離心率

焦点Fと準線Lを固定し、離心率 テンプレート:Math を変えて描かれた円錐曲線。離心率テンプレート:Mathは線分PP'の長さ|PP'|と線分FPの長さ|FP|を用いてe = |FP|/|PP'|と表される。図の曲線はそれぞれ楕円 (赤色、テンプレート:Math)、放物線 (緑色、テンプレート:Math)、双曲線 (青色、テンプレート:Math)である。真円は、点Fに限りなく近い点にあり、離心率eは0である。逆に直線は、点Pが限りなく準線に近い距離にあり、離心率eが1の線と表現することができる。これらの円錐曲線はいずれも交差しない。

離心率（りしんりつ、テンプレート:Lang-en）とは、円錐曲線（二次曲線）の特徴を示す数値の一つで、真円から離れる程度を表す。0から∞までの値をとり、真円では0、直線では∞をとる。

定義

円錐曲線、すなわち円・楕円・放物線・双曲線はいずれも、焦点 テンプレート:Math からの距離と、準線 テンプレート:Mvar からの距離の比 テンプレート:Mvar が一定となる点の集合である。この比 テンプレート:Mvar が離心率である。すなわち、円錐曲線上の任意の点 テンプレート:Math について、焦点 テンプレート:Math からの距離を テンプレート:Math、準線 テンプレート:Mvar からの距離を テンプレート:Math と表すと

$e=\frac{FP}{P{P}^{\prime }}$

となる。円の場合は楕円での準線を無限遠方においた極限とみなし、離心率は テンプレート:Math とする。

離心率と二次曲線の分類

離心率 テンプレート:Mvar の値により、描かれる曲線は以下のように変化する。

• テンプレート:Math … 真円
• テンプレート:Math … 楕円
• テンプレート:Math … 放物線
• テンプレート:Math … 双曲線

楕円の離心率

楕円の場合、長径と短径をそれぞれ テンプレート:Math2 とすると焦点同士の距離は $2\sqrt{a^2-b^2}$ となり

$e=\frac{2\sqrt{a^2-b^2}}{2a}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}$

である。したがって、楕円形が真円に近いほど離心率は小さな値をとる。

扁平率 を テンプレート:Mvar とすると、

$f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}$

離心率の自乗 テンプレート:Math は、

$e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}=f(2-f)$

である。

テンプレート:Mvar は “第一離心率” と称される。また第二離心率 テンプレート:Mvar、第三離心率 テンプレート:Mvarも用いられる。

$e^{\prime }=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2}},e^{″}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}$

地球の離心率

地球（GRS80回転楕円体）の離心率は、その定義された扁平率から計算すると、テンプレート:Math2 である。

関連項目

• 円錐曲線
• 扁平率
• 軌道離心率

参考文献

• König, R. and Weise, K. H. (1951): Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie, Band 1, Das Erdsphäroid und seine konformen Abbildungen, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg
• Ганьшин, В. Н. (1967): Геометрия земного эллипсоида, Издательство «Недра», Москва
• Puissant, L. (1842): Traité de Géodésie; ou, Exposition des Méthodes Trigonométriques et Astronomiques, applicables à la Mesure de la terre, et à la Construction du Canevas des Cartes Topographiques, 1, Bachelier, Imprimeur-Libraire, Paris, 295-304

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語