交わり、底面に平行な平面で切断）

$X^2+Y^2=r^2$

• 楕円（全ての母線と交わり、底面に平行でない平面で切断）

$p{X}^2+q{Y}^2=1$

• 放物線（母線に平行な面で切断）

$2pX-q{Y}^2=1$

• 双曲線（母線に平行でない平面で切断）

$p{X}^2-q{Y}^2=1$

• 二直線（軸を全て含む平面で切断）

$p{X}^2-q{Y}^2=0$

尚、全て テンプレート:Math である。上の形の式を円錐曲線の標準形という。ただし、二直線は退化していると考え、円錐曲線に含まない場合も多い。また、楕円と正円とは円錐曲線の種別としてはしばしば区別を受けない。学問によっては、正円を円錐曲線に含まないこともある。

共焦点有心円錐曲線族

テンプレート:See also 次の式を考える。

$\frac{x^2}{a^2-k}+\frac{y^2}{b^2-k}=1$①

ただし、a > 0 , b > 0 , k ≠ b² , k < a² である。

この式は楕円の式そして双曲線の式に似ている。この式は、

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$② に対して

k の値により次の曲線になる。

1. k < 0 のとき、②の外側の楕円
2. 0 < k < b² のとき、②の内側の楕円
3. b² < k < a² のとき、双曲線

になり、焦点は ($\pm \sqrt{a^2-b^2},0$) になる。

上の3つの場合に置いて、楕円と双曲線はともに円錐曲線であり、かつ焦点が同じなので、①は共焦点有心円錐曲線族（Family of confocal central conics）という。

離心率による分類

準線を共有する、いくつかの離心率 e に対応する円錐曲線

焦点を共有する、いくつかの離心率 e に対応する円錐曲線

別な定義のしかたとして、直線と、その直線上に含まれないような点 テンプレート:Math を取り、点 テンプレート:Math から直線への垂線に対して点 テンプレート:Math のある方向が正と定めそれを テンプレート:Math 軸とする。直線上で点 テンプレート:Math を動かすとき、その直角位置上で テンプレート:Math を満たすような点 テンプレート:Math の集合は円錐曲線を描く。この時、テンプレート:Math と テンプレート:Math の比の値 テンプレート:Mvar を離心率といい、直線を準線、 点 テンプレート:Math を焦点という。

ここで、焦点 テンプレート:Math を極とする平面極座標 テンプレート:Math を新たにとれば、動点 テンプレート:Math の軌道は

$r(\theta )=\frac{l}{1-e\cos \theta }$

という極方程式によって表すことができる。テンプレート:Mvar は線分 テンプレート:Math の長さ、テンプレート:Mvar は線分 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 軸となす角度である。この式は、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar という2つのパラメーターを通じて、楕円・放物線・双曲線の3種の円錐曲線を統一的に表しているといえる。

離心率 テンプレート:Mvar は、描かれる円錐曲線の概形を次のように決定するパラメーターである。

• テンプレート:Math： 楕円
• テンプレート:Math： 放物線
• テンプレート:Math： 双曲線

他方、テンプレート:Mvar は半通径または半直弦と呼ばれるパラメーターで、焦点 テンプレート:Math から準線 テンプレート:Math までの距離に離心率 テンプレート:Mvar を掛けたものである。

なお、この方法で円錐曲線を描画した際、正円は現れない。これが円錐曲線に正円を含まないことがある由来になっているのだが、数学で円錐曲線を考える際は、便宜上 テンプレート:Math であるとき円を描くとされる（実際は点となる）。あるいは、準線と焦点を無限に離した極限で円になると考える。

代数構造

円錐曲線 テンプレート:Mvar は種数 0 をもつ。したがって一変数 テンプレート:Mvar の有理関数 テンプレート:Math によって

• テンプレート:Math

と表すことができる。テンプレート:Mvar から一点をとり、その点を通る直線と テンプレート:Mvar と交点を求めることでこのような表示を求めることができる。

もし テンプレート:Mvar が有理数の係数によって定義され、なおかつ有理点を持てば、テンプレート:Math は有理係数の有理関数となり、これによってすべての有理点を表す式が得られる。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連文献

• テンプレート:Cite book - 歴史的史料。
• テンプレート:Cite book - 三角形幾何学に関する文献・四面体幾何学に関する文献：pp.465-484、付：文献。
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book - 原タイトル：A treatise on conic sections. 6th ed.
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book - 付：例題解式及び附図。
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book - 「円錐曲線試論」を収録。
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連人物

• アポロニウス
• エウクレイデス
• オイラー
• フェルマー
• パスカル

関連項目

• 幾何学
• 曲線
• ケプラーの法則
• 双曲線
• 楕円
• 二次曲面
• 放物線
• ダンドラン球面
• パスカルの定理

外部リンク

• テンプレート:Kotobank
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld