微分

テンプレート:Otheruseslist テンプレート:出典の明記テンプレート:Calculus

数学におけるテンプレート:仮リンクの微分係数、微分商またはテンプレート:読み仮名 ruby不使用は、別の量（独立変数）に依存して決まる、ある量（関数の値あるいは従属変数）の変化の度合いを測るものであり、これらを求めることをテンプレート:読み仮名 ruby不使用するという。微分演算の結果である微分係数や導関数も用語の濫用でしばしば微分と呼ばれる。

概要

微分は解析学分野（特に微分積分学分野）の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導関数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。

一変数関数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点におけるグラフの接線の傾きである。これは導関数がその入力値の近くでその関数の最適線型近似を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「瞬間の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。

微分はテンプレート:仮リンクにも拡張できる。この一般化において、導関数はそのグラフが（適当な変換の後）もとの関数のグラフを最適線型近似する線型写像と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値関数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。

導関数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算（テンプレート:Lang-en-short）と言い、その逆の過程（原始関数を求めること）を反微分という。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である^[1]。

1変数関数の微分法

直観的な説明

初めに最も簡単な場合を扱う。すなわち、実数値の変数を1個もち、値も1個の実数であるような関数テンプレート:Math（または単にテンプレート:Mvar とも書く）を微分することを考える。「微分する」というのは、より正確には、テンプレート:仮リンクまたは導関数のいずれかを求めることを意味している。

説明を単純にするため、テンプレート:Math はすべての実数テンプレート:Mvar に対して定義されているとしよう。すると各々の実数テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar における微分係数と呼ばれる数がある（定義されない場合もあるが、ここでは理想的な状況のみを想定して説明する）。これをテンプレート:Math で表す。また、実数テンプレート:Mvar に対して微分係数テンプレート:Math を対応させる関数テンプレート:Math のことをテンプレート:Mvar の導関数という。

微分係数テンプレート:Math とは何であるか直観的に説明するには、いくつかの方法がある。

微分係数テンプレート:Math とは、関数テンプレート:Mvar のグラフにテンプレート:Math において（すなわち点テンプレート:Math において）接線をひいたときの、その接線の傾きのことである。
微分係数テンプレート:Math とは、変数テンプレート:Mvar の値の変化に伴うテンプレート:Math の変化を考えたときの、テンプレート:Math におけるテンプレート:Math の瞬間変化率のことである。
微分係数テンプレート:Math とは、関数テンプレート:Mvar のグラフのテンプレート:Math 付近を（すなわち点テンプレート:Math 付近を）限りなく拡大していったときに、グラフが直線に近づいて見える場合における、その直線の傾きのことである。

これらはいずれも、論理的に厳密な定義とはいえない。それは、「接線」や「瞬間変化率」について厳密な定義が与えられていないし、またグラフを「限りなく拡大する」ということの意味も定かではないからである。

ごく単純な関数については、上記の説明が微分係数の具体的な値について十分な示唆を与えるのは確かだ。たとえば一次関数テンプレート:Math を考えると、そのグラフは直線なので、「テンプレート:Math における接線」もその直線自身であると考えるのが妥当だろう。直線テンプレート:Math の傾きはテンプレート:Mvar だから、微分係数テンプレート:Math の値もテンプレート:Mvar とすべきだと考えられる。また、二次関数についても、グラフの接線の概念を微分とは無関係に定義して、その傾きを求めることはできる。だが、ほとんどの関数にはこのような手法は通用しないから、一般的な定義を与えるためには新しい考えが必要である。

テンプレート:Multiple image

厳密な定式化

一点における微分可能性と微分係数

関数テンプレート:Math が開区間 $I \subset ℝ$ において定義されているとする。そのとき、 $a \in I$ に対し、極限

\lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

が存在するとき、テンプレート:Math はテンプレート:Math において微分可能であるという（極限は有限確定値であることを要請する。すなわち、正の無限大や負の無限大であることは許容しない）。またそのとき、上記の極限をテンプレート:Math におけるテンプレート:Math の微分係数とよび、テンプレート:Math によって表す。

これにともない、テンプレート:Math のグラフ上の点テンプレート:Math を通り傾きテンプレート:Math をもつ直線のことを、テンプレート:Math のグラフのテンプレート:Math における接線という。つまり、テンプレート:Math における接線とは、テンプレート:Math によって与えられる直線のことである。

上述の微分係数の定義に現れる分数

\frac{f (a + h) - f (a)}{h}

は差分商とよばれる。これは関数テンプレート:Math のグラフ上の2点テンプレート:Math とテンプレート:Math を通る直線（割線という）の傾きを表している。あるいは、変数テンプレート:Mvar の値がテンプレート:Mvar からテンプレート:Math まで変化するあいだの、関数の値の平均変化率を表しているとみることもできる。これらの見方によれば、微分係数の定義について、次のような解釈を与えることができる。

グラフ上の2点テンプレート:Math, テンプレート:Math を通る割線が、テンプレート:Mvar をテンプレート:Math へと近づけたときにある直線に近づくならば、それを接線とみなすのが妥当であろう。この意味での接線の傾きが、微分係数テンプレート:Math である。
「変数テンプレート:Mvar の値がテンプレート:Mvar からテンプレート:Math まで変化するあいだの関数値の平均変化率」が、テンプレート:Mvar をテンプレート:Math へと近づけたときにある数に近づくならば、それを瞬間変化率とみなすのが妥当であろう。この瞬間変化率が、微分係数テンプレート:Math である。

なお、上述の微分可能性の定義ではテンプレート:Mvar がテンプレート:Math にどのようにして近づいても差分商が一定の値に収束することを要請したが、近づき方を限定することも考えられる。テンプレート:Mvar が正の値をとりながらテンプレート:Math に近づいたときの片側極限

\lim_{h ↘ 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

が存在するとき、テンプレート:Math はテンプレート:Math において右側微分可能であるといい、この片側極限を右側微分係数とよぶ。同様に、テンプレート:Mvar が負の値をとりながらテンプレート:Math に近づいたときの片側極限

\lim_{h ↗ 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

が存在するとき、テンプレート:Math はテンプレート:Math において左側微分可能であるといい、この片側極限を左側微分係数とよぶ。テンプレート:Math がテンプレート:Math において微分可能であるためには、「テンプレート:Math がテンプレート:Math において右側微分可能かつ左側微分可能で、かつ右側微分係数と左側微分係数が一致する」ということが必要十分である。

区間における微分可能性と導関数

関数テンプレート:Math が開区間 $I \subset ℝ$ で定義されており、すべての $a \in I$ において微分可能であるとき、テンプレート:Mvar は区間テンプレート:Mvar において微分可能であるという。またそのとき、テンプレート:Mvar に対して微分係数テンプレート:Math を対応させる区間テンプレート:Mvar 上の関数のことを、テンプレート:Mvar の導関数といいテンプレート:Math（または変数の記号を補ってテンプレート:Math）で表す。

テンプレート:Mvar がその他のタイプの区間である場合にも、区間テンプレート:Mvar における微分可能性を定義することができる。たとえば、テンプレート:Mvar が有界閉区間テンプレート:Math である場合には、区間の内点では通常の意味での微分係数の存在を要請し、テンプレート:Mvar では右側微分係数が、テンプレート:Mvar では左側微分係数が存在することを要請する。導関数テンプレート:Math の値は、テンプレート:Math では右側微分係数、テンプレート:Math では左側微分係数とする。

関数テンプレート:Mvar が区間テンプレート:Mvar において微分可能で、さらに導関数テンプレート:Math がテンプレート:Mvar で連続であるとき、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar において連続微分可能である、またはテンプレート:Math 級であるという。

1次近似による定式化

開区間 $I \subset ℝ$ で定義された関数テンプレート:Math について、 $a \in I$ とするとき、次の条件はテンプレート:Math のテンプレート:Math における微分可能性と同値である。

ある定数テンプレート:Mvar が存在して、テンプレート:Math のときテンプレート:Math である。

ここでテンプレート:Math はランダウの記号である。この条件が成り立つとき、テンプレート:Mvar は微分係数テンプレート:Math に他ならない。

「テンプレート:Math のときテンプレート:Math」が成り立つことを指して、テンプレート:Math はテンプレート:Math のテンプレート:Math における1次近似であるという。この言葉を用いれば、一点における微分可能性とは1次近似可能性のことだといえる。またこれは、#直観的な説明の、微分係数に関する3番目の説明を厳密化したものとみることができる。

連続性と可微分性

関数テンプレート:Math がテンプレート:Math において微分可能ならば、テンプレート:Math はテンプレート:Math で必ず連続である。

一方で、関数がある一点で連続だったとしても、そこで微分可能でないことがある。

絶対値関数テンプレート:Math はテンプレート:Math において連続だが、この点で微分可能でない。テンプレート:Math のときはテンプレート:Math, テンプレート:Math を通る割線の傾きはテンプレート:Math だが、テンプレート:Math のときはテンプレート:Math である。この例では、グラフはテンプレート:Math においてカスプ（尖点）をもつという言い方をする。
関数テンプレート:Math はテンプレート:Math において連続だが、この点で微分可能でない。テンプレート:Math, テンプレート:Math を通る割線の傾きは、テンプレート:Math のとき正の無限大に発散するからである。この例は、グラフが滑らかにつながっているからといって微分可能とはかぎらないことを示している。

実用上現れる関数の大半は、ほとんど至るところで微分可能である。テンプレート:仮リンクの初期には、多くの数学者は連続関数はほとんど至るところで微分可能であると考えていた。この仮定は緩やかな条件、たとえば単調写像やリプシッツ連続などのもとでは確かに満たされる。しかし1872年にワイエルシュトラスは、至るところ連続だが、至るところ微分不可能な関数の例を与えた（ワイエルシュトラス関数）。1931年にステファン・バナフは、連続関数全体のなす空間において、少なくとも1点で微分可能な関数全体のなす集合が痩せている(meager)ことを示したテンプレート:Sfn。くだけた言い方をすれば、ほとんどあらゆる連続関数がすべての点で微分不可能なのである。

高階微分

テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar 回微分可能であって、さらにテンプレート:Mvar 階導関数テンプレート:Math が連続であるとき、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar 回連続微分可能である（またはテンプレート:Math 級である）という。何回でも微分可能な関数は無限回微分可能である（またはテンプレート:Math 級である）という。テンプレート:Math 級関数のことを滑らかな関数ということもある（ただしこの語の用法は必ずしも一定していず、たとえば単に微分可能であることを指して滑らかであるという場合もある）。

微分と関数の増減・凹凸

導関数の符号と関数の増減

微分可能な関数テンプレート:Math について、導関数テンプレート:Math が正の値をとる区間では、テンプレート:Math の値は単調増加する（より詳しくいえば、狭義単調増加する）。導関数テンプレート:Math が負の値をとる区間ではテンプレート:Math の値は単調減少する。導関数テンプレート:Math の値がつねにテンプレート:Math であるような区間では、関数テンプレート:Math の値は一定である。

2階導関数の符号と関数の凹凸

2階微分可能な関数テンプレート:Math について、2階導関数テンプレート:Math が正の値をとる区間では、関数テンプレート:Math は凸（下に凸）である。テンプレート:Math が負の値をとる区間では関数テンプレート:Math は凹（上に凸）である。

関数テンプレート:Math がテンプレート:Math の前後で凸から凹に、あるいは凹から凸に切り替わるとき、点テンプレート:Math はテンプレート:Math のグラフの変曲点であるというテンプレート:Sfn。2階微分可能な関数テンプレート:Math については、これは2階導関数テンプレート:Math の符号が切り替わるテンプレート:Mvar の値に対応する点ということができる。

多項式近似への応用

テンプレート:Main 関数テンプレート:Mvar が開区間テンプレート:Mvar でテンプレート:Math 階微分可能で、テンプレート:Math 階導関数テンプレート:Math がテンプレート:Math で微分可能なとき、テンプレート:Math のテンプレート:Math における微分係数をテンプレート:Math とすれば

f (a + h) = \frac{f (a)}{0!} + \frac{f^{'} (a) h}{1!} + \frac{f^{″} (a)}{2!} h^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} h^{n} + O (h^{n})

が成り立つ（テイラーの定理のペアノの剰余項による形）。これは、前述の、一点における微分可能性の1次近似による定式化の一般化にあたる。

テンプレート:Anchorsベクトル値関数の微分

実数値の変数テンプレート:Mvar をもち、 $ℝ^{m}$ に値をもつベクトル値函数テンプレート:Math を考える。これが一点テンプレート:Math において微分可能であるというのは、

\lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

という極限が存在することであるテンプレート:Efn。上記の極限として現れるベクトルをテンプレート:Math で表す（これも $ℝ^{m}$ の元である）。一般にはテンプレート:Math に特に名前はないが、テンプレート:Math が $ℝ^{m}$ における点の位置の変化（曲線といってもよい）を表しているとみなす場合は、テンプレート:Math を速度とよぶことがある。

テンプレート:Math がテンプレート:Math において微分可能であることと、各成分テンプレート:Math がすべてテンプレート:Math において微分可能であることは同値である。また

f^{'} (a) = (f'_{1} (a), \dots, f'_{m} (a))

が成り立つ。

ベクトル値関数テンプレート:Math が区間テンプレート:Mvar の各点で微分可能なとき、テンプレート:Math は区間テンプレート:Mvar において微分可能であるという。

ベクトル値関数については、高階微分も同様にして考えることができる。テンプレート:Math は、テンプレート:Math が $ℝ^{m}$ における点の位置の変化を表しているとみなす場合は、加速度とよばれる。

超準解析による定式化

実数を拡大して超実数テンプレート:Math の体系の中で考えるとき、実函数テンプレート:Math の実点テンプレート:Math における微分係数は（テンプレート:Mvar の超実数への自然延長をやはりテンプレート:Mvar と書くとき）、無限小テンプレート:Math に対してテンプレート:Math とすれば、テンプレート:Math のテンプレート:Math に関する商テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクを考えることで定義することができる。ここで、上記の差分商の標準部が無限小テンプレート:Math の取り方に依らずに定まるとき、すなわち

\exists! m \in ℝ, \forall Δ 𝑥 (Δ 𝑥 \in monad (0) \land Δ 𝑥 \neq 0), m = st (\frac{f (a + Δ 𝑥) - f (a)}{Δ 𝑥})

が成り立つとき、この実数テンプレート:Mvar を実函数テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar における微分係数と呼ぶ。

記法について

テンプレート:Main 関数テンプレート:Math の導関数や高階導関数を表す記法には次のようなものがあるテンプレート:Sfn。

また、テンプレート:Math とおいて、下記の記法におけるテンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar で置き換えた記法も用いられる。

導関数や高階導関数を表す記法
	導関数	2階導関数	3階導関数	テンプレート:Mvar 階導関数
ラグランジュの記法	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
ライプニッツの記法	$\frac{d f}{d x}$	$\frac{d^{2} f}{d x^{2}}$ または $\frac{d^{2}}{d x^{2}} f$	$\frac{d^{3} f}{d x^{3}}$ または $\frac{d^{3}}{d x^{3}} f$	$\frac{d^{n} f}{d x^{n}}$ または $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$
ニュートンの記法	$\dot{f}$	$\ddot{f}$	$\overset{. . .}{f}$	（通常使われない）
テンプレート:仮リンクの記法テンプレート:Efn	テンプレート:Math またはテンプレート:Math	テンプレート:Math または $D_{x}^{2} f$	テンプレート:Math または $D_{x}^{3} f$	テンプレート:Math または $D_{x}^{n} f$

微分係数

点テンプレート:Mvar における微分係数（および高階の微分係数）を表すには、テンプレート:Math を添えたりテンプレート:Math を添えたりする。

例えば、テンプレート:Quotation である。

微分公式

基本法則

テンプレート:Main テンプレート:Mvar が微分可能なテンプレート:Mvar の函数で、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar に無関係な定数のとき

線型性:
$(a u + b v)^{'} = a u^{'} + b v^{'} .$
積の微分法則:
$(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'},$

$\begin{matrix} \frac{d (u_{1} u_{2} \dots u_{n})}{𝑑 𝑥} & = \sum_{i = 1}^{n} u_{1} \dots u_{i - 1} \frac{d u_{i}}{𝑑 𝑥} u_{i + 1} \dots u_{n} \\ = \frac{d u_{1}}{𝑑 𝑥} u_{2} u_{3} \dots u_{n} + u_{1} \frac{d u_{2}}{𝑑 𝑥} u_{3} \dots u_{n} + \dots + u_{1} u_{2} \dots u_{n - 1} \frac{d u_{n}}{𝑑 𝑥}, \end{matrix}$

$\frac{d^{n} (u v)}{{𝑑 𝑥}^{n}} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) u^{(n - i)} v^{(i)} .$
連鎖律テンプレート:Lang:
$\frac{d (u \circ v)}{𝑑 𝑥} = \frac{d u}{𝑑 𝑣} \cdot \frac{d v}{𝑑 𝑥} .$

テンプレート:Anchors初等関数に関する公式

初等関数の微分
原始関数	導関数	備考
$e^{x}$	$e^{x}$	指数関数の微分
$a^{x}$	$(\log_{e} a) a^{x}$	一般の底の指数函数に対する微分
$\log_{e} x$	$\frac{1}{x}$	自然対数の微分
$\log_{a} x$	$\frac{1}{x \log_{e} a}$	一般の底の対数に対する微分
$x^{a}$	$a x^{a - 1}$	冪乗の微分
$\sin x$	$\cos x$	正弦函数の微分
$\cos x$	$- \sin x$	余弦函数の微分
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x$	正接函数の微分
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, (- 1 < x < 1)$	逆正弦函数の微分
$\arccos x$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, (- 1 < x < 1)$	逆余弦函数の微分
$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$	逆正接函数の微分
$\sinh x$	$\cosh x$	双曲線正弦函数の微分
$\cosh x$	$\sinh x$	双曲線余弦函数の微分
$\tanh x$	$\frac{1}{\cosh^{2} x} = 1 - \tanh^{2} x$	双曲線正接函数の微分
$arsinh x$	$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	逆双曲線正弦函数の微分
$arcosh x$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}, (\| x \| > 1)$	逆双曲線余弦函数の微分
$artanh x$	$\frac{1}{1 - x^{2}}, (- 1 < x < 1)$	逆双曲線正接函数の微分

テンプレート:Anchors多変数函数の微分法

テンプレート:Main

偏微分と方向微分

偏微分

テンプレート:Main

テンプレート:Mvar 個の実数値変数をもつ多変数関数テンプレート:Math が与えられたとする（テンプレート:Mvar はスカラー値でなくベクトル値でもよい）。各テンプレート:Math について、テンプレート:Math を除くテンプレート:Math 個の変数の値を固定することにより、テンプレート:Math を変数テンプレート:Math のみをもつ1変数関数とみなすことができる。そのようにみた上でテンプレート:Math を変数テンプレート:Math について微分するのが偏微分とよばれる操作である。

テンプレート:Math が $ℝ^{n}$ の開集合テンプレート:Mvar で定義されているとする。点 $(a_{1}, \dots, a_{n}) \in D$ に対し、テンプレート:Math 以外の変数をテンプレート:Math とおいて固定し、

f (a_{1}, \dots, a_{j - 1}, x_{j}, a_{j + 1}, \dots, a_{n})

というテンプレート:Math の1変数関数を考える。そのテンプレート:Math における微分係数

\lim_{h \to 0} \frac{f (a_{1}, \dots, a_{j - 1}, a_{j} + h, a_{j + 1}, \dots, a_{n}) - f (a_{1}, \dots, a_{j - 1}, a_{j}, a_{j + 1}, \dots, a_{n})}{h}

を、テンプレート:Math の点テンプレート:Math におけるテンプレート:Mvar に関する偏微分係数といい、

f_{x_{j}} (a_{1}, \dots, a_{n})

,

\frac{\partial f}{\partial x_{j}} (a_{1}, \dots, a_{n})

,

\partial_{x_{j}} f (a_{1}, \dots, a_{n})

などの記号で表す。また、点テンプレート:Math に対してこれらの偏微分係数を対応づけるテンプレート:Mvar 上の関数をテンプレート:Math のテンプレート:Mvar に関する偏導関数といい、

f_{x_{j}}

,

\frac{\partial f}{\partial x_{j}}

,

\partial_{x_{j}} f

などで表す。丸い d の記号 ∂ は偏微分記号などとよばれる。

テンプレート:Math がテンプレート:Mvar の各点ですべての変数について偏微分可能で、かつすべての偏導関数テンプレート:Math がテンプレート:Mvar で連続であるとき、関数テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar で連続微分可能（またはテンプレート:Math 級）であるという。

高階の偏微分

偏微分を繰り返して行うことにより得られる微分係数のことを高階の偏微分係数という。これは微分の階数について帰納的に定義される。

たとえばテンプレート:Math の点テンプレート:Math における2階偏微分係数

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j_{1}} \partial x_{j_{2}}} (a)

は次のように定義される。前提として、導関数テンプレート:Math が存在するものとする。この仮定のもとで、テンプレート:Math が点テンプレート:Mvar においてテンプレート:Math に関して偏微分可能ならば、その偏微分係数のことを上記の記号で表すのである。テンプレート:Math があらゆる点テンプレート:Mvar においてテンプレート:Math に関して偏微分可能であるとき、点テンプレート:Mvar に上記の2階偏微分係数を対応づける関数のことを、

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j_{1}} \partial x_{j_{2}}}

と書いて2階偏導関数とよぶ。同様のことを繰り返して、一般のテンプレート:Mvar 階偏微分係数

\frac{\partial^{k} f}{\partial x_{j_{1}} \partial x_{j_{2}} \dots \partial x_{j_{k}}} (a)

およびテンプレート:Mvar 階偏導関数

\frac{\partial^{k} f}{\partial x_{j_{1}} \partial x_{j_{2}} \dots \partial x_{j_{k}}}

が定義される。

微分の順序交換については次が知られている。2変数関数テンプレート:Math について、2階偏導関数テンプレート:Math, テンプレート:Math がともに存在して、さらにいずれも点テンプレート:Mvar において連続ならば、

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (a) = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (a)

が成立する。2階偏導関数の連続性の仮定が満たされなければこの等式は一般には成立しない。テンプレート:Mvar 変数関数の微分の順序交換についても同じことがいえる。

方向微分

テンプレート:Main

関数テンプレート:Math について、偏微分はテンプレート:Mvar の各座標軸方向への変化を測る。テンプレート:Mvar の任意の方向への変化を測るのが方向微分である。

ベクトルテンプレート:Math に対して、関数テンプレート:Mvar の点テンプレート:Math におけるテンプレート:Mvar 方向への方向微分係数とは、

\lim_{h \to 0} \frac{f (a + h v) - f (a)}{h}

のことである。テンプレート:Math 軸正の方向の単位ベクトルをテンプレート:Math とするとき、テンプレート:Math 方向への方向微分係数は、テンプレート:Math に関する偏微分係数に他ならない。

テンプレート:Mvar が点テンプレート:Mvar においてすべての変数に関して偏微分可能ならば、あらゆるベクトルテンプレート:Mvar について、点テンプレート:Mvar におけるテンプレート:Mvar 方向への方向微分係数が存在する。またこのとき、方向微分係数はテンプレート:Mvar に関して線型である。特に、テンプレート:Math に対して方向微分係数テンプレート:Math は

D_{v} f (a) = \sum_{j = 1}^{n} v_{j} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (a)

によって与えられる。

全微分

テンプレート:Main

テンプレート:Mvar がテンプレート:Math の開集合からテンプレート:Math への函数ならば、テンプレート:Mvar の方向微分は、その点におけるテンプレート:Mvar の選択した方向への最適線型近似を与える。しかし、テンプレート:Math のときは、位置方向への方向微分だけではテンプレート:Mvar の挙動を完全に捉えることはできない。全微分は、全ての方向を一度にまとめて考えることで函数の挙動を完全にとらえるものである。

テンプレート:Mvar のテンプレート:Math における全微分係数（あるいは単に全微分）は

\lim_{𝐡 \to 0} \frac{‖ f (𝐚 + 𝐡) - f (𝐚) - f^{'} (𝐚) 𝐡 ‖}{‖ 𝐡 ‖} = 0

を満たす唯一の線型写像テンプレート:Math と定義される。ただし、テンプレート:Math だから分母におけるノルムはテンプレート:Math における標準ノルムであり、他方テンプレート:Math であり分子のノルムはテンプレート:Math の標準ノルムである。テンプレート:Math がテンプレート:Math を始点とするベクトルならば、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar によるテンプレート:Math の押し出しと呼ばれ、テンプレート:Math とも書かれる。テンプレート:Mvar の点テンプレート:Math における全微分係数テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar を始点とする任意のベクトルテンプレート:Math に対して、線型近似公式

f (𝐚 + 𝐯) \approx f (𝐚) + f^{'} (𝐚) 𝐯

が満足される。一変数の微分係数のときと同じくテンプレート:Math はこの近似の誤差が可能な限り最小となるように選ばれる。高次元の場合に、この線型近似公式が意味を持つためにはテンプレート:Math はテンプレート:Math のベクトルをテンプレート:Math のベクトルへ写す線型写像でければならず、またテンプレート:Math はその写像のテンプレート:Math における値でなければならない。

偏微分・方向微分との関係

点テンプレート:Math において全微分係数が存在するならば、テンプレート:Math におけるテンプレート:Mvar の任意の偏微分および方向微分が存在する。即ち、任意のテンプレート:Math に対してテンプレート:Math がテンプレート:Mvar のテンプレート:Math におけるテンプレート:Math-方向への方向微分になる。テンプレート:Mvar を座標成分函数を用いてテンプレート:Math と書けば、全微分係数は、偏微分を用いて行列として表すことができる。この行列

f^{'} (𝐚) = {Jac}_{𝐚} = {(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}})}_{i j}

はテンプレート:Mvar のテンプレート:Math におけるヤコビ行列と呼ばれる。全微分係数テンプレート:Math が存在することは、すべての偏微分が存在することよりも真に強い条件であるが、偏微分が全て存在して連続ならば全微分は存在し、それはヤコビ行列によって与えられ、テンプレート:Math に関して連続的に変化する。

全微分係数の定義は一変数の場合も含むものになっている。テンプレート:Mvar が実一変数の実数値函数であるとき、全微分係数の存在する必要十分条件は通常の微分係数が存在することである。ヤコビ行列は微分係数テンプレート:Math を唯一の成分とするテンプレート:Math 行列であり、この行列はテンプレート:Math なる近似性質を持つ。テンプレート:仮リンク違いを除いて、これは函数テンプレート:Math がテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar における最適線型近似であることを述べるものである。

高階の全微分

函数の全微分をとる操作では、一変数の場合と同じやり方で考えたのでは、別の函数（導函数）を与えることは無い。これは多変数函数の全微分係数が一変数函数の微分係数よりも多くの情報をもつものであることからくるもので、実際に全微分は函数の始域となる空間の接束から終域となる空間の接束への写像を与えるものになっている。

自然な意味で高階導函数に対応する概念は、線型写像でも接束上の写像でもなく、また全微分を繰り返すことで構成されるものでもない。

ジェット: 高階の全導函数となるべきものはテンプレート:仮リンクと呼ばれるもので、これは線型写像ではない（高階導函数は凹性（凸性）などの微妙な幾何学的性質を反映するので、これはベクトルのような線型の情報では記述できない）し、接束上の写像でもない（接束は底空間と方向微分に対してしか意味を成さない）。ジェットは高階の情報を反映することから、各方向への高階の変化を表す追加の座標を引数としてとる。このような余分の座標によって決定される空間はテンプレート:仮リンクと呼ばれる。函数の全微分と偏微分との関係に並列に対応するものは、函数のテンプレート:Mvar-階のジェットとテンプレート:Mvar 階以下の偏微分との関係として理解することができる。

高階フレシェ微分

全微分を繰り返しとることは、高階のフレシェ微分（をテンプレート:Math に特殊化したもの）として定式化することができる。つまり、テンプレート:Mvar-階の全微分は

D^{k} f : ℝ^{n} \to L^{k} (ℝ^{n} \times \dots \times ℝ^{n}, ℝ^{m})

なる写像として解釈することができる。この写像は点テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math からテンプレート:Math へのテンプレート:Mvar-多重線型写像の空間の元で、その点においてテンプレート:Mvar を（ある特定の明確な意味において）「最適」にテンプレート:Mvar-重線型近似するものを割り当てる。対角線埋め込みテンプレート:Math との合成を考えれば、多変数のテイラー級数も最初の方の項が

\begin{matrix} f (𝐱) & \approx f (𝐚) + (D f) (𝐱) + (D^{2} f) (Δ (𝐱 - 𝐚)) + \dots \\ = f (𝐚) + (D f) (𝐱 - 𝐚) + (D^{2} f) (𝐱 - 𝐚, 𝐱 - 𝐚) + \dots \\ = f (𝐚) + \sum_{i} (D f)_{i} (𝐱 - 𝐚)^{i} + \sum_{j, k} (D^{2} f)_{j k} (𝐱 - 𝐚)^{j} (𝐱 - 𝐚)^{k} + \dots \end{matrix}

となるようなものとして与えられる。ただし、テンプレート:Math は定値函数と同一視され、各テンプレート:Math はベクトルテンプレート:Math の第テンプレート:Mvar-成分で、テンプレート:Math は線型変換としてのテンプレート:Math の各成分を表す。

一般化

テンプレート:Main

微分の概念を多くの他の状況設定の下でも拡張して定義することができる。共通することは、一つの点における函数の導函数がその点における函数の線型近似として働くことである。

実函数の微分の重要な一般化は、複素平面上の領域からガウス平面テンプレート:Mathbf への函数のような複素数の複素解析である。複素函数の微分の概念は、実函数の微分の定義において実変数であるところを複素変数に置き換えることで得られる。二つの実数テンプレート:Mvar を用いて複素数テンプレート:Math と書くことによりガウス平面テンプレート:Mathbf を座標平面テンプレート:Math と同一視するとき、テンプレート:Mathbf からテンプレート:Mathbf への複素可微分函数はテンプレート:Math からテンプレート:Math へのある種の（その偏導函数が全て存在するという意味での）実可微分函数とみなすことができるが、逆は一般には成り立たない（複素微分が存在するのは実導函数が「複素線型」であるときに限り、これは二つの偏導函数がコーシー–リーマンの方程式と呼ばれる関係式を満足することを課すものである）。正則関数の項を参照。
別の一般化として可微分多様体（滑らかな多様体）の間の写像の微分を考えることができる。直観的に言えば、可微分多様体テンプレート:Mvar とはその各点テンプレート:Mvar の近くで接ベクトル空間と呼ばれるベクトル空間によって近似することのできる空間である（原型的な例はテンプレート:Math 内のテンプレート:仮リンクである）。そのような多様体間の可微分写像テンプレート:Math の点テンプレート:Math における微分係数あるいは微分は、テンプレート:Mvar におけるテンプレート:Mvar の接空間からテンプレート:Mvar におけるテンプレート:Mvar の接空間への線型写像であり、導函数はテンプレート:Mvar の接束からテンプレート:Mvar の接束への写像となる。この定義は微分幾何学において基本的であり、多くの応用がある。写像の微分（押し出し）およびテンプレート:仮リンクの項を参照。
バナッハ空間やフレシェ空間のような無限次元線型空間の間の写像に対する微分法も定義できる。方向微分の一般化であるガトー微分や関数の微分の一般化であるフレシェ微分などがある。
古典的な微分の欠点は微分可能な函数がそれほどまでには多くないことである。それにも関わらず、微分の概念を拡張して任意の連続函数やほかの多くの函数を微分可能とするものに、弱微分がある。これは連続函数をより大きな分布の空間に埋め込んで、「平均の上で」のみ微分可能性を課すというものである。
微分の性質に着想を得て代数学や位相空間論における同様の対象がたくさん導入され研究されている。例えばテンプレート:仮リンク、微分環などを参照。
微分の離散的対応物は有限差分である。微分法の研究は時間尺度微分積分学において差分法と統一される。
テンプレート:仮リンク（数論的微分）

訳語の由来

微分・積分という訳語は李善蘭がテンプレート:仮リンク（偉烈亜力）とともにテンプレート:仮リンクの著書 Elements of Analytical Geometry and of Differential and Integral Calculus を翻訳して『代微積拾級』（1859年（安政6年）出版）を著すときに作った^[2]。古代の成語「微を積みて著を成す」の意味からとったと推測されている。

脚注

テンプレート:脚注ヘルプ

注釈

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出典

テンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:Refbegin

テンプレート:Refend

微分

概要

1変数関数の微分法

直観的な説明

厳密な定式化

一点における微分可能性と微分係数

区間における微分可能性と導関数

1次近似による定式化

連続性と可微分性

高階微分

微分と関数の増減・凹凸

導関数の符号と関数の増減

2階導関数の符号と関数の凹凸

多項式近似への応用

テンプレート:Anchorsベクトル値関数の微分

超準解析による定式化

記法について

微分係数

微分公式

基本法則

テンプレート:Anchors初等関数に関する公式

テンプレート:Anchors多変数函数の微分法

偏微分と方向微分

偏微分

高階の偏微分

方向微分

全微分

偏微分・方向微分との関係

高階の全微分

一般化

訳語の由来

関連項目

脚注

注釈

出典

参考文献

関連文献

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